平面向量是解決數(shù)學(xué)問題的有力工具，能夠建立起“數(shù)”與“形”的關(guān)系，使得數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想發(fā)揮應(yīng)有的作用，所以向量問題往往能體現(xiàn)一題多解的優(yōu)勢，下面以一道模擬題為研究對象，從多角度展開解答，并對題型、解題思路和知識點的聯(lián)系進行了思考.

1 題目呈現(xiàn)

已知平面中的非零向量 ^{a，b，c} ，滿足 .b?c=0，a?b=1，a?c=-1 ，則 |b+c| 的最小值為（ ）

(A)4. (B)2. (C)1. (D)

分析題目涉及三個平面非零向量 ^{a，b，c} ，綜合考查了平面向量的模和數(shù)量積運算，以及平面向量的加法運算.在解法上，可以從兩個方面進行思考：一方面是向量本身，從平面向量知識結(jié)構(gòu)看，可以通過線性運算進行處理問題，就是很多地方提出的幾何法.當(dāng)然也可以建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)進行解答；另一方面可以從問題角度分析，問題是要求一個向量的最小值，則可以考慮基本不等式、函數(shù)思想和三角代換等角度考慮.下面具體展開討論.

2 問題解答

2. 1 坐標(biāo)法

解 因為

不妨設(shè) a=(1，0) .向量 ^b，c 未知，

則分別設(shè)為 b=(x₁，y₁) ！ c=(x₂，y₂) ：

已知 b?c=0 ，

所以 x₁x₂+y₁y₂=0 ：

因為 _a?b=1，a?c=-1

所以 x₁=1，x₂=-1

所以 b=(1，y₁) ， c=(-1，y₂) ，

則 b+c=(0，y₁+y₂) ，

y₁y₂=1

所以

當(dāng)且僅當(dāng) y₁=y₂=±1 時等號成立.

所以 |b+c| 的最小值為2.

故選(B).

思考根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，將各個向量的坐標(biāo)假設(shè)出來，問題全部轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)的相關(guān)運算，這樣相對難度比較低，完全是數(shù)的體現(xiàn)，所以平面向量的問題，能轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)進行運算的，優(yōu)先考慮坐標(biāo)運算．不過在解答過程中，最終得到 |b+c|= 后，處理方式也是關(guān)鍵，這里是選擇了基本不等式，當(dāng)然也可以用函數(shù)思想進行求解.解題的基本思路是先確定好坐標(biāo)，或者建立直角坐標(biāo)系，得到向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的坐標(biāo)表示進行運算即可.

2.2 三角代換法

解設(shè)向量 與 的夾角為 _α，a 與 c 的夾角為 β

因為 _a?_b=1，a?c=-1

所以

又因為 b?c=0，a?c=-1

所以 ：

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，因為 a?b=1 |a|=1 ，

所以有 |b|cosα=1 ，即

又

所以 ，即

所以 =2 ，當(dāng)且僅當(dāng) sinα=cosα 時等號成立.

所以 |b+c| 的最小值為2.

故選(B).

思考該思路是根據(jù)平面向量的數(shù)量積與其夾角有關(guān)，所以分別將向量 與 的夾角和 與 c 的夾角設(shè)出來，然后根據(jù)已知找到他們的關(guān)系，利用向量的數(shù)量積運算，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題進行處理.將“形”與“數(shù)”巧妙地結(jié)合，根據(jù)向量的夾角轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)后，利用三角恒等變換和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其應(yīng)用進行解答.答題的基本思路就是設(shè)出相關(guān)向量的夾角，再根據(jù)向量的相關(guān)運算轉(zhuǎn)化三角函數(shù)問題，最后根據(jù)三角函數(shù)求最值的思路進行.

2.3 特殊形狀法

解 因為 b?c=0 所以 與 ∣c∣ 是一矩形的鄰邊.

要求的 ∣b+c∣ 是以 ∣b∣，∣c∣ 為鄰邊的矩形的對角線.

即 |b+c|=|b-c|

要使矩形的對角線最短，則為正方形，即|b|=|c| ：

因為 所以此時 b+c 與 垂直時取得最小值所以 |b+c|?2|a|=2.

所以 的最小值為2.

故選(B).

思考該方法針對選擇題，從“形”的角度切人，通過形進行分析，從幾何特征考慮，得出|b+c| 是以 為鄰邊的矩形的對角線，要使矩形的對角線最短，則為正方形，即 |b|=|c| .而根據(jù)已知 ，要取最小值須b+c 與 垂直，為特殊位置考慮.解題的一般依據(jù)是：涉及動點或動直線的最值問題，是位置特殊化；涉及面積的最值則是形狀特殊化；涉及變量的最值則是變量的特殊值處理.但也不是絕對性的.

3結(jié)語

文章從一道平面向量題出發(fā)，根據(jù)題目特征和知識作用，從坐標(biāo)法、三角代換法和特殊形狀及特殊位置等多視角對題目進行解答.坐標(biāo)法是解決向量問題的最基本和最直接的解法，在解答向量問題時應(yīng)該優(yōu)先考慮；三角代換是由于在利用向量的數(shù)量積運算時涉及夾角，從而與三角函數(shù)有關(guān)，而三角函數(shù)本身就是求最值的有力辦法，所以將向量最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)進行解答也是常見的方法之一；特殊法主要針對選擇題，一般情況下，要取得最值是特殊值、特殊位置和特殊形狀的時候，所以本題是根據(jù)題目先對形狀進行了特殊，再對位置進行特殊，最終得到結(jié)果.

參考文獻：

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