三面角余弦定理巧解立體幾何

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16 -0042-03

高考中的立體幾何問題不僅著重考查學生的空間想象能力，還對其邏輯推理與數學運算能力提出較高要求.而二面角問題作為考查這三種能力的典型題型，常常讓學生感到無從下手.本文引入三面角余弦定理，將其作為連接空間幾何與三角函數的橋梁，通過揭示三個平面相交形成的面角之間的關系，實現二面角求解過程的化繁為簡.

1 三面角余弦定理及推論

三面角余弦定理最早于20世紀80年代出現，當時被稱為“三面角公式”[1].到了20 世紀90 年代初之后，該公式多被稱作“三面角余弦定理”[2]，其具體內容為：在三面角中，任意一個面角的余弦值，等于其余兩個面角余弦值的乘積，加上這兩個面角的正弦值與它們所夾二面角余弦值的連乘積.

為了凸顯二面角與三面角的關系，這里給出其變體：

三面角 O-ABC 的三個面角 ∠AOB=α ，∠AOCδ=β，∠BOC=γ ，設二面角 A-OC-B 的大小為 θ ，

證明 如圖1所示，設 OA=a，OB=b，OC=c ，作 AC⊥OC，BC⊥OC ，連接 AB

在 RtΔAOC 中， 知 AC=asinβ ，由 ，知

在 RtΔBOC 中，由 知 BC=bsinγ ，由 ，知

在 ΔAOB 中， AB²=a²+b²-2ab?cosα ，

在 ΔABC 中 AB²=AC²+BC²-2AC?BC?cosθ 則 a²+b²-2ab?cosα=AC²+BC²-2AC?BC?cosθ. （20則

-2asinβ?bsinγ?cosθ. （204則 a²+b²-2ab?cosα=a²sin²β+b²sin²γ

-2asinβ?bsinγ?cosθ. （204號則 a²-a²sin²β+b²-b²sin²γ=2ab?cosα

-2asinβ?bsinγ?cosθ. 則 a²cos²β+b²cos²γ=2ab（cosα-sinβ?sinγ?cosθ）. 則 則 則 cosβcosγ=cosα-sinβ?sinγ?cosθ. （204號

推論 三面角 O-ABC 的三個面角 ∠AOB=α ，∠AOC=β ， ∠BOC=γ ，若二面角 A-OC-B 的大小為 θ=90^° ，則 cosα=cosβ?cosγ.

證明 在三面角 O-ABC 中，

又因為 θ=90^°

所以

故 cosα=cosβ?cosγ.

在運用三面角余弦定理解題時，有兩個關鍵要點需重點關注.其一，需準確理解角 α 的定義，它是三面角中與二面角公共棱所在平面均不重合的第三個面所對應的面角；其二，在確定公共棱端點時，需選擇便于計算三面角各角值的端點，雖然以公共棱的兩個端點分別作為頂點進行計算，最終結果相同，但合理選擇端點能夠顯著簡化運算過程.

2 應用舉例

接下來，我們將運用三面角余弦定理對兩道高考立體幾何真題進行求解，旨在拓寬學生的解題思路，同時讓學生切實感受該定理在解決立體幾何問題中的優越性.

例1如圖2所示，在三棱錐 P-ABC 中， PA⊥ 平面 （

求二面角 A-PC-B 的大小.

解析 設二面角 A-PC-B 的平面角大小為 θ ，則 ①

由 PA⊥ 平面 ABC 可知 PA⊥AC，PA⊥AB

在 RtΔPAC 中， ，得

在 RtΔPAB 中， PA=1，AB=1 ，得

，則

則 （20A

將以上結果代入 ① ，得

則

例2如圖3所示，在三棱錐 P-ABC 中， AB⊥ 的中點分別為 ，點 F 在 AC 上， BF⊥ AO.求二面角 D-AO-C 的正弦值.

解析設二面角 D-AO-C 的平面角大小為 θ ，則 ② 由 ，知 由 BP，BC 的中點分別為 _D，O ，知 ξ_DO 是 ΔBPC 的中位線.即 由PC =6，知DO= 由 DO//PC ，知 ∠PCB=∠DOB 在 ΔBPC 中， ，則 則 （20則 cos∠DOC=cos（π-∠DOB）=-cos∠DOB （204號

由 AB⊥BC ，點 o 是 BC 的中點， AB=2，BC ，知

則 2由 _D，O 分別是 PB，BC 中點且 知 DO

又由 知 在△AOD 中，cos ∠AOD =

則 sin∠AOD=1 在 ΔAOC 中， 則 sin∠AOC =√6將以上結果代入 ② ，得 則

3 結束語

通過兩道例題我們不難看出，三面角余弦定理為立體幾何中的二面角問題提供了一種嶄新的解題思路和方法，它不僅能夠幫助學生更好地理解和分析空間幾何關系，還能提高他們的數學素養和解題能力.

參考文獻：

[1］王振海.一個廣為應用的三面角公式[J].中學數學雜志，1984（02）：2-4，8.

[2]葉國祥.三面角的余弦定理及其應用[J].中學數學，1993（06）：17-19.

[責任編輯：李慧嬌]