數學文化融入高中數學教材的功能分析與教學建議

數學文化承載著人類文明的發展歷程，是培養學生邏輯思維、理性精神、創新精神的沃土，也是實現數學審美價值的內生力量.《普通高中數學課程標準（實驗）》首次將“數學文化\"列人高中數學課程內容[]，《普通高中數學課程標準（2017年版2020 年修訂）》（以下簡稱《高中課標》）進一步明確數學文化的內涵，并將數學文化融入課程內容和教學過程之中2.教材是實現數學文化由原始形態向學習形態轉化的載體，數學文化融人教材的研究成為學界的共議話題，王建磐、汪曉勤等[3]對數學文化融入教材欄目、內容的運用方式等進行了國際比較，姜浩哲[4]對數學文化的呈現方式、認知水平進行了剖析.王嶸對數學文化融人教材的研究表明，融人最多的是“數學的形成與發展”，偏少的是“數學的人文價值”[5].吳立寶等[6]對教材屬性與功能的闡述表明教材具有文化滲透功能.已有研究側重對數學文化融入教材的內容選取、方法設計、欄自設置及認知水平等的探討與分析，鮮有對其功能發揮的闡釋，而上述內容在一定程度上影響并受制于其功能的發揮.因此，本研究旨在剖析高中數學教材中數學文化的功能，并提出相關教學建議.

1數學文化的內涵

數學文化的內涵界定在學界至今尚未形成統一定論，主要有以下幾種代表觀點.數學哲學觀：美國數學家懷爾德[7（R.Wilder）最早系統提出“數學作為一種文化體系”的數學哲學觀.鄭毓信[8]在批判繼承其思想的基礎上提出，數學文化即“作為文化之數學實在”.系統觀：黃秦安指出數學文化可以表述為以數學科學為核心，以數學的精神、思想、方法、內容等所輻射的相關領域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態系統.文化觀;克萊因[10]（M.Kline）指出：“每一個時代的數學都是這個時代更廣闊的文化運動的一部分.\"代欽等[1提出，數學文化是數學知識、思想方法及其在人類活動的應用以及與數學有關的民俗習慣和信仰的總和.數學學科觀：宋乃慶等[12]認為數學文化是指一群人（數學家），當他們從事數學活動時，遵守共同的數學規則，經過長期的、歷史的沉淀，形成了許多關于數學知識、數學精神、思想方法、思維方式等的共同約定.《高中課標》指出“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動”2].

《辭海》中廣義的“文化”指人類在社會實踐過程中獲得的物質、精神的生產能力和創造的物質、精神財富的總和.狹義指精神生產能力和精神產品，包括一切社會意識形式：自然、科學、技術科學、社會意識形態[13].在借鑒不同數學文化觀的基礎上融合對文化的深度理解，認為數學文化是指人類在社會實踐過程中通過數學的活動方式獲得和創造的物質、精神的生產能力及財富的總和.其外延包括數學的知識與方法、思想與精神、數學歷史與傳承、數學應用與人文藝術.

2數學文化融入高中數學教材的功能

數學文化通過教材影響學生的學習行為，主導學生的價值取向.付天貴、宋乃慶[14]認為數學文化包含原始形態、課程形態、學習形態三種形態.由于學生個體對數學文化有能動的理解，即學生實際體驗或感悟的數學文化，也稱經驗形態的數學文化.教材編者需對數學家從現實世界抽象和創造的數學知識、思想、方法等的總和進行改編、重組或再造，有機融入教材結構體系中，將原始形態的文化轉化為課程形態的數學文化，再經由教師“開”“示”“悟”“入”的手段，實現學習形態、經驗形態的轉化.從課程形態到學習形態再到經驗形態的轉化過程中，教材中的數學文化發揮著激趣誘導、知識組織、文化傳承、素養涵育的功能，模型如圖1所示.

