專題設計引導，從“模型”走向“解題”

探究綜述

動點軌跡類問題是中考的高頻考點，常以動點軌跡為背景探究線段長或線段長的最值.學生常因知識不足或思維受限，難以準確地判斷動點軌跡，導致解題時無從下手.對此，教師應引導學生掌握動點軌跡問題的基本類型，以及破解問題的一般策略.

在初中階段常見的動點軌跡類型主要有兩種：一是直線型；二是圓弧型.教學中，教師應采用專題探究方式，針對具體類型構建模型，引導學生深入分析，歸納總結.本文以瓜豆原理動點軌跡直線型問題為例開展專題探究，引導學生從“模型”走向“解題”，結合圖形拾級而上，探索解題策略.

模型講解

1.原理拆解

瓜豆原理是探索動點軌跡問題的核心原理，其內容為：一個主動點，一個從動點（根據某種約束條件，跟著主動點運動），當主動點運動時，從動點的運動軌跡與主動點相同.通過探索瓜豆原理的滿足條件，引導學生明晰該原理的適用情形.

滿足條件：

① 兩“動”，一“定”；兩動點的運動軌跡是相似的，運動軌跡的長度比和它們到定點的距離比相同

② 兩動點與定點的連線夾角是定角；③ 兩動點到定點的距離比值是定值.

2.例題解析

教學瓜豆原理動點軌跡直線模型時，教師應結合例題，幫助學生直觀理解.整個過程應注意例題分析、思路講解及模型總結.

例題：如圖1所示， ΔAPQ 是等腰直角三角形， ∠PAQ=90^° 且AP=AQ ，當點 P 在線段 BC 上運動時，求點 Q 的軌跡.

教學引導結合瓜豆原理進行分析，引導學生關注 AP 與AQ的夾角及比值，當其夾角固定，且 AP AQ為定值時，點 P ， Q 的運動軌跡相同.

當確定軌跡為直線或線段時，可以任取兩個時刻 Q 點的位置，將其連接即可.例如，連接點 Q 運動的起始時刻和終止時刻的位置，即連接 Q₁ 和 Q₂ ，如圖2所示，連線即為點 Q 的軌跡.

過程解析探索瓜豆原理成立的必要條件.

① ∠PAQ是定值，即主動點 P /從動點 Q 與定點 A 連線的夾角是定量；

②AP：AQ 是定值，則主動點P 、從動點 Q 到定點 A 的距離之比是定量.

結論： P ， Q 兩點軌跡所在直線的夾角等于 ∠PAQ （當 ∠PAQ?90^° 時， ∠PAQ 等于直線 MN 與 BC 的夾角），如圖3（1）所示.

點 P 從點 B 運動到點C時，點Q的運動軌跡為MN， P ， Q 兩點軌跡長度之比等于 AP：AQ ，解題時常常結合三角形相似原理來轉化線段比值，根據ΔABC～ΔAMN ，可轉化為 AP：AQ= BC：MN ，如圖3（2）所示，

分層探索

瓜豆原理直線型動點軌跡問題的解題過程，涉及條件整合、軌跡確定、模型構造、最值分析等內容.整個過程較為復雜，學生求解析時會遇到困難.教師可采用分層引導方式，逐步拆解問題，構建模型，直至問題得到解決.

1.例題呈現

問題如圖4所示，點 D ， E 是邊長為4的等邊三角形ABC邊上的中點， P 為中線 AD 上的動點，把線段 PC 繞 c 點逆時針旋轉 60^° ，得到P^′ ，試求 EP^′ 的最小值.

2.教學引導

結合實例，引導學生進一步理解瓜豆原理，整個流程分為四層.

第一層，探索點 P^′ 的軌跡

引導學生解讀問題條件，明確其中的定點 c 、主動點 P 、從動點P^′ ，以及對應連線之間的夾角（∠PCP）為定值，如圖5（1）所示.顯然滿足瓜豆原理的成立條件，因此可以確定動點 P^′ 的軌跡為直線.

若要確定從動點 P^′ 的具體軌跡，則可通過主動點 P 在點A和 D 的位置時，點 P^′ 分別對應的位置，連接其起始點和終止點，即可確定軌跡，如圖5（2）所示.

第二層，分析運動長度

引導學生直觀分析主動點 P /從動點 P^′ 的運動路徑長度，從條件來看，點 P 與 P^′ 到定點 c 的距離相等，理論上其運動路徑長度相等.教師可引導學生構造手拉手模型，通過說理來具體推導.

建模過程如下：以旋轉中心 c 為頂點進行構造，只需找到一組對應的主動點、從動點即可.例如，將線段 AD 中的點A繞著點 C 逆時針旋轉 60^° ，即為點 B ，連接 BP^′ 即可得到一組手拉手模型，如圖5（3）所示.分析其中的 ∠CAP 和 ∠CBP^′ ，根據全等可判定兩角相等，由于點B為定點，則可判定 P^′ 的軌跡為直線.

