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例談高中數(shù)學(xué)平面向量中的隱圓問題

2025-07-22 00:00:00張梅
關(guān)鍵詞:對(duì)角余弦定理軌跡

中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

隱圓問題指習(xí)題題干中并沒有明確給出圓,需要對(duì)題干進(jìn)行轉(zhuǎn)化、運(yùn)算,得出某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡符合圓以及圓的性質(zhì),依托圓的性質(zhì)加以解決的一類問題.高中數(shù)學(xué)平面向量中涉及較多類型的隱圓問題,需要教師做好歸納,明確不同類型隱圓問題中構(gòu)圓的方法與細(xì)節(jié),并借助例題講解,幫助學(xué)生理解、實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用.

1 對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)圓

在平面四邊形中如果一組對(duì)角互補(bǔ),則四邊形的四個(gè)點(diǎn)在同一圓上[1],這一原理在平面向量中同樣適用.不同的是,解決平面向量問題需要先確定向量可以構(gòu)成四邊形,而后對(duì)對(duì)角的互補(bǔ)關(guān)系進(jìn)行判定.其中,向量能否構(gòu)成四邊形可以運(yùn)用平面向量的加法或減法法則作出判斷,而對(duì)角的角度關(guān)系需要借助已知條件或者向量的數(shù)量積運(yùn)算得出具體的值后作出分析.當(dāng)然還應(yīng)注意兩個(gè)非零向量的夾角范圍為[0,π 切],計(jì)算時(shí)要注意結(jié)合圖形,確定正確的角度.

例1已知平面向量 a,b,c 滿足 文章編號(hào):1008-0333(2025)16-0007-04 則以 |c| 為直徑的圓的最大面積為

解析 由題意可知 ,易得 ∣b∣ =1 又由 可以得到向量 a,b 的夾角為 向量 c-a,c-b 的夾角為

根據(jù)題意作 OA=a,OB=b,OC=c ,連接 AC BC ,則 ,則 又由 (204號(hào) 則 A,C,B,O 四點(diǎn)共圓,如圖1所示,易得 由圖可知當(dāng) OC 為圓的直徑時(shí)對(duì)應(yīng)的|c| 最大.

在Rt△BOC 和 Rt△AOC 中,可得OC 又由 -∠AOC ,則 ∠AOC ).整理,得2cos 即tan .則 (204號(hào)的最大值為 則以 ∣c∣ 為直徑的圓的面積的最大值為

圖1 A,C,B,O 四點(diǎn)共圓示意圖

點(diǎn)評(píng)習(xí)題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓、銳角三角函數(shù)值的計(jì)算等知識(shí).其中,對(duì)角互補(bǔ)是隱含條件,是整個(gè)解題的關(guān)鍵.解題的過程中應(yīng)具備通過對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓的意識(shí),對(duì)照畫出圖形,明確OC為隱圓直徑時(shí)對(duì)應(yīng)的IcI最大,以 |c| 為直徑的圓的面積也最大.

2模長為定值構(gòu)圓

向量的模是平面向量中非常重要的概念.高中數(shù)學(xué)課本中指出向量是既有大小又有方向的量,而向量的模只指向量的大小,對(duì)應(yīng)幾何視角下向量所在線段的長度[2].對(duì)于一個(gè)平面向量,如果其頭或尾是固定的點(diǎn),而模長確定,則其尾或頭的軌跡是一個(gè)圓.基于此,在解答平面向量問題中,可以通過構(gòu)造隱圓將平面向量問題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的問題進(jìn)行解決.當(dāng)然,如果平面向量之間通過加法或減法運(yùn)算得到向量的模是定值,則得到向量的頭或尾的軌跡也是一個(gè)圓.例如,已知平面向量 是模長不等且均不為零的向量,若 為定值,則點(diǎn) C 的軌跡是以點(diǎn) B 為圓心,以 為半徑的圓.教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注與理解這一重要關(guān)系,有助于更好地解答平面向量相關(guān)問題.

例2平面向量 a,b,ci(i=1,2) 滿足 |a|=2|b| —8—

,則 ∣c1-2λb∣+2∣c2-λb∣ ( λ∈R) 的最小值為

解析由 ,可以得到 又由 a?b=∣a∣∣b∣cos ,易得 則向量 a,b 的夾角為

(20號(hào) .又由 |ci-a|=1 ,可知點(diǎn) C1,C2 在以 A 為圓心,半徑為1的圓上,點(diǎn) C3 在以 A 為圓心,半徑為2的圓上,如圖2所示,則A(2,0), A(4,0).

