例談高中數學平面向量中的隱圓問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

隱圓問題指習題題干中并沒有明確給出圓，需要對題干進行轉化、運算，得出某點的運動軌跡符合圓以及圓的性質，依托圓的性質加以解決的一類問題.高中數學平面向量中涉及較多類型的隱圓問題，需要教師做好歸納，明確不同類型隱圓問題中構圓的方法與細節，并借助例題講解，幫助學生理解、實現靈活運用.

1 對角互補構圓

在平面四邊形中如果一組對角互補，則四邊形的四個點在同一圓上[1]，這一原理在平面向量中同樣適用.不同的是，解決平面向量問題需要先確定向量可以構成四邊形，而后對對角的互補關系進行判定.其中，向量能否構成四邊形可以運用平面向量的加法或減法法則作出判斷，而對角的角度關系需要借助已知條件或者向量的數量積運算得出具體的值后作出分析.當然還應注意兩個非零向量的夾角范圍為[0，π 切]，計算時要注意結合圖形，確定正確的角度.

例1已知平面向量 ^a，b，c 滿足 文章編號：1008-0333（2025）16-0007-04 則以 |c| 為直徑的圓的最大面積為

解析 由題意可知 ，易得 ∣b∣ =1 又由 可以得到向量 ^a，b 的夾角為 向量 c-a，c-b 的夾角為

根據題意作 OA=a，OB=b，OC=c ，連接 AC BC ，則 ，則 又由 （204號 則 _{A，C，B，O} 四點共圓，如圖1所示，易得 由圖可知當 OC 為圓的直徑時對應的|c| 最大.

在Rt△BOC 和 Rt△AOC 中，可得OC 又由 -∠AOC ，則 ∠AOC ）.整理，得2cos 即tan 則 .則 （204號的最大值為 則以 ∣c∣ 為直徑的圓的面積的最大值為

點評習題考查向量的數量積運算、對角互補構造隱圓、銳角三角函數值的計算等知識.其中，對角互補是隱含條件，是整個解題的關鍵.解題的過程中應具備通過對角互補構造隱圓的意識，對照畫出圖形，明確OC為隱圓直徑時對應的IcI最大，以 |c| 為直徑的圓的面積也最大.

2模長為定值構圓

向量的模是平面向量中非常重要的概念.高中數學課本中指出向量是既有大小又有方向的量，而向量的模只指向量的大小，對應幾何視角下向量所在線段的長度[2].對于一個平面向量，如果其頭或尾是固定的點，而模長確定，則其尾或頭的軌跡是一個圓.基于此，在解答平面向量問題中，可以通過構造隱圓將平面向量問題轉化為與圓相關的問題進行解決.當然，如果平面向量之間通過加法或減法運算得到向量的模是定值，則得到向量的頭或尾的軌跡也是一個圓.例如，已知平面向量 是模長不等且均不為零的向量，若 為定值，則點 C 的軌跡是以點 B 為圓心，以 為半徑的圓.教學中，引導學生關注與理解這一重要關系，有助于更好地解答平面向量相關問題.

例2平面向量 a，b，c_i（i=1，2） 滿足 |a|=2|b| —8—

，則 ∣c₁-2λb∣+2∣c₂-λb∣ （ λ∈R） 的最小值為

解析由 ，可以得到 又由 a?b=∣a∣∣b∣cos ，易得 則向量 ^a，b 的夾角為

令 （20號 .又由 |c_i-a|=1 ，可知點 C₁，C₂ 在以 A 為圓心，半徑為1的圓上，點 C₃ 在以 A^′ 為圓心，半徑為2的圓上，如圖2所示，則A（2，0）， A^′（4，0）.

由已知條件以及圖2易知 2∣c₂-λb∣=∣2c₂

作圓 A 關于直線 OB₁ 的對稱圓 A₁ ，則 B^′C₁ =B^′C₄ ，且 A₁（0，2）

問題轉化為求 B^′C₃+B^′C₄ 的最小值問題.當點 C₄，A₁，B，A^′ 四點共線時 B^′C₃+B^′C₄ 的值最小.

又由 ，則B^′C₃+B^′C₄ 的最小值為

即 |c₁-2λb|+2|c₁-λb| 的最小值為

點評該題考查轉化思想、模長為定值構造隱圓，以及對稱法求線段最短等內容.解題中需要借助已知條件推理平面向量 ^a，b 的位置關系，同時借助|c_i-a|=1 構造隱圓.畫出對應的圖形，將求∣c₁-2λb∣+2∣c₁-λb∣ 的最小值問題轉化成求B^′C₃+B^′C₁ 之和的最小值問題.考慮到點 C₁ 和點C₃ 均是動點，運動軌跡均是圓，解題中需要通過作其中一個圓的對稱圓，借助對稱性質對線段進行等量代換，便能直觀確定 B^′C₃+B^′C₁ 之和的最小值.

