用均值不等式求函數(shù)最值的幾種方法探究

均值不等式是高中數(shù)學(xué)的主要知識之一，主要有均值不等式及其變形形式和幾個重要不等式，主要作用是求最值.函數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的重要知識，也是高考的必考內(nèi)容，其中求函數(shù)的最值是主要考查題型之一.在考查函數(shù)求最值的題型中，一般解答方法是求導(dǎo)法，但是在特定情況下，使用均值不等式會更加快捷，下面從對函數(shù)的處理角度，分成配湊法、分離法、倒數(shù)法三個方面進(jìn)行討論.

1配湊法

配湊法主要是根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征和函數(shù)形式進(jìn)行的，根據(jù)配湊項(xiàng)，一般分為兩種：一是配系數(shù)，即根據(jù)均值不等式形式，屬于“和定求積的最小值”，此時函數(shù)的結(jié)構(gòu)為兩項(xiàng)積的形式；二是配項(xiàng)，即根據(jù)均值不等式形式，屬于“積定求和的最小值”，此時函數(shù)的結(jié)構(gòu)為兩項(xiàng)和的形式.

1. 1 配系數(shù)

例1 已知函數(shù) ，當(dāng) x∈ （0，4）時，求函數(shù)的最大值.

解根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，

當(dāng)且僅當(dāng) 2x=8-2x ，即 x=2 時，等號成立.所以當(dāng) x∈Γ(0，4) 時，函數(shù) 2x ）的最大值為4.

評注這種方法主要是針對函數(shù) f(x)= C ιx(b-cx ） (a≠c )求最大值，為了能滿足使用均值不等式的條件，通過配系數(shù)的方法使兩個變量 x 前面的系數(shù)相等，即在函數(shù)前面乘以 ，同時再乘，然后使用均值不等式求出最值，驗(yàn)證等號是否成立.

1. 2 配項(xiàng)

例2 已知函數(shù) 的定義域?yàn)? 求函數(shù)的最小值.

解根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征，有 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立.所以當(dāng) 時，函數(shù) 得最小值為8.

評注 該方法主要針對形如 f(x)=ax+b+ ）的函數(shù)，求最小值的題型.為了使其能滿足均值不等式使用條件，只需要將 ax+b 通過配項(xiàng)，使其與 ax+c 相等即可，即只需要對函數(shù)同時加和減 Ψ_c 即可.然后使用均值不等式求出函數(shù)最小值，驗(yàn)證等號是否成立即可.

2 配湊 + 分離法

例3 求函數(shù)的最小值.

解 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x=1 時，等號成立.所以當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)=χ2+7x+10 取得最小值，為9.

評注 該方法主要是針對形如 f(x)= （20號 的函數(shù)求最值.在選擇使用均值不等式時，需要先對分子進(jìn)行配湊，使其配湊成 p (mx+n)²+q(mx+n)+k 的形式，然后對分式進(jìn)行分離，使其拆分成3項(xiàng)，從而滿足均值不等式的使用形式.

3倒數(shù)法

例4 已知函數(shù) 當(dāng) x>0 時，1求函數(shù)的最大值.

解因?yàn)? ，

所以 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x=2 時，等號成立.所以當(dāng) x=2 時，函數(shù) 取得最大值

評注該方法主要針對形如 （ (a≠0，b≠0) ）的函數(shù)求最大值，首先是將函數(shù)倒過來，所求函數(shù)的最小值，倒過來之后，符合例3的題型，則按照例3所述方法處理即可.

4結(jié)語

求函數(shù)最值是考查函數(shù)性質(zhì)的常規(guī)題型之一，其主要方法有求導(dǎo)法、均值不等式法和特殊函數(shù)法，而均值不等式法是最常用、最簡潔的方法之一.本文從均值不等式的基本特征出發(fā)，根據(jù)均值不等式的使用條件，從配湊法、分離法、倒數(shù)法三種方法進(jìn)行例談，具體討論了均值不等式在函數(shù)求最值中的應(yīng)用策略，其中配湊法又分為了配系數(shù)和配項(xiàng)兩個方面.

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