例談高中數(shù)學(xué)平面向量中的隱圓問題

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

隱圓問題指習(xí)題題干中并沒有明確給出圓，需要對(duì)題干進(jìn)行轉(zhuǎn)化、運(yùn)算，得出某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡符合圓以及圓的性質(zhì)，依托圓的性質(zhì)加以解決的一類問題.高中數(shù)學(xué)平面向量中涉及較多類型的隱圓問題，需要教師做好歸納，明確不同類型隱圓問題中構(gòu)圓的方法與細(xì)節(jié)，并借助例題講解，幫助學(xué)生理解、實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用.

1 對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)圓

在平面四邊形中如果一組對(duì)角互補(bǔ)，則四邊形的四個(gè)點(diǎn)在同一圓上[1]，這一原理在平面向量中同樣適用.不同的是，解決平面向量問題需要先確定向量可以構(gòu)成四邊形，而后對(duì)對(duì)角的互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行判定.其中，向量能否構(gòu)成四邊形可以運(yùn)用平面向量的加法或減法法則作出判斷，而對(duì)角的角度關(guān)系需要借助已知條件或者向量的數(shù)量積運(yùn)算得出具體的值后作出分析.當(dāng)然還應(yīng)注意兩個(gè)非零向量的夾角范圍為[0，π 切]，計(jì)算時(shí)要注意結(jié)合圖形，確定正確的角度.

例1已知平面向量 ^a，b，c 滿足 文章編號(hào)：1008-0333（2025）16-0007-04 則以 |c| 為直徑的圓的最大面積為

解析 由題意可知 ，易得 ∣b∣ =1 又由 可以得到向量 ^a，b 的夾角為 向量 c-a，c-b 的夾角為

根據(jù)題意作 OA=a，OB=b，OC=c ，連接 AC BC ，則 ，則 又由 （204號(hào) 則 _{A，C，B，O} 四點(diǎn)共圓，如圖1所示，易得 由圖可知當(dāng) OC 為圓的直徑時(shí)對(duì)應(yīng)的|c| 最大.

在Rt△BOC 和 Rt△AOC 中，可得OC 又由 -∠AOC ，則 ∠AOC ）.整理，得2cos 即tan 則 .則 （204號(hào)的最大值為 則以 ∣c∣ 為直徑的圓的面積的最大值為

點(diǎn)評(píng)習(xí)題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓、銳角三角函數(shù)值的計(jì)算等知識(shí).其中，對(duì)角互補(bǔ)是隱含條件，是整個(gè)解題的關(guān)鍵.解題的過程中應(yīng)具備通過對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓的意識(shí)，對(duì)照畫出圖形，明確OC為隱圓直徑時(shí)對(duì)應(yīng)的IcI最大，以 |c| 為直徑的圓的面積也最大.

2模長為定值構(gòu)圓

向量的模是平面向量中非常重要的概念.高中數(shù)學(xué)課本中指出向量是既有大小又有方向的量，而向量的模只指向量的大小，對(duì)應(yīng)幾何視角下向量所在線段的長度[2].對(duì)于一個(gè)平面向量，如果其頭或尾是固定的點(diǎn)，而模長確定，則其尾或頭的軌跡是一個(gè)圓.基于此，在解答平面向量問題中，可以通過構(gòu)造隱圓將平面向量問題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的問題進(jìn)行解決.當(dāng)然，如果平面向量之間通過加法或減法運(yùn)算得到向量的模是定值，則得到向量的頭或尾的軌跡也是一個(gè)圓.例如，已知平面向量 是模長不等且均不為零的向量，若 為定值，則點(diǎn) C 的軌跡是以點(diǎn) B 為圓心，以 為半徑的圓.教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注與理解這一重要關(guān)系，有助于更好地解答平面向量相關(guān)問題.

例2平面向量 a，b，c_i（i=1，2） 滿足 |a|=2|b| —8—

，則 ∣c₁-2λb∣+2∣c₂-λb∣ （ λ∈R） 的最小值為

解析由 ，可以得到 又由 a?b=∣a∣∣b∣cos ，易得 則向量 ^a，b 的夾角為

令 （20號(hào) .又由 |c_i-a|=1 ，可知點(diǎn) C₁，C₂ 在以 A 為圓心，半徑為1的圓上，點(diǎn) C₃ 在以 A^′ 為圓心，半徑為2的圓上，如圖2所示，則A（2，0）， A^′（4，0）.