圖2點(diǎn) C1,C2 以及點(diǎn) C3 的軌跡示意圖

由已知條件以及圖2易知 2∣c2-λb∣=∣2c2

作圓 A 關(guān)于直線 OB1 的對(duì)稱圓 A1 ,則 BC1 =BC4 ,且 A1(0,2)

問題轉(zhuǎn)化為求 BC3+BC4 的最小值問題.當(dāng)點(diǎn) C4,A1,B,A 四點(diǎn)共線時(shí) BC3+BC4 的值最小.

又由 ,則BC3+BC4 的最小值為

即 |c1-2λb|+2|c1-λb| 的最小值為

點(diǎn)評(píng)該題考查轉(zhuǎn)化思想、模長為定值構(gòu)造隱圓,以及對(duì)稱法求線段最短等內(nèi)容.解題中需要借助已知條件推理平面向量 a,b 的位置關(guān)系,同時(shí)借助|ci-a|=1 構(gòu)造隱圓.畫出對(duì)應(yīng)的圖形,將求∣c1-2λb∣+2∣c1-λb∣ 的最小值問題轉(zhuǎn)化成求BC3+BC1 之和的最小值問題.考慮到點(diǎn) C1 和點(diǎn)C3 均是動(dòng)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)軌跡均是圓,解題中需要通過作其中一個(gè)圓的對(duì)稱圓,借助對(duì)稱性質(zhì)對(duì)線段進(jìn)行等量代換,便能直觀確定 BC3+BC1 之和的最小值.

3 兩向量垂直構(gòu)圓

“直徑所對(duì)的圓周角是 90° ”是圓的一個(gè)非常重要的性質(zhì),說明構(gòu)成圓周角的兩條線段是垂直關(guān)系[3],而垂直關(guān)系與平面向量中兩個(gè)向量的數(shù)量積為零對(duì)應(yīng).基于此,可以通過構(gòu)造隱圓解決平面向量問題.在解題的過程中,如果已知條件給出或者能夠推理出如下描述的內(nèi)容,就能構(gòu)造隱圓:已知平面向量AB的模為定值,且滿足 ,則點(diǎn) C 的軌跡是以 為直徑的圓.可以通過建立平面直角坐標(biāo)系,借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算對(duì)其進(jìn)行證明.通過向量坐標(biāo)運(yùn)算不難得知點(diǎn) C 的軌跡包含點(diǎn) A 和點(diǎn) B 兩個(gè)點(diǎn).教學(xué)中,應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、運(yùn)用兩向量垂直關(guān)系構(gòu)造隱圓解決平面向量問題.

例3 已知平面向量 a,b 滿足 =a?b=1,2∣c∣2=b?c ,則 的最小值為

解析 由 可得

則向量 a,b 的夾角為 60° ,即 ∠AOB=60°

,取 OB,OD 以及 AB 的中點(diǎn)分別為點(diǎn) D,F(xiàn),E ,如圖3所示,易得

圖3 a,b 以及 c 示意圖

在 ΔABO 中,可得 AO=1,OB=2 ,由余弦定理易得 (2則 ,即 ΔAOB 為直角

三角形, ∠OAB=90° 易得 ∠PBE=30°

則在 ΔBFE 中,由余弦定理得到:

由 2∣c∣2=b?c ,則 則 OC⊥DC. 則點(diǎn) c 的軌跡是以 F 為圓心,以點(diǎn) oD 為直徑的圓.

由 |c-a|2=AC2,|c-b|2=BC2 ,則

∣c-a∣2+∣c-b∣2=AC2+BC2.

