重視模型探究 提升數學素養

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

“棱臺”在立體幾何眾多幾何體模型中，并非傳統意義上的核心考點.然而近年來，它卻在新高考數學卷客觀題中高頻亮相且不斷創新命題形式2021—2024年間，八套新高考數學試卷的客觀題中，棱臺相關題目竟出現六次，考查頻率之高，值得重點關注.從表1統計的這四年新高考數學卷對棱文章編號：1008-0333（2025）16-0068-05臺的考查試題中，其重要性可見一斑.

由此可以預測，在2025年乃至未來的新高考數學卷中，“棱臺”仍將受到命題專家的青睞，持續作為高考數學命題的考查熱點.基于此，本文選取2024年新高考Ⅱ卷第7題，將其融入高考數學專題復習的教學實踐與訓練環節，引導學生從多角度、深層次探究“棱臺”模型，進而提升直觀想象、數學建模及邏輯推理等數學核心素養.

1題目呈現

題目（2024年新高考 I 卷第7題）已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的體積為 A₁B₁=2 ，則 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值為（ ）.

A B.1 C.2 D.3

2 題目解析

這是一道聚焦正三棱臺空間結構特征的客觀性試題，涉及空間線面角的求解，考查內容涵蓋三角形面積公式、棱臺體積公式、相似三角形對應邊成比例定理以及空間線面角等核心知識.通常情況下，針對以棱臺為背景的問題，主要存在兩種求解思路：其一，直接剖析幾何體的結構特點，通過引垂線等常規方法計算所需幾何量，進而完成試題解答；其二，采用補形法，將棱臺還原為棱錐.由于棱臺本質上是由棱錐截去一個小棱錐所得，因此借助補形為棱錐的方式，同樣能夠有效解決問題.

分析1根據已知正三棱臺的體積以及上、下底面邊長，首先運用棱臺體積公式求出棱臺的高，然后依據空間線、面角的定義，確定線面角的平面角.通過找出上底頂點在下底面的投影，計算該投影與相關點構成的線段長度，得到平面角所在直角三角形的一條直角邊，而棱臺的高則為另一條直角邊，進而計算 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值..

解法1取 BC 的中點 D，B₁C₁ 的中點 D₁ ，所以

在正 ΔABC 中， 所以S△ABC = 同理得 ：設正三棱臺的高為 h ，則根據題意可得（

0解得 如圖1，過點 A₁，D₁ 分別作底面 ABC 的垂線，垂

足分別為點 M，N ，并設 AM=a ，則有

于是 在側面等腰梯形 BCC₁B₁ 中，得（20號 （204號所以 從而解得 因此 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值tan ∠A₁AM 故選B.

點評該解法從正三棱臺模型的結構特征出發，逆用正三棱臺的體積公式建立等式，求出正三棱臺的高.接著將問題轉化到三角形中，借助勾股定理及三角函數的邊角關系進行求解.這一過程有助于提升學生直觀想象、數學建模等核心素養.

分析2 把正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 補形成正三棱錐 P-ABC ，可知 A₁A 與平面 ABC 所成角就是PA 與平面 ABC 所成角，然后根據錐體比例性質求得 V_P-ABC ，從而根據體積公式求出正三棱錐 P-ABC 的高，進而求得結果.

解法2 如圖2，把正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 補形成為正三棱錐 P-ABC ，則可知 A₁A 與平面 ABC 所成角就是 PA 與平面 ABC 所成角.由于 則 二棱錐P -A₁B₁C₁ （20 三棱錐 所以 V_≡##.P-ABC=18.

設正三棱錐 P-ABC 高為 d ，可得

于是 ：

取下底面 ΔABC 中心為 o ，易知 OP⊥ 底面ABC，且 ，所以 PA 與平面 ABC 所成角的正切值 故選B.

點評由于臺體是由平行于底面的平面截錐體得到的，因此求解截面分臺體的側面積及體積比的問題時，可“還臺為錐”進行求解.試題解法2就是通過補形，還臺為錐，利用“體積比是相似比的立方\"求得正三棱錐 P-ABC 的體積，然后利用三棱錐的體積公式求出正三棱錐的高，最后轉化到三角形中利用三角函數的邊角關系求得正三棱臺ABC-A₁B₁C₁ 的側棱 A₁A 與平面 ABC 所成角的正切值，補形法體現了化歸轉化思想的運用，可以簡捷、快速地求解問題，提升直觀想象、數學建模及邏輯推理等數學核心素養.

3 高考題探源

對高考試題追本溯源，探尋其出處與命題軌跡，有助于研究高考命題規律，精準把控復習備考方向，提高復習的針對性與效率，對提升學生數學核心素養具有積極的導向作用.

