錘煉思維品質 優化高考解題

1 問題背景

自新高考以來，高考數學全國卷積極貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》要求，全面深化基礎知識考查，要求學生深刻理解數學問題的本質，深化概念，內化方法.這要求中學教學在培養學生的知識、見識上下功夫，在數學知識方法應用的靈活性和創造性上下功夫，在培養關鍵能力上下功夫，這既是發展學生數學學科核心素養的基本方法，也是優化解題的重要途徑.在解題過程中，很多學生或因知識儲備不夠豐富，或因對數學知識本質理解不夠透徹，或因重要的思維方式沒有形成，給出的解答方法過于煩瑣，降低了解題的效率，導致做后面的題目時間不夠用，慌忙易錯，從而無法從容應對新高考.下面筆者結合具體案例，談談優化解題的途徑.

2 優化途徑

2.1 利用定義優化運算

對概念、定義或性質的深人理解是掌握數學對象的基本前提，然而不少師生只熱衷于對題型方法的總結歸納，忽略了概念、定義或性質，這種本末倒置的做法不僅無法提高解題能力，還會使得所學知識方法成為無本之木，使思維變得僵化，不利于提升學生的核心素養.

例1 （2023年新高考Ⅰ卷16）已知雙曲線 C 的左、右焦點分別為 F₁，F₂ 點 A 在 C 上，點 B 在 軸上， ， ，則 c 的離心率為

分析此題如果使用設點或設直線的方法來解決，運算量會比較大，觀察題目條件發現有焦點三角形，可以考慮使用雙曲線的定義來優化解題過程.

如圖1所示，設 ∣AF₂∣=2m ，則 ∣BF₂∣=3m= ∣BF₁∣ ，在 RtΔAF₁B 中，由勾股定理得 |AF₁|=4m 由雙曲線的定義可知 ∣AF₁∣-∣AF₂∣=2a=2m .在ΔF₁BF₂ 中，由余弦定理可得

解得 ，所以 一例2 （2023年新高考I卷9，多選題）有一組樣本數據 x₁，x₂，…，x₆ ，其中 x_i 是最小值， x₆ 是最大值，則（ ）.

A. x₂…，x₃…，x₄， x₅ 的平均數等于 x₁，x₂，…，x₆ 的平均數B. x₂，x₃，x₄，x₅ 的中位數等于 x₁，x₂，…，x₆ 的中位數C. x₂，x₃，x₄，x₅ 的標準差不小于 x₁，x₂，…，x₆ 的標準差D. x₂，x₃，x₄，x 的極差不大于 x₁，x₂，…，x₆ 的極差

分析本題選BD.我們來看此題的選項C，如果利用標準差公式進行嚴格計算，顯然比較耗時.如果對標準差的概念理解透徹，該選項其實是不需要動手計算的.對于標準差，有這樣的描述：標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離散程度越小.這組數據去掉最大值和最小值后，數據顯然更加集中了，離散程度就更小了，標準差自然就變小了，所以C錯誤.

2.2利用公式推導的方法優化過程

數學公式的推導過程中蘊含了非常豐富的數學思想方法，這些思想方法比公式本身更為重要.公式教學能使學生了解公式的來龍去脈，意識到所學公式與考題之間的“源”與“流”的辯證關系，能夠遷移思想方法、舉一反三，從而培養學生的發散思維、創新能力與應用能力.余弦定理的推導過程如下：在△ABC中，有向量等式 ，從這個等式出發，我們來探索三角形中的邊角關系.等式兩邊同時平方得

即 a²=b²+c²-2bccosA

通過對向量等式兩邊取平方的方式，使向量等式轉化為邊與角的數量等式，也就是余弦定理.下面看看這種方法在高考中的應用.

