聚焦雙重最值問題

雙重最值問題是指求解 f₂（x₂），…，f_n（x_n）}} 或 f₂（x₂），…，f_n（x_n）}} 的最值問題，按其變元的個數可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題.這類問題具有一定難度，時常出現在各級各類考試的選擇題或填空題中，那么求解這類問題有哪些基本方法呢？本文舉例說明.

1構造不等式

例1記 max{a，b} 為 α_a，b 兩個數的最大值，當正數 x，y（xgt;2y 變化時， 的最小值為

解析

由 ，可得

所以 因為 x，y 為正數，且 （20 2y ，所以

當且僅當 2y=x-2y ，即 x=4y 時，等號成立.因此 當且僅當 ，即 時，等號成立，所以 Ψ_t 的最小值為4.

變式記 max{a，b} 為 a_λ，b 兩個數的最大值，當正數 x，y（xgt;y） 變化時， 的最小值為

. 由 ，可得 t?x²，t? 解析 所以 因為 x，y 是正數，且 xgt;y ，所以 當且僅當 y=_x-y ，即 x=2y 時，等號成立.因此

當且僅當 x2，x=2y，即=2，y=1時，等號成立，所以 Ψ_t 的最小值為4.

最值問題本質是一種不等關系問題.解題時可以從 max{a，b} 的定義出發，根據 t= max{a，b} 構造不等式： t≥a，t≥b ，進而利用不等式的性質求解.

2 構造方程

例2若 agt;0，bgt;0，cgt;0 ，且 a+b+c=12 ， ab+bc+ca=45 ，則 min{max{a，b，c}}=

注意到 a，b，c 的對稱性，不妨設 a=max{a ， .又 b+c=12-a，bc=45-a（12-a） 所以 ^b，c 是方程 x²+（a-12）x+45-a（12-a）=0 的兩個根，且 b?a，c?a ，故

解得 5?a?6 ，當 a=b=5，c=2 時，有

min{max{a，b，c}}=5.

對于有限制條件的三元雙重最值問題，當其中的兩個變量可以用另外一個變量表示成

某個一元二次方程的根與系數關系的形式時，可以構造一元二次方程，根據根的分布情況解題.

3數形結合思想

例3用 min{a，b，c} 表示 _a，b，c 三個數的最小值.設 f（x）=min{2^x，x+2，10-x} ，則 f（x） 的最大值為

易知函數 y=10-x 是減函數， y=x+2 是增函數， y=2^x 是增函數，在同一平面直角坐

標系中作出這三個函數的圖像，如圖1所示.令 x+

$2 = 1 0 ^ { ? } - x ?$ ，可得 x=4 ，此時 x+2=10-x=6 設 y=

x+2 與 y=2^x 圖像的交點是 A，B，y=x+2 與 y=

_10-x 圖像的交點為 C（4，6） ，則 f（x） 的圖像如圖2

所示，由圖可知 C 為最高點，所以 f（x） 的最大值為6.

例4定義一種運算 （204號設 f（x）=min{4+2x-x²，∣x-t∣}（t 為常數），且x∈[-3，3] ，則使函數 f（x） 的最大值為4的 Ψ_tΨ_Ψ 值是

（204號 y=4+2x-x²=-（x-1）²+5 在[-3，3]

上的最大值為5.由 4+2x-x²=4 ，解得 x= 2或0，要使函數 f（x） 的最大值為4，根據定義結合y=4+2x-x² 與 y=|x-t| 圖像（如圖3），可知當tlt;1 時， y=|x-t| 的圖像必經過點（2，4），即當 x=2 時，有 ，解得 t=-2. 當 tgt;1 時， y=|x-t| （20的圖像必經過點（0，4），即當 x=0 時，有 ∣0-t∣=4 ，解得 t=4 ，故 t=-2 或4.

若雙重最值問題中涉及的函數圖像比較容易畫出，一般可借助函數圖像直觀的特點，通過數形結合思想得到參數的值或取值范圍.

4分類討論

例5 已知 設函數（20

f（x）=min{x-3，-x²+4x-3} ，則 f（x） 的最大值是（ ）.

當 x-3?-x²+4x-3 ，即 0?x?3 時，f（x）=x-3. 當 x-3gt;-x²+4x-3 ，即xlt;0 或 xgt;3 時， f（x）=-x²+4x-3 ，所以

當 0?x?3 時， f（x）=x-3 單調遞增，所以f（x）?f（3）=3-3=0.

當 xlt;0 時， -（x-2）²+1 單調遞增，所以 f（x）

當 xgt;3 時， -（x-2）²+1 單調遞減，所以 f（x）

綜上，當 x=3 時，函數 f（x） 取得最大值0，故選D.

例6對任意 x∈R ，給定 f（x）=-x+5 g（x）=（x+1）² ，記函數 g（x）} ，則 M（x） 的最小值是

由定義可知當 f（x）?g（x） 時， ?-x+5? （x+1）² ，即 （x+4）（x-1）?0 ，解得一 4? x?1 ，此時 M（x）=f（x）=-x+5. 當 f（x）lt;_g（x） （2號時， -x+5lt;（x+1）² ，即 （x+4）（x-1）gt;0 ，解得 1或 xlt;-4 ，此時 M（x）=g（x）=（x+1）² ，故

易知 y=-x+5 在 [-4，1] 上單調遞減，在 x=1 處取得最小值 4，y=（x+1）² 在 （1，+∞ ）上單調遞增，在 （-∞，-4） 上單調遞減，所以

y=（x+1）²gt;（1+1）²=4.

綜上， M（x） 的最小值是4.

對于 或 max{a，b} 當 a 和 b 是兩個基本初等函數時，一般可通過分類討論，將函數寫成分段函數形式，進而求該分段函數的最值即可.

（完）