2.1激趣誘導功能：激發好奇之心，喚醒探索欲望

數學人文知識激發好奇心.數學史記載著人類在探索理性文明中光輝歷程，有趣的歷史事件、數學家的奮斗歷程等能極大地鼓舞和激發學生的好奇心.數學嚴密的邏輯知識體系，是以“深加工”“再創造”的形式揭示數學知識背后的思維邏輯、文化互動以及突破路徑，觸動學生心靈，激發求知欲.數學美以充分視覺沖擊和心靈觸動，感知世界和諧、有序的美，增強趣味性.以斐波拉契數列與自然界中的美為例，通過圖片或視頻展示向日葵花盤上的種子排列、樹木新枝的生長、菠蘿表面棱形鱗片等，將自然現象與斐波那契數列聯系起來，發現萬物生長的數學奧秘.教材中數學文化的核心價值在于搭建“數學知識一文化載體一認知主體”的認知架構，借助數學文化語境與問題，引發學生的認知情感觸動，激發其對知識意義的追求，推動數學文化素材實現工具理性向價值理性的轉換。

數學工具應用喚醒探索欲.數學是其他科學技術的基礎，是工程設計的工具，是經濟決策的數據支撐.我國傳統數學以“經世致用”為價值遵循，教材選用《九章算術》《張丘建算經》等著作名題，均載有古人解決實際生活問題的詳實案例.數學文化通過應用價值激活學生的具身認知，將抽象理論轉化為解鎖現實問題的代碼.對數函數可從16世紀天文學的計算危機切人，講述蘇格蘭數學家納皮爾為簡化天體軌道運算中的繁雜數據發明對數，催生了對數計算尺，推動了開普勒行星定律的發現.諸如通過碳衰變定年法助推考古學發展，樂曲中音符的律動是正弦函數的周期表達，《莊子》“一尺之錘”蘊含無限分割的極限思想，北京天壇圜丘壇、蘇州園林等古建筑是數學美的具象化.此類數學文化素材通過錨定知識的現實原型，建立學生“最近發展區”，幫助在抽象符號與現實意義間建立認知橋梁。

2.2知識組織功能：揭示知識緣起，展現方法創生

揭示數學知識的起源與發展.在高中數學教材體系中融人數學文化，深度揭示了數學知識生成與演進的曲折歷程.徐章韜等[15]認為在數學教學中運用數學史的最重要的依據之一是認知的歷史發生原理（historical geneticprinciple）.通過歷史再現，生動展現出數學家在知識創造進程中的思維脈絡與邏輯方法，呈現數學知識如何由實際問題發端，歷經抽象化與形式化的發展路徑，有助于學生清晰把握數學知識的來龍去脈，構建起完整、系統的數學知識認知結構，深化對數學學科本質的理解.如人教A版高中數學教材在平面解析幾何內容中設置“閱讀與思考\"詳細介紹笛卡爾與解析幾何.在笛卡爾看來，“沒有任何東西比幾何圖形更容易引入人腦”“用圖形表達事物非常有益”，但歐幾里得幾何證明中的奇巧的構思令人不安.通過對解析幾何創建歷史過程的了解，不僅更好地理解解析幾何的核心思想用代數方法研究幾何問題，還深化其產生的動機和意義，形成更深刻的知識記憶.

展現數學方法的創新與突破.數學文化通過歷史發生原理展示數學方法在解決實際問題中的創新與突破，激發學生的創新思維.“祖恒原理”作為中國古代數學家的杰出成就之一，生動展示了計算柱體、錐體、球體體積公式方法的創新與突破.該原理由南北朝數學家祖晅提出，原理指出“冪勢既同，則積不容異”，這一原理不僅早于西方卡瓦列里原理一千多年，更以直觀的截面積轉化替代復雜分割，體現了數學方法的簡潔性與創造性.通過數學文化的融入，學生不僅能掌握相關體積公式的計算方法，更能感受到中國古代數學家的智慧與創新精神.祖晅原理不僅是古代工程實踐的理論基礎，其思想更與現代微積分一脈相承，彰顯我國數學方法跨越時空的創新性.

