初中數(shù)學(xué)解題中學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)研究

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）20-0057-03

隨著新課程改革的深人推進(jìn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力成為重要課題.“軸對稱”單元涉及圖形觀察、性質(zhì)分析、定理證明等多個認(rèn)知層次，學(xué)生常表現(xiàn)出概念理解不透徹、推理論證不嚴(yán)密、解題思路不清晰等問題.當(dāng)前研究者多關(guān)注推理能力培養(yǎng)的一般策略，缺乏對具體教學(xué)內(nèi)容中推理要素的系統(tǒng)分析.因此，深入分析軸對稱知識中的邏輯推理要素，揭示其內(nèi)在機(jī)理，對完善數(shù)學(xué)教學(xué)體系、提升教學(xué)效果具有重要意義.

1軸對稱中的邏輯推理要素分析

1. 1 基于性質(zhì)認(rèn)知的演繹推理

認(rèn)知軸對稱圖形性質(zhì)的過程體現(xiàn)了嚴(yán)密的演繹推理特征，軸對稱性質(zhì)主要包含對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等、對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角度相等等基本性質(zhì).在理解這些性質(zhì)時，學(xué)生需通過已知條件推導(dǎo)有關(guān)結(jié)論.例如，在論證“對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等”時，學(xué)生可依據(jù)全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理逐步推導(dǎo).在“對應(yīng)角相等”的證明過程中，可利用“對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分”這一性質(zhì)進(jìn)行演繹推理.在判定軸對稱圖形時，學(xué)生需運(yùn)用這些基本性質(zhì)進(jìn)行逆向推理，通過驗證一系列充分必要條件，判斷圖形是否具有對稱性

1. 2 基于變換過程的歸納推理

軸對稱變換過程蘊(yùn)含豐富的歸納推理要素[1].通過觀察不同圖形沿對稱軸變換的規(guī)律，學(xué)生能歸納總結(jié)出軸對稱變換的共性特征.在變換過程中，點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系、線段的位置關(guān)系、圖形的重合關(guān)系等規(guī)律性認(rèn)識，都需要?dú)w納思維的參與.以對稱軸作圖為例，學(xué)生通過觀察多個典型案例，可以歸納出“對稱軸必然垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線”的結(jié)論.在復(fù)雜圖形的軸對稱性探究中，學(xué)生需要通過觀察特殊情況，逐步歸納軸對稱變換的特征，從而形成一般性結(jié)論，加深對軸對稱變換本質(zhì)的深入理解

1.3 基于圖形關(guān)系的類比推理

在學(xué)習(xí)軸對稱圖形的過程中，類比推理在圖形認(rèn)知和問題解決中發(fā)揮著關(guān)鍵作用.學(xué)生通過已掌握的軸對稱圖形性質(zhì)，類比分析新的圖形結(jié)構(gòu).在圓的軸對稱性質(zhì)與正多邊形對稱性的探究中，學(xué)生通過對稱軸數(shù)量、對稱點(diǎn)分布等特征的類比，加深對圖形內(nèi)在關(guān)系的理解.在解決軸對稱作圖問題時，學(xué)生能夠借鑒已知圖形的作圖方法，通過類比思維構(gòu)建新的解題思路.在對復(fù)雜圖形軸對稱性的判斷中，學(xué)生將圖形分解為熟悉的基本圖形，運(yùn)用類比推理建立圖形之間的聯(lián)系，促進(jìn)問題的系統(tǒng)分析.圖形變換的方法遷移、性質(zhì)證明的思路借鑒、解題策略的類推應(yīng)用等，都體現(xiàn)了類比推理在軸對稱學(xué)習(xí)中的重要價值.

2軸對稱教學(xué)中邏輯推理的具體表現(xiàn)

2.1 對稱性判斷中的邏輯論證

軸對稱圖形判定過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯論證的層級性，從基礎(chǔ)判定層到結(jié)論推導(dǎo)層，能夠形成完整的邏輯體系[2.基礎(chǔ)判定層涉及對應(yīng)點(diǎn)距離相等、垂直平分線性質(zhì)、基本圖形特征等要素，這些要素構(gòu)成判定的理論基礎(chǔ);綜合判定層將多個性質(zhì)有機(jī)結(jié)合，通過圖形整體對稱性分析、多性質(zhì)結(jié)合驗證、復(fù)合條件推導(dǎo)等方式，建立更深層的邏輯關(guān)聯(lián)；結(jié)論推導(dǎo)層整合前期判定結(jié)果，形成嚴(yán)密的證明過程.在等腰三角形、矩形、菱形、正多邊形等規(guī)則圖形判定中，邏輯論證主要圍繞對稱軸與關(guān)鍵要素的關(guān)系展開，而復(fù)雜圖形的判定則需要建立完整的邏輯鏈條，從局部特征推導(dǎo)至整體性質(zhì).這種層層遞進(jìn)的邏輯論證模式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)特征.

