基于HPM理念的“余弦定理\"教學探索

HPM（Historyand Pedagogy ofMathematics）是“數學史與數學教育”的英文縮寫.這一理念不僅闡明了在課堂中融入數學史的緣由，還揭示了其對學生成長和教師專業發展的價值與意義．《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出，教師要有意識地在日常教學過程中滲透數學文化，這是讓學生進一步理解數學學習價值，發展學科精神與人文素養的重要途徑[．“余弦定理\"是連接三角函數、向量等知識領域的重要紐帶．然而，相關調查顯示，在該部分內容的教學實踐中，仍有不少教師忽視了數學文化的融入．基于此，本研究從HPM視域出發，開展教學方案設計.

生1：勾股定理是數學史上一顆璀璨的明星，其核心內容是描述了“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”

師：類比直角三角形的三邊關系，思考一般三角形的三邊之間存在怎樣的聯系．接下來，請大家觀察表1.

師生活動：教師使用多媒體展示表格.學生自主觀察表格，經過交流與思考，提煉出下列猜想： ① 銳角三角形的三邊關系為：銳角對邊的平方小于另外兩條邊的平方和； ② 鈍角三角形的三邊關系為：鈍角對邊的平方大于另外兩條邊的平方和.

設計意圖利用學生熟悉的勾股定理作為教學起點，讓處于不同認知水平的學生都能順利融入課堂，初步建立學習自信．通過類比思想的應用，引導學生快速從表格中發現并猜想三邊關系特點，為探索余弦定理夯實基礎.

2.借鑒史料，研究證法

教師對學生提出的結論表示肯定，并趁機展示古希臘著名數學家歐幾里得的兩個與之類似的猜想，內容如下：

猜想1在銳角三角形中，構成銳角的兩條邊上的正方形面積之和必然大于銳角對邊上的正方形面積，

猜想2在鈍角三角形中，構成鈍角的兩條邊上的正方形面積之和必然小于鈍角對邊上的正方形面積

教學過程設計

1.類比分析，大膽猜想

師：大家對勾股定理熟悉嗎？其本質是什么？

生（眾）：熟悉！

問題1通過觀察歐幾里得提出的上述猜想，想象三角形各條邊上的正方形圖形，你會不由自主地聯想到什么內容？

生2：歷史上歐幾里得探索勾股定理時，就應用了三邊上的正方形這一特殊圖形.

師：非常好！接下來我們一起來看圖1，大家共同回顧勾股定理的證明過程. （證明過程略）

問題2圖1展示的是直角三角形三邊上的正方形，我們能否對這個圖形進行變形，從而求證上述猜想？

（這一問題激活了學生的思維，引發學生積極思考.）

生3：如圖2所示，以點 c 為圓心，以 a 為半徑作圓弧，點 B^′ 為這段圓弧上的任意點，構成的 ΔACB^′ 為鈍角三角形，分別沿著 ΔACB^′ 的三邊作正方形由勾股定理可確定SABFG=SBCH+SACDE，因此只要比較 與 S_{AB^′F^′G^′} 的大小即可．關于銳角三角形三邊關系的探索與之類似.

師生活動：在該生分享思維過程的基礎上，教師利用幾何畫板展示圖2與圖3的動態變化過程，讓學生通過觀察動態圖，直觀發現SABFC與SAB'F'G'之間的大小關系，由此進一步夯實對上述猜想的認識.在此背景下，師生共同提煉出如下結論：當 ΔACB^′ 為鈍角三角形時，SABFC必然小于SAB'FG;

而當 ΔACB^′ 為銳角三角形時， S_ABFG 必然大于SAB'F'G

師：通過大家的思考和幾何畫板的輔助驗證，我們已經初步確認了猜想的合理性.不過，數學是一門追求周密嚴謹的學科，雖然幾何畫板的動態演示能輔助我們理解，但要真正證明猜想，還需要用嚴謹規范的數學語言進行推導.那么，關于三角形三邊關系的證明，我們該從何處入手呢？大家可以結合已有的知識和經驗來思考.

生4：我們學過勾股定理，它清晰地揭示了直角三角形三邊的數量關系．我覺得或許可以通過構造直角三角形，來完成對三角形三邊關系的證明.

師：這是個非常好的想法，那么如何構造直角三角形呢？

生5：可以給原三角形作高，這樣就能把一個三角形分割成兩個直角三角形了.