2.3文化傳承功能：傳遞思想方法，賡續精神力量

思想與方法的傳遞.國內外數學家共同構建起數學學科知識體系，為今日之數學提供了寶貴的知識經驗和思想方法，奠定了堅實的理論基石.古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》構建起嚴密的幾何公理體系，是高中平面幾何與立體幾何相關定理證明的基礎，其蘊含的公理化思想和嚴密的邏輯推理方法是數學推理的重要范式，也是高中數學核心素養的內涵體現.《九章算術》是中國古代數學思想方法的集大成者，在世界數學史上占據重要地位，涵蓋方田、衰分、商功等多個數學主題，是中國古代圖形計算、谷物分配、方程思想、數列問題的現實應用，更是思想方法的傳承與賡續.教材中引人《九章算術》中有關數列及求和的名題、勾股定理的應用等，是對古代數學智慧結晶、精神思想的直接傳承.學生在學習的過程中能直觀感受到古代數學家在數學領域的卓越貢獻，做到知識傳承的文化自覺.

價值觀與精神的賡續.數學文化記錄和傳承著數學家們追求真理、勇于探索、嚴謹認真的人生追求和科學態度.教材除了幫助學生構建嚴密的邏輯知識體系外，最重要的價值在于價值觀的形成與精神文化的塑造，這恰是數學文化潛移默化傳導給學生的價值內核.劉徽在給《九章算術》作注時發現其中記載的球的體積公式存在明顯誤差，于是將“割圓術”方法推廣至三維的“割球術”，但是很快認識到分割球體的困難，進而轉化為研究球體與圓柱的關系，構建起“牟合方蓋”，為“祖恒原理”奠定了基礎.劉徽也是世界數學史上第一次將極限思想和無窮小分割方法引入數學證明，首創求圓周率的科學方法及開方不盡求其“微數”的思想，奠定求圓周率領先世界千余年的基礎[16].在數學發展的歷史長河中，不乏追求真理、潛心治學、突破創新的數學家，其精神價值也引領和推動后人不斷開拓創新.

2.4素養涵育功能：厚植科學根基，升華人文情懷

科學素養的涵育.數學文化蘊含的數學知識體系與科學方法論認知圖式，通過合情推理與演繹推理的形式，將數學的公理化思想、模型化思維、批判性反思滲透教學全過程，塑造具備嚴謹邏輯推理、獨立批判能力與創新問題解決的、推動社會進步的建設者和推動者.如微積分的創建歷程中就體現了從直覺到邏輯再到符號系統的構建，其中蘊含了極限思想和抽象化思想的升華.古希臘歐多克索斯的窮竭法與我國劉徽的割圓術都是微積分的雛形.在牛頓、萊布尼茨、柯西等人的極限理論公理化、符號化表達中微積分得以創建，并開啟變量數學的時代.數學同時橫貫物理、化學、生物、地理、天文等學科領域，為愛因斯坦相對論、牛頓力學提供公理化體系，為揭示微觀世界的本質規律提供數學抽象化工具，為生態動力系統構建數學模型，為揭示、預測自然規律提供數據化信息.通過跨學科領域的價值實現，為學生理性思維的塑造、科學素養的涵育奠定堅實基礎.

人文素養的升華.數學兼具科學與人文的雙重屬性，通過數學文化素材中的人文特質升華學生的人文素養.正如羅素（B.Russell）所說：“數學，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美.”[17]正弦函數與五線譜融合，譜寫動人音律，是數學與藝術的融合.詩歌“遠望巍巍塔七層，紅光向下成倍增；共燈三百八十一，試問塔尖幾盞燈”是生活問題數學化的寫照.統計案例揭示數據背后的社會現象，函數模型預測氣候變化趨勢，二次曲線與天體軌道的和諧統一，促使學生關注現實問題，培養用理性思維服務社會的擔當意識.數學通過整合歷史維度、思維訓練、美學熏陶和實踐導向，將知識學習升華為價值觀塑造，使學生在掌握工具理性的同時，形成追求真善美的人文情懷，實現科學與人文的有機統一.這種潛移默化的滲透模式不僅培養學生數學能力，更孕育具備批判思維、審美素養和責任擔當的創新人才.

