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聚焦雙重最值問題

2025-07-30 00:00:00王文波
高中數理化 2025年13期
關鍵詞:增函數正數一元二次方程

雙重最值問題是指求解 f2(x2),…,fn(xn)}} 或 f2(x2),…,fn(xn)}} 的最值問題,按其變元的個數可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題.這類問題具有一定難度,時常出現在各級各類考試的選擇題或填空題中,那么求解這類問題有哪些基本方法呢?本文舉例說明.

1構造不等式

例1記 max{a,b} 為 αa,b 兩個數的最大值,當正數 x,y(xgt;2y 變化時, 的最小值為

解析

,可得

所以 因為 x,y 為正數,且 (20 2y ,所以

當且僅當 2y=x-2y ,即 x=4y 時,等號成立.因此 當且僅當 ,即 時,等號成立,所以 Ψt 的最小值為4.

變式記 max{a,b} 為 aλ,b 兩個數的最大值,當正數 x,y(xgt;y) 變化時, 的最小值為

. 由 ,可得 t?x2,t? 解析 所以 因為 x,y 是正數,且 xgt;y ,所以 當且僅當 y=x-y ,即 x=2y 時,等號成立.因此

當且僅當 x2,x=2y,即=2,y=1時,等號成立,所以 Ψt 的最小值為4.

最值問題本質是一種不等關系問題.解題時可以從 max{a,b} 的定義出發,根據 t= max{a,b} 構造不等式: t≥a,t≥b ,進而利用不等式的性質求解.

2 構造方程

例2若 agt;0,bgt;0,cgt;0 ,且 a+b+c=12 , ab+bc+ca=45 ,則 min{max{a,b,c}}=

注意到 a,b,c 的對稱性,不妨設 a=max{a , .又 b+c=12-a,bc=45-a(12-a) 所以 b,c 是方程 x2+(a-12)x+45-a(12-a)=0 的兩個根,且 b?a,c?a ,故

解得 5?a?6 ,當 a=b=5,c=2 時,有

min{max{a,b,c}}=5.

對于有限制條件的三元雙重最值問題,當其中的兩個變量可以用另外一個變量表示成

某個一元二次方程的根與系數關系的形式時,可以構造一元二次方程,根據根的分布情況解題.

3數形結合思想

例3用 min{a,b,c} 表示 a,b,c 三個數的最小值.設 f(x)=min{2x,x+2,10-x} ,則 f(x) 的最大值為

易知函數 y=10-x 是減函數, y=x+2 是增函數, y=2x 是增函數,在同一平面直角坐

標系中作出這三個函數的圖像,如圖1所示.令 x+

$2 = 1 0 ^ { ? } - x ?$ ,可得 x=4 ,此時 x+2=10-x=6 設 y=

x+2 與 y=2x 圖像的交點是 A,B,y=x+2 與 y=

10-x 圖像的交點為 C(4,6) ,則 f(x) 的圖像如圖2

所示,由圖可知 C 為最高點,所以 f(x) 的最大值為6.

圖1
圖2

例4定義一種運算 (204號設 f(x)=min{4+2x-x2,∣x-t∣}(t 為常數),且x∈[-3,3] ,則使函數 f(x) 的最大值為4的 ΨtΨΨ 值是

(204號 y=4+2x-x2=-(x-1)2+5 在[-3,3]

上的最大值為5.由 4+2x-x2=4 ,解得 x= 2或0,要使函數 f(x) 的最大值為4,根據定義結合y=4+2x-x2 與 y=|x-t| 圖像(如圖3),可知當tlt;1 時, y=|x-t| 的圖像必經過點(2,4),即當 x=2 時,有 ,解得 t=-2. 當 tgt;1 時, y=|x-t| (20的圖像必經過點(0,4),即當 x=0 時,有 ∣0-t∣=4 ,解得 t=4 ,故 t=-2 或4.

圖3

若雙重最值問題中涉及的函數圖像比較容易畫出,一般可借助函數圖像直觀的特點,通過數形結合思想得到參數的值或取值范圍.

4分類討論

例5 已知 設函數(20

f(x)=min{x-3,-x2+4x-3} ,則 f(x) 的最大值是( ).

當 x-3?-x2+4x-3 ,即 0?x?3 時,f(x)=x-3. 當 x-3gt;-x2+4x-3 ,即xlt;0 或 xgt;3 時, f(x)=-x2+4x-3 ,所以

當 0?x?3 時, f(x)=x-3 單調遞增,所以f(x)?f(3)=3-3=0.

當 xlt;0 時, -(x-2)2+1 單調遞增,所以 f(x)

當 xgt;3 時, -(x-2)2+1 單調遞減,所以 f(x)

綜上,當 x=3 時,函數 f(x) 取得最大值0,故選D.

例6對任意 x∈R ,給定 f(x)=-x+5 g(x)=(x+1)2 ,記函數 g(x)} ,則 M(x) 的最小值是

由定義可知當 f(x)?g(x) 時, ?-x+5? (x+1)2 ,即 (x+4)(x-1)?0 ,解得一 4? x?1 ,此時 M(x)=f(x)=-x+5. 當 f(x)lt;g(x) (2號時, -x+5lt;(x+1)2 ,即 (x+4)(x-1)gt;0 ,解得 1或 xlt;-4 ,此時 M(x)=g(x)=(x+1)2 ,故

易知 y=-x+5 在 [-4,1] 上單調遞減,在 x=1 處取得最小值 4,y=(x+1)2 在 (1,+∞ )上單調遞增,在 (-∞,-4) 上單調遞減,所以

y=(x+1)2gt;(1+1)2=4.

綜上, M(x) 的最小值是4.

對于 或 max{a,b} 當 a 和 b 是兩個基本初等函數時,一般可通過分類討論,將函數寫成分段函數形式,進而求該分段函數的最值即可.

(完)

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