例3（2023年新高考 I 卷17，節選）記△ABC的內角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，已知 ΔABC 的面積為 為 BC 的中點，且 AD=1. 若 b²+c²=8 求 ^b，c

分析此題對于學生來說并不簡單，很多學生看到題目條件，第一反應是在 ΔABC 中運用余弦定理，結果沒有做出來.事實上，題目中包含了兩個向量等式：2 ，根據余弦定理的推導方法可得 ，即 4+a²=16 ，解得 .易知

解得 sin∠ADC=1 ，而 0lt;∠ADClt;π ，則 ∠ADC= ，所以

2.3利用數形結合思想減少代數運算

我們所學習的很多知識涉及幾何與代數的雙重屬性，如函數、向量、復數、不等式、解析幾何，遇到涉及這些知識點的問題，有時從另一個角度來考慮可能會大大優化問題

例4（2023年新高考 I 卷13）已知向量 ^a，b 滿足 ，則 |b|=

分析如果從代數的角度考慮，需要對題目中的兩個式子進行平方處理，雖然難度不大，但是書寫與運算還是耗時不少，從幾何角度觀察并利用向量加減法則可以快速得到答案.

如圖2所示，設AB= ， ，則 ， ， .由題意可知 ，所以

例5（2025年新高考Ⅱ卷13）若 x=2 是函數f（x）=（x-1）（x-2）（x-a） 的極值點，則 f（0）=

分析很多學生看到題目里面出現了極值點的字眼，自然想到了求導，但這個函數是以因式分解的形式給出的，如果要求導，需要先去括號，或將其中兩個因式看成整體再利用乘法的求導公式求導，這樣做無疑加大運算量.事實上，此題根本不需要求導，只需要簡單快速地畫出三次函數的草圖即可.由于該函數的三次項系數為正數，且至少有兩個零點，因此函數圖像為“先增后減再增”類型.因為2既是零點又是極值點，所以圖像如圖3所示，顯然2為重根，所以 a=2 ，進而 f（0）=-4

2.4 利用教材的延伸內容

數學教材中有許多開放性和探索性的問題，特別是一些課后習題，它們是經過精選的，較為經典.對教材習題進行合理而有度地剖析、變式、延伸、推廣、拓展、縱橫聯系，不僅能加深學生對概念、公式、定理的理解，而且能培養學生發現問題、解決問題以及抽象思維、發散思維的能力，對錘煉學生的思維品質、建立系統化知識網絡有著獨特的功效，

（蘇教版普通高中教科書數學必修第二冊第132頁練習第7題）證明： ∣z₁z₂∣=∣z₁∣∣z₂∣ ：

這道題的證明對于學生來說很簡單，但是這道題的結論是值得研究的，它揭示了復數乘積的模與各自的模之間的關系，是一個很漂亮的結論，可以引導學生繼續思考以下拓展問題

（1） ∣z₁z₂z₃∣=∣z₁∣∣z₂∣∣z₃∣ 是否成立？（2） 是否成立？（3） 是否成立？

探究發現上述結論都是成立的，這些結論在高考的客觀題中有著它的應用價值，可以優化解題過程，

一例6 （2022年北京卷2）若復數 z 滿足 i?z= 3—4i，則

A.1 B.5 C. 7 D. 25分析根據教材中的結論可知 |i?z|=|i||z|= |3-4i|=5 ，則 |z|=5 ，這樣可以避免求解復數 z 以及計算模的過程，減小運算量.

（人教A版普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第121頁探究）如圖4所示，點 A，B 的坐標分別是（-5，0），（5，0） ，直線 AM ，

BM相交于點 M ，且它們的斜率之積是 ，試求點M的軌跡方程，并由點 M 的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與它們的斜率之積是 比較，你有什么發現？

通過探究該問題可以得到更一般的結論：若點P，Q 是橢圓 C （ （agt;bgt;0） 上關于原點對稱的兩點，點 A 是橢圓上異于 P，Q 的任意一點，直線AP，AQ 的斜率 k_AP，k_AQ 都存在，則 下面看看該結論在高考中的應用.

例7（2022年全國甲卷理10）橢圓 c 1（agt;bgt;0） 的左頂點為 A ，點 P，Q 均在 C 上，且關于y 軸對稱.若直線 AP，AQ 的斜率之積為 ，則 c 的離心率為（ ）.