3 教學建議

3.1“開”：二次開發教材文化資源

高中數學教材中的數學文化內容、編排方式、組織形式一般為統一樣態，難以滿足不同教學場景、不同認知水平的學生需求，教師需對教材中數學文化資源進行二次開發.對教材進行二次開發，將文化素材進行歷史性與共時性的雙向架構，融通古今中外，讓數學文化以更生動、更適宜的方式融入教學，使數學知識與文化背景實現縱向思維深化、橫向能力遷移.如在講解數列時，將斐波那契數列背后的數學故事、歷史發展引入，讓學生了解它如何在植物生長、藝術創作等領域出現，不再局限于抽象的公式推導，提升學生對數學知識的理解深度、廣度.以“割圓術”為例，在二次開發中引導學生探討劉徽的極限思想，讓學生感受古人如何用逐步逼近的方法解決數學難題，培養學生的邏輯思維與創新思維.此外，二次開發數學文化資源還能增強學生的文化自信.總之，對高中數學教材中數學文化資源進行二次開發，能充分發揮數學文化的育人功能，讓數學教學更具深度與廣度，全面提升學生的數學素養.

3.2“示”：展示文化融入教學過程

數學文化融入教材的方式主要是短文式[5]，這樣的欄目設置往往難以引起教師的重視，通常作為閱讀材料讓學生自學.教師在教學過程中需做好數學文化課程形態到學習形態的轉化，其重要途徑就是教學過程中展示數學文化內容，在知識內容講解的過程中有機融人“再創造”的數學文化素材.數學文化融入教學過程需要把握深度、廣度、溫度.具體而言，內容深度上要有所取舍、有所區分，明確哪些數學文化內容需深人，哪些需淺出.教材中的數學文化內容多以“閱讀與思考”等附加方式呈現，對于一些典型內容可以采取專題教學開展.廣度上要求教師做到博觀約取，精選教材中的文化素材，并以合適的方式融入課程教學環節，一句名言、一張圖片、一個思想亦可傳遞無窮能量.最后，要求數學文化融入教學過程有溫度，在吸收國際數學成果的同時有機滲透我國傳統數學文化，既有國際視野，又要扎根本土，堅定文化自信.

3.3“悟”：引導感悟數學文化魅力

數學文化對學生價值觀的塑造與涵養，絕非外力強制灌輸所能成就，其深深植根于數學本身蘊含的“真”“善”“美”之中.教師在教學過程中應充分調動學生能動性和主體性，搭建數學文化學習形態與經驗形態的轉化.如蘇教版在“隨機事件的概率”一節設計了耳熟能詳的“田忌賽馬”的經典博弈論案例，借助數學的概率知識能精確勝負幾率，展現策略優化和概率模型的思想.在教學進程里，教師應巧妙借助數學邏輯思維之“真”，引導學生探尋邏輯嚴密、論證確鑿的理性精神；憑借數學求真精神之“善”，培育學生嚴謹認真、實事求是的治學態度；依托數學“數與形”之“美”，激發學生對簡潔性、對稱性、和諧性與奇異性的敏銳感知.由此，引領學生自主領悟、深度體悟數學文化的魅力與價值，讓正確的價值觀在學生心中悄然生根發芽.

3.4“入”：入乎其內深化育人價值

教師在教學過程中應充分發揮教材中數學文化的價值引領功能，入乎其內深化文化深層育人價值.教師可借助古代數學典籍、數學家的事跡、數學與現實生活、數學與人文藝術等，挖掘其中蘊含的育人價值，幫助學生深入文化內核意蘊.如蘇教版教材中給出《數書九章》數學名題“天池測雨”是一個以現實生活“氣象測量”為背景的求圓臺體積問題，詞句簡單易懂.一方面，學生在解題的過程中需抽象化、數學化，構建幾何模型，同時感悟古人在解決實際生活問題時的智慧與技巧，理解數學知識源于生活又服務于生活的本質特征，培養學生應用意識和創新思維.另一方面，《數書九章》是我國南宋數學家秦九韶所著，書中還提出“大衍求一術”和“正負開方術”，系統解決一次同余式組和高次方程的解，代表了當時中國數學的先進水平.在教學中，引申講述秦九韶在政權更迭、內憂外患的環境下潛心研究數學的人物故事，其對數學的執著追求和嚴謹治學的態度，激勵學生面對困難時堅持不懈，培養堅韌的意志品質.

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作者簡介吳立寶（1977一），男，山東莒縣人，教授，博士，博士生導師；研究方向為教師教育與數學教育.徐小琴（1989一），女，四川內江人，博士研究生；研究方向數學課程與教學論.