多元最值問題的計算技巧探究

多元最值問題是考試中的常考問題.減元變元、整體代換、配湊變形和變更主元是求解這類問題的常用方法.本文結合例題探究多元最值問題的計算技巧.

1 減元變元

既然是多元，那么解題的基本思路自然是減元，減元的過程就是對條件進行化簡、變形、配湊、拆分的過程，減元的方法主要是變量替換.

例1設 ω_a，b，c 是三個正數，且 則 的最大值為

當 b=2a 時，代人 化簡得 a= 0，與題設矛盾，所以 b≠2a .因為 ，所以 （204號 因為 cgt;0 ，所以 b-2agt;0 ，故

今 ，則

當且僅當 即 x=3 時，等號成立，所以 ，故 的最大值為3.

本題由 得到 代

進行轉化.令 ，消元得到 3x+ ，再利用基本不等式求解.

2 整體代換

若遇到形式復雜或不易找到解題思路的問題，可以嘗試整體代換，即將某一含有多元的代數式看成一個整體，將其與目標函數相乘或整體換元，為后續解決問題創造條件.整體代換的目的主要有兩個：一是為了運用基本不等式或柯西不等式解題；二是為了將原問題轉化為一元函數的最值問題.

例2 已知正數 a，b，c 滿足 clt;1，a+b=4 ，則 的最小值為

由題意知

解析

當c 時，等號成立.因此

當且僅當 b=3a 2，a+b=4，即a=1，b=3，c= 時，等號成立.

綜上 的最小值為2.

點 求解本題的關鍵：第一步將 c（1-c） 進行放評 縮；第二步將 中的2代換為+ 得到 ，進而用“1”的代換求最小值.

3 配湊變形

對于含有雙變量或多變量代數式的最值問題，有時需要在配湊變形的基礎上，靈活運用基本不等式解題.

例3 已知 x，y，z 均為正數，則 的最大值為

因為 x，y，z 均為正數，所以

當且僅當 5x=y ， 9y=5z 時，等號成立，故 的最大值為

點求解本題的關鍵在于將分子 配評湊變形為 ，這樣有利于運用基本不等式解題.

4變更主元

在解決有關代數問題的過程中，當用常規思維解答遇到困難時，不妨換個思維角度，通過變更主元的方法解題.

例4已知 f（u） 有零點，則 a²+b² 的最小值為

由題意可知關于 u 的方程 u²+au+b-2=0 有實數根.若將 a_λ，b 視為主元（此時將 u 看作已知量），則 a²+b² 表示直線 l：au+b+u²-2=0 上的點與原點的距離的平方.設原點到直線 l 的距離為 d ，則 a²+b² 的最小值為 （d²）_min ，易知

令 m=u²+1 ，則 因為 u=x+ ，所以 ，當且僅當 x=±1 時，等號成立，故 m?5

由對勾函數的單調性可知函數 在[5，+∞] 上單調遞增，所以 故 a²+b² 的最小值為

本題將方程看成關于 a，b 的二元一次方程，將原問題轉化為原點到直線距離的平方的最小值，解題的關鍵是方程主次元的轉化、構造 a²+ b² 的幾何意義.

例5已知 α，β∈R ，且 f（α，β）=cos（α-β）- （cos α+cosβ）+1 ，則 f（α，β） 的最小值為

f（α，β）=cos（α-β）-（cosα+cosβ）+1= CC sαcosβ+sinαsinβ-cosα-cosβ+1= cos α（cosβ-1）+sinαsinβ-cosβ+1 ，將 β 看作已知量，將cos α，sinα 分別看作變量，則單位圓上的點P（cosα，sinα） 在直線 x （cos cos β+1-f（α，β）=0 上.因此，由直線與單位圓有公共點，可得

則

即|1-c ，所以

通過變形可得

則 時，等號成立，故

f（α，β） 的最小值為 ：

本題是求解以 α，β 為變量的代數式的最小值.為了便于分析、求解，在適當變形的基礎上將 cosα，sinα 看作是主元，進而通過構造單位圓上的點以及直線，利用直線與單位圓有公共點的充要條件構建不等式使問題獲解.

（完）