2.2 對稱軸確定中的推理過程

對稱軸確定的理論推導(dǎo)呈現(xiàn)放射狀關(guān)系結(jié)構(gòu)，基于垂直平分線的性質(zhì)，通過對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線確定直線型對稱軸；曲線型對稱軸依據(jù)切線理論，結(jié)合曲率變化規(guī)律推導(dǎo)；規(guī)則圖形對稱軸通過特征性質(zhì)識別，如正多邊形的中線、圓的直徑等；復(fù)合圖形對稱軸則需綜合多種性質(zhì)進(jìn)行確定3.這四類對稱軸的理論推導(dǎo)過程相互關(guān)聯(lián)又各具特點(diǎn)，垂直平分性質(zhì)能夠體現(xiàn)幾何位置關(guān)系，切線性質(zhì)能夠反映局部變化特征，特征和性質(zhì)能夠揭示圖形本質(zhì)規(guī)律，綜合性質(zhì)融合多重數(shù)學(xué)關(guān)系.

2.3 對稱圖形作圖中的空間推理

對稱圖形作圖的空間推理體現(xiàn)為三個遞進(jìn)層次.在基礎(chǔ)要素定位階段，關(guān)注對應(yīng)點(diǎn)的確定、垂直關(guān)系的建立和距離關(guān)系的保持，這些要素構(gòu)成作圖的基本依據(jù)；在結(jié)構(gòu)關(guān)系構(gòu)建階段，關(guān)注圖形輪廓的繪制、內(nèi)部結(jié)構(gòu)的完善和位置關(guān)系的協(xié)調(diào)，體現(xiàn)了空間推理的系統(tǒng)性；在整體驗證完善階段，通過對稱性檢驗、細(xì)節(jié)調(diào)整和完整性確認(rèn)，實現(xiàn)作圖的精確性.從點(diǎn)到線、從局部到整體的空間推理過程，揭示了軸對稱作圖中的認(rèn)知規(guī)律.同時，這種層次化的空間推理思維體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念形成的內(nèi)在機(jī)制

3軸對稱單元邏輯推理的內(nèi)在機(jī)理

3.1 從直觀認(rèn)知到抽象思維的轉(zhuǎn)化

軸對稱概念形成經(jīng)歷由具象到抽象的認(rèn)知轉(zhuǎn)化過程.在直觀認(rèn)知階段，學(xué)生通過觀察實體圖形，發(fā)現(xiàn)對稱軸 l 將圖形分成兩個完全相同的部分，并能識別出對應(yīng)點(diǎn) A，B 等基本要素，這種視覺感知為后續(xù)認(rèn)知發(fā)展奠定基礎(chǔ).隨后進(jìn)入性質(zhì)提取階段，學(xué)生開始關(guān)注圖形的關(guān)鍵要素，如對應(yīng)點(diǎn) A，B 的連線與對稱軸 l 的交點(diǎn) M 是線段 AB 的中點(diǎn)、對稱軸 l 垂直于對應(yīng)點(diǎn)連線等幾何關(guān)系，逐步抽離具體形態(tài)，提煉對應(yīng)關(guān)系.在抽象思維階段，學(xué)生運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言描述軸對稱概念，建立“ l⊥AB，AM=MB^′′ 等抽象表述，完成從具體圖形到數(shù)學(xué)概念的轉(zhuǎn)化過程

3.2 從特殊到一般的推理過程

軸對稱性質(zhì)的認(rèn)識建立在特殊圖形的分析基礎(chǔ)上.通過觀察等腰三角形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其高線不僅平分底邊，還與底邊保持垂直關(guān)系；從矩形入手分析時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中線將圖形分成完全相等的兩部分；在探究正多邊形的對稱性時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其具有多條對稱軸，且都具有垂直平分的特征.通過系統(tǒng)分析這些特殊圖形每條對稱軸，學(xué)生逐步提取共同特征，最終歸納出軸對稱圖形的一般性質(zhì)：對稱軸垂直平分對應(yīng)線段.

3.3 推理能力形成的認(rèn)知規(guī)律

軸對稱推理能力的形成呈現(xiàn)階段性發(fā)展特征在知識積累階段，構(gòu)建基礎(chǔ)概念體系，包括對稱軸、對稱點(diǎn)、對稱線段等基本要素的認(rèn)識；在能力生成階段，發(fā)展邏輯推理能力，通過性質(zhì)論證、定理證明等活動，形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維；在思維提升階段，實現(xiàn)知識遷移與創(chuàng)新應(yīng)用，將軸對稱思想應(yīng)用于復(fù)雜問題解決.這種階段性發(fā)展反映了認(rèn)知能力形成的內(nèi)在規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維發(fā)展的層次性和系統(tǒng)性，揭示了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)機(jī)制4」.