由已知條件以及圖2易知 2∣c₂-λb∣=∣2c₂

作圓 A 關(guān)于直線 OB₁ 的對(duì)稱圓 A₁ ，則 B^′C₁ =B^′C₄ ，且 A₁（0，2）

問題轉(zhuǎn)化為求 B^′C₃+B^′C₄ 的最小值問題.當(dāng)點(diǎn) C₄，A₁，B，A^′ 四點(diǎn)共線時(shí) B^′C₃+B^′C₄ 的值最小.

又由 ，則B^′C₃+B^′C₄ 的最小值為

即 |c₁-2λb|+2|c₁-λb| 的最小值為

點(diǎn)評(píng)該題考查轉(zhuǎn)化思想、模長為定值構(gòu)造隱圓，以及對(duì)稱法求線段最短等內(nèi)容.解題中需要借助已知條件推理平面向量 ^a，b 的位置關(guān)系，同時(shí)借助|c_i-a|=1 構(gòu)造隱圓.畫出對(duì)應(yīng)的圖形，將求∣c₁-2λb∣+2∣c₁-λb∣ 的最小值問題轉(zhuǎn)化成求B^′C₃+B^′C₁ 之和的最小值問題.考慮到點(diǎn) C₁ 和點(diǎn)C₃ 均是動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)軌跡均是圓，解題中需要通過作其中一個(gè)圓的對(duì)稱圓，借助對(duì)稱性質(zhì)對(duì)線段進(jìn)行等量代換，便能直觀確定 B^′C₃+B^′C₁ 之和的最小值.

3 兩向量垂直構(gòu)圓

“直徑所對(duì)的圓周角是 90^° ”是圓的一個(gè)非常重要的性質(zhì)，說明構(gòu)成圓周角的兩條線段是垂直關(guān)系[3]，而垂直關(guān)系與平面向量中兩個(gè)向量的數(shù)量積為零對(duì)應(yīng).基于此，可以通過構(gòu)造隱圓解決平面向量問題.在解題的過程中，如果已知條件給出或者能夠推理出如下描述的內(nèi)容，就能構(gòu)造隱圓：已知平面向量AB的模為定值，且滿足 ，則點(diǎn) C 的軌跡是以 為直徑的圓.可以通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)其進(jìn)行證明.通過向量坐標(biāo)運(yùn)算不難得知點(diǎn) C 的軌跡包含點(diǎn) A 和點(diǎn) B 兩個(gè)點(diǎn).教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、運(yùn)用兩向量垂直關(guān)系構(gòu)造隱圓解決平面向量問題.

例3 已知平面向量 ^a，b 滿足 =a?b=1，2∣c∣²=b?c ，則 的最小值為

解析 由 可得

則向量 ^a，b 的夾角為 60^° ，即 ∠AOB=60^°

令 ，取 OB，OD 以及 AB 的中點(diǎn)分別為點(diǎn) _{D，F(xiàn)，E} ，如圖3所示，易得

在 ΔABO 中，可得 AO=1，OB=2 ，由余弦定理易得 （2則 ，即 ΔAOB 為直角

三角形， ∠OAB=90^° 易得 ∠PBE=30^°

則在 ΔBFE 中，由余弦定理得到：

由 2∣c∣²=b?c ，則 則 OC⊥DC. 則點(diǎn) c 的軌跡是以 F 為圓心，以點(diǎn) oD 為直徑的圓.

由 |c-a|²=AC²，|c-b|²=BC² ，則

∣c-a∣²+∣c-b∣²=AC²+BC².

