芻議教材“二次開發”的若干視角

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《課標》\"）在“實施建議”部分指出：“要便于教師教學設計，創設教學情境、提出合適問題、有效組織教學；要為教師自主選擇、增補和調整教學內容預留必要空間.”]正基于此，在日常教學中，如果能夠對教材部分內容進行適當的“二次開發”，以便進一步促進學生的學習興趣、提升學生的知識視野，進而潛移默化地培養學生的核心素養，便成為理所當然的目標.以下是對人教A版“總體離散程度的估計（第1課時）”新授課內容進行二次開發的課堂案例實錄、相關分析及若干感悟.

1教學過程設計

1. 1 實例創設，引入主題

師：在前面我們剛剛學習了利用平均數、中位數和眾數來刻畫樣本的集中趨勢，而這些研究的目標是用樣本估計總體.下面請分析以下實例，并作出相應的判斷.

情境1《黑神話：悟空》是一款以中國神話為背景的動作角色扮演游戲.故事取材于中國古典小說“四大名著”之一的《西游記》.作為國內首款3A大作，憑借精良的制作水準，上市之后，風靡全球.看了短視頻之后，下面的時間讓我們來扮演一位游戲主編，為《黑神話：悟空》進行正面宣傳，這樣既可以學習有趣的數學知識，又可以弘揚優秀的中國傳統文化！

這款游戲上市后，為了讓玩家獲得更好的游戲體驗，作為游戲主編的你決定對市面上三款熱門游戲設備進行性能測試（即測試“游戲畫面幀率”），通過運行專業軟件得到如下數據：

根據以上測試數據，你如何評價這三臺游戲設備，進而給玩家做出推薦？（注：游戲畫面幀率是指游戲畫面每秒刷新次數，幀率越高、越穩定，游戲就越流暢.）

師：如何進行有效的數據分析？

生1：計算三組數據的平均數、中位數、眾數.而三組數據的平均數、中位數、眾數都是67.

師：所以僅靠數據集中趨勢的信息，有時還不能做出有效的決策.本節課將學習數據的另一個重要特征——離散程度.如何更直觀地觀察三臺設備的差異？

生2：將表格中的數據轉化為統計圖.

師生利用數學軟件作圖，通過折線圖發現：甲波動幅度比較大，而乙和丙相對穩定.

1. 2 結合所學，探究概念師：如何度量這種差異呢？

老師發動學生進行第一次小組活動：刻畫離散程度.

活動規則：全班分為8個小組，學生先獨立思考，再小組討論，然后將結果通過平板上傳，教師匯總方案，進行展示與評價.

方案1：利用極差.

設備甲的極差 =70-64=6 （幀），設備乙的極差=69-65=4 （幀），設備丙的極差 =70-64=6 （幀）.所以乙的波動范圍是最小的.

師：是否認可這種方案？

生3：部分認可，乙更穩定，但甲和丙無法區分.

此時學生發現了極差的缺點：只使用了數據中最大、最小兩個值的信息，所含的信息量很少，并不夠全面.

方案2：利用“平均距離”.

有個別同學用了“總距離”，但同學們顯然發現這個數據受樣本容量的影響太大，所以不予采用.而這里的“平均距離”是指每個數據與其平均數的差的絕對值的平均數，即

先計算甲、乙的平均距離，可作出判斷： d_H= 1.6（幀）; d_ζ=0.8 （幀），由 d_HΩgt;d_Z 得乙更穩定！

再計算乙、丙的平均距離， d_ζ=0.8 （幀）； 0.8（幀），由 d_ζ=d_?Fj 得一樣穩定？無法作出判斷！

師：這種方案考慮到了全部數據，比利用極差刻畫更為全面，但現在仍舊無法判斷乙丙的離散程度，該怎么辦？

1. 3 形成概念，探索新知

思考1：如何對“平均距離”進行改造，從而“顯化”乙丙離散程度上的差別？

生4：用“平方”替代“絕對值”，即 （204號

師：很好！平方的好處：1.拉大差距；2.避免討論.

方差定義：設一組數據是 x₁，x₁，…，x_n ，則這組數據的方差為 ，有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成以下形式： ：

老師讓學生依照上次的規則進行第二次小組活動：證明兩式相等.稍后學生順利地解決了問題

師：方差的單位和原數據是什么關系？

生5：是原數據單位的平方.