師；很好！每個三角形都有三條高，是不是任選一條高作輔助線，都能推導出我們想要的結論呢？

為了探索這個問題，學生以小組合作學習的模式展開討論.在自主畫圖、觀察、思考與交流的過程中，學生發現，僅有兩種作高方法能夠得到相應結論.如圖4與圖5所示，分別作圖4中鈍角三角形ABC在BC邊上的高與圖5中銳角三角形ABC在BC邊上的高，設 CD=m.

當 ∠ACB 為鈍角時，根據 b²=m²+ h²，c²=（a+m）²+h² ，得 c²=a²+2am+b²gt;a²+ b² ；當 ∠ACB 為銳角時，根據 b²=m²+h² c²=（a-m）²+h² ，得 c²=a²-2am+b²2+b²

師：很好！在大家齊心協力下，這么短時間就得出了結論.想當初，偉大的數學家歐幾里得同樣用類似的方法驗證了猜想，并把結論記錄在《幾何原本》里，由此可見，我們每位同學都擁有數學家精神.（同時用多媒體展示《幾何原本》中收錄的相關命題）

問題3 以上探索明確了三角形三邊之間的關系為：在△ABC中，若 ∠Cgt; 90^° ，則 a²+2am+b²=c² 若 ∠Clt;90^° ，則a²-2am+b²=c² ，有沒有辦法能統一這兩個結論呢？

生6：這兩個結論都涉及 m ，能否從三角形邊與角兩個維度分析 γ_m 的表示呢？

生7：在 ∠Cgt;90^° 的情況下，可知m=-bcosC ；在 ∠Clt;90^° 的情況下，可知 m=bcosC. 將上述結論分別代人 a²+ 2am+b²=c² 與 a²-2am+b²=c² ，可得 c²=a²? 12abcosC+b 2這一統一形式.

師：思路非常清晰．不過，我們所獲取的這種統一形式能否滿足不同三角形三邊之間的關系呢？直角三角形也同樣適用嗎？

生8：該形式滿足所有三角形的三邊關系，包括直角三角形，因為當 ∠C=90^° 時， cosC=0 ，所以 c²=a²- 2abcosC+b²=a²+b² ，這就是勾股定理.

探索至此，學生對勾股定理的推廣形式有了深刻印象，且明確式子 ?c²= a²-2abcosC+b² 揭示了任意三角形三邊的數量關系.此時，教師順勢引出本節課的核心知識——余弦定理.

設計意圖在學生自主猜想的基礎上，引入歐幾里得在數學研究中形成的經典猜想，成功激發學生的探索興趣．學生以勾股定理圖形為探究起點，在幾何畫板的輔助下，對圖形進行變換與分析，這一過程不僅增強了學生對數學知識的直觀認知，還滲透了數形結合思想，有效發展了學生的直觀想象素養．在猜想證明環節，引導學生從數學史視角切入，以研究者的身份觀察、思考公式定理，揭示了余弦定理的形成過程，深化了學生對余弦定理的理解.

3.多維思考，建構新知

問題4以上證明明確了余弦定理，但過程比較煩瑣，現在請大家思考有沒有簡單一點的證明方法．大家可以從向量的角度去分析.

在教師的點撥下，有學生立即發現余弦定理中的abcosC與向量的數量積有一定的關系，或許可從這一角度進行分析.如圖6所示，假設 ， ，則 c=a-b c²=（a-b）²= |a|²+|b|²-2ab=|a|²+|b|²-2|a|?|b|. cosC ，所以 c²=a²-2abcosC+b² 、利用相同的辦法，可得 a²=b²-2bccosA+c²，b²= a²-2accosB+c²

通過以上探索，充分展現了向量的工具性特征.利用向量證明余弦定理，不僅思路清晰，而且過程簡潔.在學生掌握向量法后，教師鼓勵學生積極分享不同的證明思路.學生分別提出運用直角坐標系、射影定理等方法，同樣能夠推導出余弦定理.

設計意圖引導學生從多元視角探索證明方法，有助于激發學生的發散思維，提升思維的靈活性與創造性，向量法在教師的引導下展開，直觀體現了數學證明的簡潔之美；而鼓勵學生提出其他證明思路，能使學生突破單一思維模式的局限，從真正意義上推動數學深度學習，為發展數學學科核心素養奠定堅實基礎.