在 ΔACE 和 ΔBCE 中,由余弦定理可得

(2

而 ∠AEC+∠BEC=180°,EB=EA ,兩式相加,得

AC2+BC2=EA2+EB2+2EC2

問題轉(zhuǎn)化為求 EC 長度的最小值.顯然當(dāng) F,C ,E 三點(diǎn)共線時(shí), EC 的長度最小,此時(shí) EC=FE-FC 3-1,則AC2 +BC2的最小值為

的最小值為

點(diǎn)評(píng)該題考查向量的數(shù)量積、余弦定理以及兩向量垂直構(gòu)造隱圓等知識(shí),綜合性較強(qiáng).解題時(shí),通過畫出對(duì)應(yīng)的圖形將題干中所給的向量對(duì)應(yīng)到圖形之中,并通過向量間的加法、加法運(yùn)算厘清圖形中對(duì)應(yīng)平面向量之間的位置關(guān)系.通過構(gòu)造隱圓,運(yùn)用余弦定理將問題轉(zhuǎn)化為求EC的最小值,對(duì)照?qǐng)D形便可準(zhǔn)確確定滿足題意的點(diǎn) C 的具體位置.

4對(duì)邊對(duì)角構(gòu)圓

圓有一個(gè)非常重要的性質(zhì),即圓中弦所對(duì)的圓周角(弦非直徑時(shí)需要滿足在弦的同一側(cè))相等.這一性質(zhì)實(shí)現(xiàn)了線段、角度相等之間的轉(zhuǎn)化,為解決與之相關(guān)的問題提供重要依據(jù).圓的這一性質(zhì),也可以通過平面向量之間的關(guān)系進(jìn)行描述:已知平面向量 的模是確定的,分別以點(diǎn) A 點(diǎn) B 為首或尾(或過點(diǎn) A 、點(diǎn) B )的兩個(gè)向量所在的直線交于一點(diǎn) c 且 ∠ACB 的大小為定值 0lt;∠ACBlt;180°) ,則點(diǎn) C 的軌跡是圓弧(不含點(diǎn) A 點(diǎn) B ).如果 ∠ACB=90° ,則需要根據(jù)習(xí)題題干中的已知條件判斷點(diǎn) C 的軌跡是優(yōu)弧還是劣弧

例4已知在 ΔABC 中, D 為 BC 的中點(diǎn), BC=2 ,在 ΔABC 所在的平面內(nèi)存在一動(dòng)點(diǎn) P ,滿足 ,則 的最大值為

解析由 可得 ,而

由 BC=2 , 可知,點(diǎn) A 的軌跡是以BC 為弦的優(yōu)弧(不含端點(diǎn)).設(shè)優(yōu)弧對(duì)應(yīng)的圓心為點(diǎn) M ,連接 MD,MB,MC,AD ,如圖4所示.

圖4點(diǎn) A 軌跡示意圖

由 D 為 BC 的中點(diǎn), BC=2 , D 在Rt ΔBMD 中,圓 M 的半徑

,其中 表示向量 在向量 上的投影,顯然投影的值越小,對(duì)應(yīng)的 · 的值越大.由圖4可知當(dāng)點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A1 的位置時(shí)滿足題意,此時(shí) 的最大值為

點(diǎn)評(píng) 該題考查向量的減法運(yùn)算法則、對(duì)邊對(duì)角構(gòu)造隱圓、向量的投影等知識(shí).解答該題需要先運(yùn)用題干中所給的向量關(guān)系,推理出平面向量 的關(guān)系.借助向量的減法運(yùn)算法則將求 的最大值問題轉(zhuǎn)化為求 的最大值問題.通過對(duì)邊對(duì)角構(gòu)造隱圓后,結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為求 的最小值.

5 結(jié)束語

綜上所述,構(gòu)造隱圓可以高效地解決平面向量中的最值問題.教學(xué)中,為使學(xué)生掌握構(gòu)造隱圓的方法,提高解答平面向量問題的能力,教師應(yīng)做好構(gòu)造隱圓四類情境的總結(jié)與講解,引導(dǎo)學(xué)生將圓的相關(guān)知識(shí)與平面向量知識(shí)銜接起來,借助平面向量的加法、減法法則構(gòu)造對(duì)應(yīng)的幾何圖形,尤其運(yùn)用圓的性質(zhì)將抽象問題直觀化,將復(fù)雜問題簡單化,有效規(guī)避煩瑣的計(jì)算.

參考文獻(xiàn):

[1]王中學(xué),李卉.巧用“隱圓”破解平面向量問題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試,2023(03):1-2.

[2]龐良緒.借助隱圓解決向量問題直觀想象彰顯魅力[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2022(19):53-54.

[3]鄭艷.“隱圓”巧發(fā)現(xiàn),問題妙破解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2021(27):40-41.

[責(zé)任編輯:李慧嬌]

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