分析設點 P 關于 x 軸的對稱點為 P^′ ，則點 P^′ 與點 Q 關于原點對稱.由上述結論可知 k_AP^′?k_AQ= 所以橢圓 C 的離心率

2.5利用特殊值或特殊模型求解

有些問題直接求解比較復雜時，不妨利用符合題設條件的特殊值代人計算或檢驗，如利用特殊值、特殊圖形甚至特殊函數，但是需要注意的是，這種方法缺乏嚴謹性，只適用于客觀題中.

例8（2023年新高考Ⅰ卷11，多選題）已知函數 f（x） 的定義域為 R，f（xy）=y²f（x）+x²f（y） 則（ ）.

A. f（0）=0

B. f（1）=0

C. f（x） 是偶函數D. x=0 為 f（x） 的極小值點

分析觀察題目的條件，當 xy≠0 時，可以將條件 f（xy）=y²f（x）+x²f（y） 變形為

聯想到對數函數具有這種運算性質，不妨設 ，構造 利用該函數對選項進行逐一判斷可以得到答案為ABC.

例9（2025年新高考I卷7）若圓 x²+（y+ 2）²=r²（rgt;0） 上到直線 的距離為1的點有且僅有2個，則 r 的取值范圍是（ ）.

A. （0，1） B.（1，3） C. （3，+∞） 1 D. （0，+∞） 0

分析這道題涉及動圓，如果用一般的思維去處理，需要運用運動的觀點去看待問題，對基礎不是很好的學生來說，不容易理解.但如果將圓的半徑取為特殊值，就可以將圓“定”下來.考慮到這是一道單選題，結合選項依次取 r=1 和 r=2 ，通過繪制草圖（如圖5），結合圓心到直線的距離為定值2，容易判斷當 r= 1時，圓上到直線的距離為1的點只有一個，所以排除選項D，當 r=2 時，圓上到直線的距離為1的點顯然有兩個，排除選項A和C，故選B.

2.6利用多選題選項之間的排斥求解

多選題的答案是不少于兩項的，如果一道試題中有兩個選項同對同錯，另兩個選項確定一對一錯，那么這兩個選項只可能是同對，這也算是針對多選題的一種應試技巧.

例10（2021年新高考I卷11，多選題）已知點P 在圓 （x-5）²+（y-5）²=16 上，點 A（4，0），B（0） 2），則（ ）.

A.點 P 到直線 AB 的距離小于10

B.點 P 到直線 AB 的距離大于2

C.當 ∠PBA 最小時，""D.當 ∠PBA 最大時，""分析圓心 M（5，5） 到直線 AB：x+2y-4=0 的距離為"""，所以點 P 到直線 AB 的距離的最（20""小值為 ，最大值為""，故

A正確，B錯誤.如圖6所示，當 ∠PBA 最大或最小時， PB 都與圓 M 相切，在這兩種情況下， PB 的長度是相同的，所以選項C和D要么都正確，要么都錯誤.由于這是一道多選題，所以這兩個選項只能都是正確的，因此可以避免對PB長度的運算求解，從而優化解題過程，選ACD.

優化高考解題途徑，不僅是技巧的傳授，更是思維品質的培養.因此，不能為了技巧而只教技巧，否則會陷入一個極端的錯誤中.例如，特殊函數法雖然能快速解決抽象函數問題，但過度依賴這種方法，容易忽略嚴謹的邏輯推導，在不能使用這種方法時，學生會束手無策；多選題選項排斥性的講解會讓學生感到新奇，但扎實的基礎知識才是運用這種方法的根基，這需要教師在教學中進一步平衡概念理解、方法遷移與應試技巧，注重學生的個體差異，通過分層教學和針對性練習，幫助學生實現高效、精準解題

本文系江蘇省中小學教學研究第十五期課題“追求理解的高中數學概念課堂教學實踐研究\"（立項編號：2023JY15-L54）；江蘇省教育科學“十四五”規劃青年專項課題“指向高階思維培養的高中數學教學實踐研究”（立項編號：C/2023/03/47）的階段性研究成果.

（完）