4.例題探索，鞏固認知

例1已知 ΔABC 中的三條邊分別為 ，那么△ABC中的C是多少？

例2某海域上有一座小島（用A表示），已知在這座小島的正東方向30千米的地方（用B表示）有一艘游輪正在等待救援，已知救援船只處于小島的南偏西 45^° 的位置，且明確救援船只的航行速度為20千米/時，那么游輪需要等待多久才能得到救援？

設計意圖通過逐層遞進的兩個問題，旨在深化學生對余弦定理在不同情況下的理解．其一，引導學生在已知三角形三邊的條件下求解內角；其二，指導學生在已知兩邊及其夾角的情況下計算第三邊．典型例題的設置，有助于學生歸納解題方法、提煉數學思想，進而構建系統化的思維框架．以游輪等待救援為實例，生動展現數學知識與現實生活的緊密聯系，凸顯余弦定理在實際問題中的廣泛應用價值，從而激發學生對該知識點的重視與探索熱情.

5.提煉總結，深化理解

引導學生從本節課的知識要點出發，用文字語言和符號語言闡述余弦定理，并回顧與提煉其證明過程學生從向量法求證、特殊情況推導等維度展開分析，同時總結定理的實際應用場景，歸納“已知三邊求角”“已知兩邊及夾角求邊\"等常見題型.

設計意圖基于整體視角，從不同維度對本節課的教學過程進行總結歸納，有助于完善學生的認知結構，幫助學生構建結構化的知識體系，為培養數學抽象概括能力奠定基礎.

實踐感悟

1.數學史的應用可提升HPM教學 效益

數學的發展經歷了漫長的歷史過程，學生在當下所接觸的各種知識，有許多都歷經坎坷而來．教師在課堂中滲透數學史，可讓學生對知識的來龍去脈產生明確認識，由此拉近與知識的距離，并在獨特情感的支持下增強探索動力，提升探索成效[2本節課以“余弦定理\"為研究主題，教師鼓勵學生基于勾股定理，主動對一般三角形的三邊關系提出猜想.隨后，教師展示歐幾里得在《幾何原本》中記錄的相關猜想，學生的猜想與數學家的成果的高度相似性，極大增強了他們的學習自信.通過嚴謹的驗證過程，學生的思維逐步清晰，對鈍角三角形和銳角三角形的三邊關系有了更深入的理解．同時，學生在探究過程中切實體會到數學家的鉆研精神，這對發展其數學學科核心素養具有重要意義.

2.恰當的問題是發展數學思維的關鍵

問題是數學的心臟.課堂中所展示的每一個問題，不是憑空而來，更不是教師毫無準備信口括來的．在以深度學習為導向的課堂上，呈現的每一個問題都是教師結合教情與學情精心設計的，這些問題不僅直指知識本質，還具有啟迪思維的重要作用.HPM視域下的數學課堂，同樣需要關注問題的重要性.因為恰當的問題能進一步強化學生對數學史的理解，提升數學文化的滲透效果.在本節課中，考慮到余弦定理與勾股定理有著高度相關性，因此在設計教學時，教師以問題驅動學生自主類比勾股定理來探索余弦定理.逐層遞進的問題引導學生借助圖形，深入探索不同類型三角形的三邊關系，并將結論進行整合，最終推導出余弦定理.這樣的設計，既體現了問題引導在數學教學中的重要性，也凸顯了問題驅動對學生數學思維發展的推動作用

3.積極互動是發展核心素養的關鍵

教師與學生是課堂的重要組成部分．師生、生生間積極的雙邊互動與交流，能有效開發學生的智力，增強學生的課堂參與度，這是提升學生學力的關鍵舉措．在以培養核心素養為目標的當下，教師更需關注學生在課堂中的言行，唯有做到知己知彼，方能確保教學效果.本節課，教師在課前對學生的實際認知水平進行了調查，并結合余弦定理的特點設計教學活動，引導學生在充滿文化底蘊的課堂中觀察、猜想、驗證、歸納結論，不僅真正實現了深度學習，還推動了學生核心素養的形成與發展.

總之，基于HPM理念開展數學教學，是時代發展的必然趨勢，也是提升學生數學文化素養、培養數學家精神的重要舉措.因此，教師應重視數學史在課堂中的應用，在適當時機滲透數學文化，以促進學生關鍵能力與數學品格的養成.

參考文獻：

[1]朱玉祥.題目讓我們想到了什么-一道中考填空壓軸題的解題思考[J].中學數學，2014（20）：90-93.

[2]顏瓊英.高中數列中滲透數學文化的教學設計研究[D].西北師范大學，2021.