師：為了保持單位一致，可以對方差進行開平方，我們就得到了標準差的定義.

思考2：標準差的取值范圍是什么？標準差為0的一組數據有什么特點？

師生活動：學生自主探究并回答.教師進一步說明，方差和標準差都是刻畫一組數據離散程度的指標，但是在解決實際問題中，一般多采用標準差.由于有時候計算較復雜，我們可以借助計算器或者計算機幫助計算.

老師順勢提出了：總體的方差、標準差的定義；總體方差的加權形式；樣本方差、標準差的定義.

思考3：標準差和方差是怎樣刻畫數據的離散程度的？

學生馬上得到了正確答案方案3：利用標準差

S_?H=2 （幀）： S_Z≈1.095 （幀） S_?≈1.414 （幀）所以乙最穩定，其次是丙，甲最后

師：通過三種方案的定量計算，如何進行評價？

生6：以方案3為主，結合方案1和2，最終給出結論，即可以推薦：如果玩家想要追求更穩定的游戲體驗，就選性能相對穩定的乙，否則可考慮丙和甲，

老師讓學生練習鞏固題組1：即課本P213練習1和練習2.

1. 4 應用所學，提升思維

師：一轉眼，《黑神話：悟空》已發售兩月有余，目前全球銷量已突破2000萬套，具備了沖擊年度最佳游戲的實力.作為游戲主編的你，想通過各個游戲平臺玩家滿意度的反饋來為《黑神話：悟空》造造勢.

情境2在對《黑神話：悟空》玩家滿意度的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道在A平臺抽取了玩家300人，其評分均值（滿分為10）和方差分別為8.9和0.48；在B平臺抽取了玩家200人，其評分均值（滿分為10）和方差分別為9.1和0.62.

你能由以上評分數據計算出兩個平臺的總樣本方差，并對全體玩家的評分方差作出估計嗎？

師生活動：教師引導學生明確題目的條件和結論，引導學生利用方差的兩個公式探究兩組數據匯總后的方差計算公式.

學生容易得到"" ，并且發現有兩種思路可以進行下一步分析：

思路1：利用方差公式 思路2：利用方差公式

老師讓學生依照規則進行第三次小組活動：探究分層隨機抽樣的方差.在活動中發現有些小組思路的障礙點，即以下關鍵點未發現，并及時進行了適當地分析與點撥.

思路1的關鍵點： ：

思路2的關鍵點：

在破除障礙之后，大多數學生得到 s²=

由 ，總樣本平均數 ，再根據條件即可得：

（20 [0.62+（9.1-8.98）²]}=0.5456.

師：在本例中，總樣本方差和兩個平臺的方差區別并不大，說明了什么？

生7：合并后的數據穩定性和原來各組的穩定性差不多.

師：這說明各平臺玩家對《黑神話：悟空》評價比較一致，再結合較高的平均分，毫無疑問，這是一款非常出色的游戲.不過這里需要特別指出的是：在更多的例子中，總樣本方差會比各層方差大許多，比如課本213頁例6（男女生身高分層問題），這說明數據合并后的穩定性有時會變得很差，從而體現了分層抽樣的必要性！

追問1：一般地，如果知道兩組數據各自的數據個數、平均數和方差，如何計算合并后全部數據的平均數和方差呢？

學生歸納得到

老師讓學生練習鞏固題組2：即課本214頁練習5和一道變式題.（注：前者數據較復雜，要求用平板求解；后者數據較簡單，要求筆算）

追問2：如果你在C平臺也進行了玩家游戲評分的抽樣調查（人數100人，評分均值8.8，方差0.52），那么該如何計算三個游戲平臺的平均數和方差，并對全體玩家游戲評分的平均數和方差作出估計呢？

生8：這就是三組數據合并問題

師：是的，課本218頁拓廣探索第11題，就是三組數據合并的問題.請大家進行推導.

學生利用整體與類比思想較順利地得到了答案.

1. 5 課堂小結，反思提升

老師讓學生先對這節課進行了總結，然后師生從情境1：“測試設備性能”的角度，回顧了如何刻畫數據的離散程度；方差、標準差的定義及特征.從情境2：“評估玩家反饋”的角度，回顧了關于兩層乃至三層分層抽樣的方差.然后老師用《黑神話：悟空》經典語錄，與大家共勉：“每一滴汗水，都是通往圣境的階梯.”