3 兩向量垂直構圓

“直徑所對的圓周角是 90^° ”是圓的一個非常重要的性質，說明構成圓周角的兩條線段是垂直關系[3]，而垂直關系與平面向量中兩個向量的數量積為零對應.基于此，可以通過構造隱圓解決平面向量問題.在解題的過程中，如果已知條件給出或者能夠推理出如下描述的內容，就能構造隱圓：已知平面向量AB的模為定值，且滿足 ，則點 C 的軌跡是以 為直徑的圓.可以通過建立平面直角坐標系，借助向量的坐標運算對其進行證明.通過向量坐標運算不難得知點 C 的軌跡包含點 A 和點 B 兩個點.教學中，應注重引導學生學習、運用兩向量垂直關系構造隱圓解決平面向量問題.

例3 已知平面向量 ^a，b 滿足 =a?b=1，2∣c∣²=b?c ，則 的最小值為

解析 由 可得

則向量 ^a，b 的夾角為 60^° ，即 ∠AOB=60^°

令 ，取 OB，OD 以及 AB 的中點分別為點 _D，F，E ，如圖3所示，易得

在 ΔABO 中，可得 AO=1，OB=2 ，由余弦定理易得 （2則 ，即 ΔAOB 為直角

三角形， ∠OAB=90^° 易得 ∠PBE=30^°

則在 ΔBFE 中，由余弦定理得到：

由 2∣c∣²=b?c ，則 則 OC⊥DC. 則點 c 的軌跡是以 F 為圓心，以點 oD 為直徑的圓.

由 |c-a|²=AC²，|c-b|²=BC² ，則

∣c-a∣²+∣c-b∣²=AC²+BC².

在 ΔACE 和 ΔBCE 中，由余弦定理可得

（2

而 ∠AEC+∠BEC=180^°，EB=EA ，兩式相加，得

AC²+BC²=EA²+EB²+2EC²

問題轉化為求 EC 長度的最小值.顯然當 F，C ，E 三點共線時， EC 的長度最小，此時 EC=FE-FC 3-1，則AC2 +BC2的最小值為

即 的最小值為

點評該題考查向量的數量積、余弦定理以及兩向量垂直構造隱圓等知識，綜合性較強.解題時，通過畫出對應的圖形將題干中所給的向量對應到圖形之中，并通過向量間的加法、加法運算厘清圖形中對應平面向量之間的位置關系.通過構造隱圓，運用余弦定理將問題轉化為求EC的最小值，對照圖形便可準確確定滿足題意的點 C 的具體位置.

4對邊對角構圓

圓有一個非常重要的性質，即圓中弦所對的圓周角（弦非直徑時需要滿足在弦的同一側）相等.這一性質實現了線段、角度相等之間的轉化，為解決與之相關的問題提供重要依據.圓的這一性質，也可以通過平面向量之間的關系進行描述：已知平面向量 的模是確定的，分別以點 A 點 B 為首或尾（或過點 A 、點 B ）的兩個向量所在的直線交于一點 c 且 ∠ACB 的大小為定值 0lt;∠ACBlt;180^°） ，則點 C 的軌跡是圓弧（不含點 A 點 B ）.如果 ∠ACB=90^° ，則需要根據習題題干中的已知條件判斷點 C 的軌跡是優弧還是劣弧

例4已知在 ΔABC 中， D 為 BC 的中點， BC=2 ，在 ΔABC 所在的平面內存在一動點 P ，滿足 ，則 的最大值為

解析由 可得 ，而

由 BC=2 ， 可知，點 A 的軌跡是以BC 為弦的優弧（不含端點）.設優弧對應的圓心為點 M ，連接 MD，MB，MC，AD ，如圖4所示.

由 D 為 BC 的中點， BC=2 ， 則 D 在Rt ΔBMD 中，圓 M 的半徑

，其中 表示向量 在向量 上的投影，顯然投影的值越小，對應的 · 的值越大.由圖4可知當點 A 運動到點 A₁ 的位置時滿足題意，此時 則 即 的最大值為

點評 該題考查向量的減法運算法則、對邊對角構造隱圓、向量的投影等知識.解答該題需要先運用題干中所給的向量關系，推理出平面向量 和 的關系.借助向量的減法運算法則將求 的最大值問題轉化為求 的最大值問題.通過對邊對角構造隱圓后，結合圖形將問題轉化為求 的最小值.

5 結束語

綜上所述，構造隱圓可以高效地解決平面向量中的最值問題.教學中，為使學生掌握構造隱圓的方法，提高解答平面向量問題的能力，教師應做好構造隱圓四類情境的總結與講解，引導學生將圓的相關知識與平面向量知識銜接起來，借助平面向量的加法、減法法則構造對應的幾何圖形，尤其運用圓的性質將抽象問題直觀化，將復雜問題簡單化，有效規避煩瑣的計算.

參考文獻：

[1］王中學，李卉.巧用“隱圓”破解平面向量問題[J].中學生理科應試，2023（03）：1-2.

[2]龐良緒.借助隱圓解決向量問題直觀想象彰顯魅力［J].中學數學，2022（19）：53-54.

[3］鄭艷.“隱圓”巧發現，問題妙破解[J].中學數學教學參考，2021（27）：40-41.

[責任編輯：李慧嬌]