初中數學常見動點題目及解題思路探究

1引言

動點問題綜合考查了學生的基礎知識、空間想象能力、運算能力和邏輯能力.動點問題中還蘊含了抽象、推理、分類討論、數形結合、轉化與函數思想等.就初中數學來說，動點問題常常與其他知識點，如幾何圖形、二次函數相結合，增加了題自的難度系數.尤其是在新中考背景下，動點問題已經成了考查的熱點，成為拉開學生分值的最佳題目：

2與直線相關的動點問題

例1如圖1所示，在平行四邊形 ABCD 中，已知 ∠DAB=45^° AB=6，BC=2 ，點 P 為 CD 邊上的一個動點，求 的最小值.

解析解決本題可先構造直角三角形，再利用“垂線段最短”的性質進行解答.

如圖2所示，過點 P 作 PH⊥AD ，并與 AD 的延長線相交于 H 點；過點 B 作 BH^′⊥AH 于 H^′ 點，并與 CD 相交于 P^′

因為 AB//CD ，所以 ∠HDP=∠DAB=45^° 所以 則

根據“垂線段最短”的性質得知，當 B，P，H 三點共線，且 BH⊥AD ，即 H，H^′ 兩點重合的時候， 存在最小值，且最小值為 BH^′ 的長度.

又因為在 RtΔABH^′ 中，因為 BH^′=AB ·

因此 的最小值為

點評通常，針對這一類型的動點問題，當兩個定點分別位于直線兩側的時候，即可采用直接連線的方法，并根據“兩點之間線段最短”這一性質進行解題；如果兩點位于直線的同一側，在利用該性質解答之前，需要根據對稱性，將其中一點轉化到直線另一側[2].

3與四邊形面積相關的動點問題

例2如圖3，已知 y=-x²+bx+c 的圖象與x 軸交于 A（-1，0），B（2，0） ，與 y 軸相交于 C 點.

（1）求該函數的解析式；

（2）如果 E 點位于第一象限，且在拋物線上運動，當 處于最大值時，求 E 點位置坐標，以及 最大值.

解析根據題目已知條件可推斷出：在（1）中可結合函數知識，直接利用待定系數法的方式進行求解；在（2）中可先求出點 C 的坐標，并連接 BC ，將四邊形劃分為 ΔABC ΔBCE ，在這兩個三角形中，（2 S_ΔABC 為定值，因此當 S_ΔBCE 最大時， S_⊥⊥HABEC 最大.

（1）根據已知條件即可得出：二次函數 y=

-x²+bx+c 的解析式為 y=-x²+x+2 （2）當 x=0 時， y=2 ，則 c 點的坐標為（0，2）.因為S△ABC 因此，當 S_ΔBCE 最大時， S_{⊥⊥⊥⊥BEC} 存在最大值.假設直線 BC 的解析式為 y₁=kx+b ， 1，則 解得因此直線 BC 的解析式為 y₁=-x+2 假設 E 點的坐標為 （a，-a²+a+2） ，過 E 作

EG⊥x 軸，并交 BC 于 F ，交 x 軸于 G （如圖4所示），

則 F（a，-a+2） ！因此 EF=（-a²+a+2）-（-a+2）=-a²+

（20號 2a ：所以

即：當 a=1 時， 此時點 E（1，2）

則

點評在解決四邊形面積最值問題的時候，可通過作輔助線的方式，將四邊形進行拆分，使其變成兩個三角形.

4與幾何圖形周長相關的動點問題

例3如圖5，已知 y=ax²+bx+c（a≠0） 和x 軸交于 A，B 兩點，與 軸交于 c 點，且 B（2，0） ，OA=OC=2OB

（1）求該函數表達式.

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在動點 M ，使得 C_ΔMBC 存在最小值？若存在求出 M 點的坐標.若不存在，說明理由.

解析在該題目中，第（1）問相對比較簡單，第（2）問要求 ΔMBC 的周長最小，即可將其轉化成為

BM+CM 的最小值.根據“線段和最小，同側找對稱”的原則進行解題.

（2）存在.因為 對稱軸為 x=-1 ，且A，B 兩點關于 x=-1 對稱.因此，連接 AC 兩點，與對稱軸交 M ，此時C_ΔMBC 有最小值.設直線 AC 的解析式為 y=kx+m ，代人 A，C 兩點的坐標，即可得出： 即： 即直線 AC 的解析式為 y=x+4 代人 x=-1 即可得出 M 點的縱坐標為3，則M（-1，3） ：

點評遇到動點與周長最值相結合的問題，通?？蓪⑵滢D化成為線段和的最值問題，即：兩定點在定直線的同側或者異側，在此基礎上結合點在直線上運動的規律進行解答[3].

5結語

綜上所述，動點問題是初中數學知識體系中的重點.學生應具備一定的數學思維和綜合能力，能夠結合實際情況靈活運用多種數學思想解決問題.因此，教師在日常教學活動中，必須基于不同類型動點問題，做好歸納與總結.

參考文獻：

[1]包鑫.初中數學中動點問題的解題策略[J].數理天地（初中版），2025（6）：53-54.

[2]楊景江.初中數學中動點問題的解題策略[J].數理天地（初中版），2025（3）：20—21.

[3陳銀珠.初中數學動點問題的類型及解題策略J」.中學數學，2024（24）：80—81+85.