最后老師布置了回家作業（作業本上本節作業）與探究作業：請大家把課本218頁拓廣探索第11題，三組數據合并的問題推廣至 n（n?4） 組數據.

2對以上教學過程設計的若干說明

數學教材的“二次開發”指的是教師基于素養導向和學情實際，依據課程標準對既定的數學教材內容進行適度增刪、調整和加工，合理選用和開發其它教學材料，從而讓教材更有利于學生對數學知識的理解和思維的發展.圖1是對教材內容二次開發的流程圖[2].

圖1

2.1本節課在教學內容上的重組

首先，在“例題改編”上，教材通過解決一個選擇射擊運動員的實際問題，讓學生系統經歷獲取數據、運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，最后形成結論的過程.后續通過有關樹人中學高一男女身高的分層抽樣的例子來說明總樣本方差和兩層分層抽樣的方差之間的關系.在實際教學中，教師引入了風靡全球的游戲《黑神話：悟空》的兩個情境：“測試設備性能”和“評估玩家反饋”，并通過游戲主編的身份將這節課所涉及的知識完美地融入這兩個情境之中.一方面，這樣把教材中的情境素材改編或替換成學生熟悉的、社會熱點的內容，既符合高中生的心理特征與愛好，也更加吸引他們的注意力、興趣與參與度，能讓學生在新知識面前“欲罷不能”；另一方面，通過這些材料弘揚了優秀的中國傳統文化，激發他們的民族自豪感.顯然，在實際教學中，通過這兩個情境問題的解決，絕大多數學生自然而然地掌握了相關的數學知識.

其次，在“活動素材再造”上，由于高中生學習數學有時也需要經歷操作、驗證等學習活動，教師選擇合適的活動素材一情境1的三組數據提供給學生，在課堂上分別討論和比較了極差、總距離、平均距離與標準差等數學形式在刻畫離散程度中所起的作用，從而保障活動目標的達成.情境2的問題解決要求學生通過兩種方法進行分析探索，然后進一步將結論一般化，從而在對學習活動素材進行整合式再造的同時，拓寬了知識視野，幫助學生經歷知識融會貫通的建構過程，實現思維的拾級發展.另外通過學生的三次小組活動，結合平板的利用等教學手段幫助學生更容易地建立通暢的認知通道和思維遞進通道.

另外，在“練習創編”上，借助于習題，教師在順應學生學習路徑的基礎上適時依次提供兩組題組，對所學知識加以鞏固；然后通過兩次追問從而把問題結論一般化并加以拓展，目的在于讓學生通過這些同質素材或異質素材的習題，形成有梯度、有精準度、有挑戰性的任務促使學生進一步對比和辨析，從而促進思維的深刻化.后續通過探究作業：“ n（n? 4）組數據合并問題”的布置，助推學生順利完成“形成概念一理解概念一應用概念”的過程.

2.2本節課在需求分析與認知順序上的設計

從某種角度上看，教材的“二次開發”是在學習需求引導下的一種教學過程.就這節課而言，學生在初中已經學習過方差的概念，了解方差可以刻畫數據波動程度，但是對于概念形成過程和統計意義認識不夠深刻.高中需要在此基礎上理解方差的統計含義，對方差定義的合理性有所體會，需要根據具體問題選擇恰當的特征數來刻畫數據的離散程度，需要滲透用樣本的方差和標準差估計總體的方差和標準差的思想[3].

在實際教學中，由于教科書上的學科知識都有其身后的生活根源，帶著生活的激情，伴隨著豐富的情感體驗.因此“具體問題”由書本中的“射擊運動員”相關問題改成“游戲《黑神話：悟空》\"問題，這種背景可能更激起高中學生的“情感共鳴”，從而激發學生對所涉及的數學知識的學習渴求，也就是我們執教者在分析教材時要善于發現、挖掘被壓縮化的知識背后所隱藏的情感因素.此時再讓學生自身去探究構造一個刻畫離散程度的統計量，從而形成“方差”概念的基本雛形；然后通過題組訓練，學生進一步理解“方差”概念所蘊含的數學意義；在此期間，學生不僅能夠計算方差比較離散程度，還能夠在數據發生變化時感知統計量取值的變化，在數據以統計圖表形式呈現時能夠對數據中蘊含的信息做出正確判斷，加強對數據本身的意識與感悟；應用概念階段，在情境2及其配套教學中，通過讓學生借助數據信息發現規律，做出推理、決策和推斷，從而達成用樣本的數字特征估計總體的數字特征.