第三層：軌跡夾角與旋轉角關系

引導學生進一步關注點 P 和點P^′ 軌跡夾角和旋轉角的關系，可結合圖示進行直觀分析.若旋轉角為銳角，顯然夾角與旋轉角相等；若旋轉角為鈍角，則主動點與從動點軌跡的夾角等于旋轉角的補角．

第四層：解法另探

上述利用瓜豆原理明確了動點軌跡的情形，并構建了“手拉手”

模型來推理條件.教師可引導學生針對其中的旋轉構建“手拉手”模型，探究不一樣的解題方法.例如，將EC繞點 c 順時針旋轉 60^° ，構造手拉手模型（SAS全等型），從而得到P^′E=PG ，最小值即為點 G 到 AD 的距離，如圖6所示.

3.過程解析

上述流程分四層引導學生進行探索分析，整個解題過程需要確定從動點的運動軌跡，利用旋轉構造“手拉手”模型，利用三角形全等推導條件，最后完成最值問題的求解.教師可引導學生按照上述流程來構建解析過程，最終總結出兩種旋轉方式.

策略一：找從動點軌跡

連接 BP^′ ，如圖7所示.根據旋轉可得 CP=CP^′ ， ∠P^′CP=60^° ，經分析可證 ΔACP?ΔBCP^′ （SAS），可推知 ∠CBP^′=∠CAP. 在邊長為4的等邊三角形 ABC 中， P 是對稱軸 AD 上的一個動點，則 ∠CAP=30^° ，BD=2 ，所以 ∠CBP^′=30^° ，即點 P^′ 的運動軌跡為直線 BP^′

當 EP⊥BP^′ 時， EP^′ 最短，此時， ，即 EP^′ 的最小值是3.

策略二：代換所求線段

將點 E 繞點 C 順時針旋轉 60^° 得到點 G ，連接 PG ，CG， EP^′ ，如圖8所示，由旋轉可得 EC=CG ， CP= CP^′ ， ∠P^′CP=60^° ， ∠ECG=60^° ，則 ΔECG 是等邊三角形， EG=2 進一步分析可知 ΔGCP?ΔECP^′ （SAS），則 EP^′=GP

過點 G 作 AD 的垂線 GH ，垂足為 H ，GH即為所求，如圖9所示.通過角度推導，可確定 HG//DC ，故G ， E ， H 三點共線，則有 HE//DC 又知點 E 為 AC 的中點，由分線段成比例可知點 H 為 AD 的中點，則DC=1，則EP'=GP = HE+EG=3 ，即 EP^′ 的最小值是3.

4.探究總結

上述教學探究中，涉及三種處理方式，需要學生重點關注：

（1）找始末，定軌跡，即結合動點的起點和終點來確定整個軌跡;

（2）由旋轉，定軌跡，即在軌跡上找一點旋轉，構造手拉手模型，再通過角度相等得到從動點的軌跡；

（3）反向選，定軌跡，即反向旋轉相關定點，構造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構造.

教學思考

綜上所述，筆者對瓜豆原理動點軌跡直線型問題進行了專題探究，從“模型”走向“解題”，幫助學生建構知識體系與方法體系，并在反思教學的基礎上提出了相應建議.

1.原理解讀，模型總結

瓜豆原理經常用于探索動點軌跡，同時也有一定的適用條件.教師可引導學生深度解讀原理，構建模型.解讀原理時，教師可參照上述流程進行梳理，構建必要條件，并結合實例進行直觀講解.構建模型時，教師可結合圖示，引導學生關注圖形特征，梳理其中的定點、主從動點，以及動點關聯，再構建動點軌跡模型.

2.例題呈現，思路解析

應用瓜豆原理解題的過程較為復雜，只講解解題策略，學生又難以深刻理解，因此教學中教師可結合實例，注重思路講解，讓學生明晰其構建過程.以上述探究為例，教師選用典型的動點軌跡問題，引導學生按照“運動分析 $$ 軌跡確定 $$ 解析構建”流程來解析，整個過程注意思路引導，讓學生明晰每個環節的核心內容及注意事項.

3.數形結合，分層構建

探究模型時，教師可采用“數形結合 + 分層構建”思路，即結合具體圖形，讓學生直觀分析，借助信息條件繪制圖形，挖掘圖形中隱含的信息，進而構建思路.應用模型具體解題時，教師也可采用分層構建思路，引導學生梳理條件、整合信息、推導分析，層與層之間相互關聯，逐級深入，直抵問題主體.

結束語

總之，探究瓜豆原理的動點軌跡直線型問題時，教師應采用專題探究方式，合理設計解題環節，引導學生從“模型”學習走向“解題”應用，幫助學生理解模型原理，形成解題策略.