在 ΔACE 和 ΔBCE 中，由余弦定理可得

（2

而 ∠AEC+∠BEC=180^°，EB=EA ，兩式相加，得

AC²+BC²=EA²+EB²+2EC²

問題轉(zhuǎn)化為求 EC 長度的最小值.顯然當(dāng) F，C ，E 三點(diǎn)共線時(shí)， EC 的長度最小，此時(shí) EC=FE-FC 3-1，則AC2 +BC2的最小值為

即 的最小值為

點(diǎn)評(píng)該題考查向量的數(shù)量積、余弦定理以及兩向量垂直構(gòu)造隱圓等知識(shí)，綜合性較強(qiáng).解題時(shí)，通過畫出對(duì)應(yīng)的圖形將題干中所給的向量對(duì)應(yīng)到圖形之中，并通過向量間的加法、加法運(yùn)算厘清圖形中對(duì)應(yīng)平面向量之間的位置關(guān)系.通過構(gòu)造隱圓，運(yùn)用余弦定理將問題轉(zhuǎn)化為求EC的最小值，對(duì)照?qǐng)D形便可準(zhǔn)確確定滿足題意的點(diǎn) C 的具體位置.

4對(duì)邊對(duì)角構(gòu)圓

圓有一個(gè)非常重要的性質(zhì)，即圓中弦所對(duì)的圓周角（弦非直徑時(shí)需要滿足在弦的同一側(cè)）相等.這一性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了線段、角度相等之間的轉(zhuǎn)化，為解決與之相關(guān)的問題提供重要依據(jù).圓的這一性質(zhì)，也可以通過平面向量之間的關(guān)系進(jìn)行描述：已知平面向量 的模是確定的，分別以點(diǎn) A 點(diǎn) B 為首或尾（或過點(diǎn) A 、點(diǎn) B ）的兩個(gè)向量所在的直線交于一點(diǎn) c 且 ∠ACB 的大小為定值 0lt;∠ACBlt;180^°） ，則點(diǎn) C 的軌跡是圓弧（不含點(diǎn) A 點(diǎn) B ）.如果 ∠ACB=90^° ，則需要根據(jù)習(xí)題題干中的已知條件判斷點(diǎn) C 的軌跡是優(yōu)弧還是劣弧

例4已知在 ΔABC 中， D 為 BC 的中點(diǎn)， BC=2 ，在 ΔABC 所在的平面內(nèi)存在一動(dòng)點(diǎn) P ，滿足 ，則 的最大值為

解析由 可得 ，而

由 BC=2 ， 可知，點(diǎn) A 的軌跡是以BC 為弦的優(yōu)弧（不含端點(diǎn)）.設(shè)優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的圓心為點(diǎn) M ，連接 MD，MB，MC，AD ，如圖4所示.

由 D 為 BC 的中點(diǎn)， BC=2 ， 則 D 在Rt ΔBMD 中，圓 M 的半徑

，其中 表示向量 在向量 上的投影，顯然投影的值越小，對(duì)應(yīng)的 · 的值越大.由圖4可知當(dāng)點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A₁ 的位置時(shí)滿足題意，此時(shí) 則 即 的最大值為

點(diǎn)評(píng) 該題考查向量的減法運(yùn)算法則、對(duì)邊對(duì)角構(gòu)造隱圓、向量的投影等知識(shí).解答該題需要先運(yùn)用題干中所給的向量關(guān)系，推理出平面向量 和 的關(guān)系.借助向量的減法運(yùn)算法則將求 的最大值問題轉(zhuǎn)化為求 的最大值問題.通過對(duì)邊對(duì)角構(gòu)造隱圓后，結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為求 的最小值.

5 結(jié)束語

綜上所述，構(gòu)造隱圓可以高效地解決平面向量中的最值問題.教學(xué)中，為使學(xué)生掌握構(gòu)造隱圓的方法，提高解答平面向量問題的能力，教師應(yīng)做好構(gòu)造隱圓四類情境的總結(jié)與講解，引導(dǎo)學(xué)生將圓的相關(guān)知識(shí)與平面向量知識(shí)銜接起來，借助平面向量的加法、減法法則構(gòu)造對(duì)應(yīng)的幾何圖形，尤其運(yùn)用圓的性質(zhì)將抽象問題直觀化，將復(fù)雜問題簡單化，有效規(guī)避煩瑣的計(jì)算.

參考文獻(xiàn)：

[1］王中學(xué)，李卉.巧用“隱圓”破解平面向量問題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2023（03）：1-2.

[2]龐良緒.借助隱圓解決向量問題直觀想象彰顯魅力［J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（19）：53-54.

[3］鄭艷.“隱圓”巧發(fā)現(xiàn)，問題妙破解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（27）：40-41.

[責(zé)任編輯：李慧嬌]