3本節課在教材的“二次開發”上的若干感悟

3.1教材的二次開發應注意基于單元整體教學

由上可知，教材的”二次開發”強調的是根據課標要求與具體學情等因素，對教材內容進行適當地增刪、整合、拓展、優化等設計與操作.而每個主題的”二次開發”，首先要基于單元整體內容進行設計，尋找本單元內各教學要素之間的內在聯系，優化本單元各板塊內容，創造性地確定單元教學目標；其次再確定本主題”二次開發”的具體內容與教學策略.從邏輯角度上講其過程可以分為三部分，分別是“從何而來”“現在在哪兒”“將去哪兒”“從何而來”體現知識的邏輯起點，在舊有的知識體系中探尋引入的事例.于是抽樣方法，統計圖表，用平均數、極差等統計量刻畫集中趨勢就成為本節課分析問題的依據，即依托這些上位知識進行問題的開展；“現在在哪兒\"解決了知識的生成與內化.本節課通過“極差”“平均距離”以及“標準差”三種數學形式對三個樣本數據進行分析，體驗方差概念的形成過程，以及用樣本的數字特征去估計總體的統計思想；“將去哪兒”讓知識的深度發展成為可能.于是借助具體情境求離散型隨機變量的期望與方差就成為下期教學的目標，即開展下位知識的教學.

3.2 教材的二次開發應注意提升學生的深度學習能力

深度學習的核心特征是高階思維，發展高階思維能力有助于實現深度學習，同時深度學習又有助于促進學習者高階思維能力的發展.而教科書上呈現的并不是課堂教學的全部內容，只是為師生提供的基本素材和范例.受教材篇幅的限制，不可能把知識的來龍去脈全部呈現，而是凸顯某些重點和關鍵點.所以在本節課中，教師先通過情境1引導學生利用平板等現代工具，采用統計圖表及數據分析的形式對“極差”“平均距離”以及“標準差”這三種數學形式去刻畫離散程度的特點進行深入比較，使學生真實地感受到“標準差”的作用及其意義.后續通過情境2的設置，不僅要求用兩種方法去探求兩個平臺的總樣本方差，進而得到其一般化的結論，然后再探求三個平臺的總樣本方差，直至 n（n?4） 組數據的總樣本方差，這樣通過階梯式的問題設置從而提升了學生探究問題的能力.

通過這節課的二次開發設計的教學活動，遵循了從簡單到復雜、從實踐到理論、從基本思維到高階思維的原則，達到進階的終點，力圖實現深度學習的目標.

3.3教材的二次開發應注意著重培養學生的數學素養

《課標》指出：“要結合特定教學任務，思考相應數學學科核心素養在教學中的孕育點、生長點；要注意數學學科核心素養與具體教學內容的關聯”[1].在本節課的教學中，首先以統計概念為抓手，通過解決“游戲《黑神話：悟空》”的相關問題鏈，讓學生系統經歷獲取數據、運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，最后形成結論的過程，這正是數據分析素養的具體體現.另外，教學中情境2通過從特殊到一般，求出兩層、三層乃至 n（n?4） 組數據合并問題的分層抽樣的方差.這正是邏輯推理素養的具體體現，也體現了數學運算素養是數學活動的基本形式，是得到數學結果的重要手段.教師作為溝通學生和教材的媒介，應當充分了解學生需要與教材的關系，只有在理解教材和學生需要的前提下，才能立足差異、彈性教學，真正實現教材的二次開發.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]陳紅霞.整合·拓展·結構化：基于小學數學教材二次開發的實踐與研究[J].基礎教育課程，2022（2）：44-54.

[3]余建明.“用極差、方差、標準差估計總體離散程度”教學設計[J].中學數學教學參考，2022（1）：37-40.

作者簡介黃加衛（1971—），男，浙江湖州人，中學高級教師；研究方向為高中數學教學；發表論文200余篇.