4軸對稱教學(xué)對推理能力培養(yǎng)的價值

4.1 促進(jìn)數(shù)學(xué)思維方式的形成

軸對稱教學(xué)蘊(yùn)含多維度的數(shù)學(xué)思維要素.以“正方形對稱性探究”為例，學(xué)生首先通過觀察圖形特征猜想對稱軸，再通過折疊或測量驗證對角線所在的直線和經(jīng)過一組對邊中點(diǎn)的直線都是對稱軸，進(jìn)而分析對應(yīng)點(diǎn)距離關(guān)系、角度關(guān)系進(jìn)行論證，最終得到正方形有四條對稱軸.在這一過程中，學(xué)生獲得了抽象思維能力，能夠?qū)⒕呦蟮膱D形特征提煉為數(shù)學(xué)定義；通過軸對稱性質(zhì)探究培養(yǎng)歸納思維，從特殊圖形中提取共性特征形成一般結(jié)論；應(yīng)用問題解決過程發(fā)展邏輯思維，學(xué)會運(yùn)用已知條件進(jìn)行嚴(yán)密論證；變換研究培養(yǎng)空間思維，理解圖形運(yùn)動與位置關(guān)系；基于軸對稱的數(shù)學(xué)建模提升應(yīng)用思維，實現(xiàn)知識遷移

4.2 提升空間想象能力

軸對稱教學(xué)通過多層面培養(yǎng)空間想象能力[5].在“軸對稱圖形的性質(zhì)”教學(xué)中，可設(shè)計“破譯密碼”情境，要求學(xué)生想象不規(guī)則多邊形A繞直線 l 對稱得到圖形B.學(xué)生需想象圖形翻轉(zhuǎn)的動態(tài)過程，定位對應(yīng)點(diǎn)位置關(guān)系，描繪完整對稱圖形，這類動態(tài)想象訓(xùn)練能夠有效提升空間直觀能力.復(fù)雜圖形的軸對稱性判斷需要運(yùn)用空間想象，將圖形分解為基本要素并建立對應(yīng)關(guān)系，對稱軸的確定能夠培養(yǎng)空間定位能力.軸對稱圖形的構(gòu)造訓(xùn)練能夠提升空間構(gòu)建能力，將局部圖形組合形成具有對稱性質(zhì)的整體.在實際問題解決中，學(xué)生需要運(yùn)用空間想象將現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為軸對稱模型.學(xué)生通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，能夠有效提升空間觀察力和操作能力.

4.3 強(qiáng)化邏輯論證意識

軸對稱教學(xué)通過系統(tǒng)的邏輯訓(xùn)練強(qiáng)化論證意識.在“等腰三角形軸對稱性”教學(xué)中，學(xué)生通過“高所在的直線是對稱軸”的猜想，運(yùn)用“兩邊相等 $$ 對應(yīng)點(diǎn)到高距離相等 $$ 高垂直平分底邊”的逐步推理，形成完整證明鏈，從而經(jīng)歷嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證過程.性質(zhì)證明過程能夠培養(yǎng)學(xué)生建立完整邏輯鏈條的能力，從而掌握演繹推理方法.軸對稱圖形的判定要求運(yùn)用充分必要條件進(jìn)行論證，形成邏輯化解題思維.對稱軸的確定訓(xùn)練能夠培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，使學(xué)生在論證過程中學(xué)會分析條件、提出猜想、驗證結(jié)論，形成規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá).通過“軸對稱”單元學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠建立數(shù)學(xué)論證意識，掌握基本邏輯推理方法，從而顯著提升邏輯思維水平.

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，軸對稱教學(xué)蘊(yùn)含豐富的邏輯推理要素，教師通過性質(zhì)認(rèn)知中的演繹推理、變換過程中的歸納推理和圖形關(guān)系中的類比推理展開系統(tǒng)訓(xùn)練.研究揭示了三個關(guān)鍵機(jī)理：概念形成經(jīng)歷從直觀到抽象的轉(zhuǎn)化過程，性質(zhì)認(rèn)識體現(xiàn)從特殊到一般的推理發(fā)展，推理能力形成呈現(xiàn)知識積累、能力生成和思維提升的階段特征.這些要素和機(jī)理在實踐中能夠促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維方式，提升學(xué)生的空間想象能力，強(qiáng)化其邏輯論證意識.這種基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的推理能力培養(yǎng)研究，對完善初中數(shù)學(xué)教學(xué)體系具有重要的理論和實踐價值.

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