3.1 教材探源

上述試題包含兩個考查重點：一是運用幾何法確定線面角；二是將正三棱臺轉化為正三棱錐.從試題的兩種解法可以看出，該試題是由教材中的兩道題目整合改編而來.

教材題1 （人教A版新教材必修第二冊第154頁例6）推導棱臺的體積公式VABC-ABiGi = （ S^′ ，其中 s^′，s 分別是棱臺的上、下底面面積， h 是高.

注意：在推導臺體體積公式的過程中，運用了“面積比是相似比的平方”這一性質.

教材題2（人教A版新教材選擇性必修第一冊第49頁第14題）在正四棱錐 S-ABCD 中， o 為頂點 s 在底面內的射影， P 為側棱 sD 的中點，且 so Π=OD ．求直線 BC 與平面 PAC 所成的角.

3.2 真題探源

許多高考試題往往由以往的高考真題改編延伸而來，上述試題也不例外，它與下面這道往年高考真題相關聯，兩道高考題堪稱一對“姊妹題”.

（1991年全國高考數學試題（理科）第18題）已知正三棱臺上底面邊長為2，下底面邊長為4，且側棱與底面所成角是 45^° ，那么這個正三棱臺的體積等于____.

由此可見，對高考數學復習而言，歷屆高考數學真題都堪稱永恒的經典，在教學中需要引導學生深入研究與挖掘

4高考題變式

若將試題結論中所求出的線面角作為已知條件，將結論變為求正三棱臺的體積，則有：

變式1 已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 中， AB =6，A₁B₁=2 ，側棱 A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° ，則正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的體積為

解析 如圖1，分別取 BC，B₁C₁ 的中點 D，D₁ ，則

所以

設正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的高為 h ，因為側棱A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° ，則 AM=A₁M=h

所以 所以 由等腰梯形 BCC₁B₁ 可得

即

解得

所以正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的體積為

點評通過對變式1的探究，我們能夠進一步掌握和運用臺體的體積公式，更熟練地進行空間線面關系的幾何推理.這一過程有助于提升直觀想象、數學建模、邏輯推理等數學核心素養.

若將試題變為已知正三棱臺的體積、高和上底面三角形的邊長，求下底面正三角形的邊長，則有：

變式2 已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的體積為 高為 ，則

解析 如圖1，設正三棱臺的下底面正三角形的邊長為 所以由棱臺的體積公式得 解得 x=6.

點評變式2通過引入參數，建立關于參數的方程求解，很好地促進數學建模、直觀想象及數學運算等核心素養的發展.

若將試題中已知正三棱臺體積的條件去掉，將結論中所求出的線面角作為已知，將結論變為求正三棱臺的表面積，則有：

變式3 已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 中， AB =6，A₁B₁=2 ，側棱 A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° 則正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的表面積為

解析 由變式1可知，S△ABc =9√3，S△ABiC1 ，且正三棱臺的斜高

所以正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的表面積為

點評變式3通過求解臺體的表面積，體現了基本數學模型的解題應用，有利于提升直觀想象、數學建模及數學運算等數學核心素養.

若將試題中已知正三棱臺體積的條件去掉，將結論中所求出的線面角作為已知，進而將棱臺與圓臺相結合，求以正三棱臺的上、下底面三角形的外接圓分別為上、下底面圓的圓臺側面積，則有：

變式4 已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 中， AB =6，A₁B₁=2 ，側棱 ∣A₁A 與平面 ABC 所成角為 45^° ，則以正三棱臺的上、下底面三角形的外接圓分別為上、下底面圓的圓臺側面積為

解析 由題意知圓臺的母線即為正三棱臺的側棱 A₁A ，根據變式1，可得

設圓臺上、下底面圓半徑分別為 r₁ 和 r₂ ，則由正弦 定理可得2r=g 解得 r₁

所以圓臺側面積為 S_{⊥⊥⊥\"⊥\"}=π（r₁+r₂）?A₁A

點評變式4 巧妙地將正三棱臺與圓臺相結合，讓學生在解決問題的過程中，有效提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養

若將試題中已知正三棱臺體積的條件變為已知正三棱臺的高，其他條件不變，求正三棱臺外接球的表面積，則有：

變式5 已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的高為 ，正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為

解析設正三棱臺上、下底面所在圓的半徑分別為 r₁ 和 Ir₂ ，則由變式4可知

設球心到上、下底面的距離分別為 d₁ 和 d₂ ，球 的半徑為 R ，所以 （204 故 或 或 解得 R²=14

故球的表面積為 4πR²=56π

點評本題首先設出正三棱臺上、下底面所在圓的半徑，再根據球心距、圓半徑與球半徑之間的關系，進而求出球的半徑.多面體與球的組合問題，主要以“內切”和“外接”兩類為主，是高考考查的熱點.解題時需深入剖析圖形關系：一是定位，即明確“切”或“接”的具體位置；二是定量，即確定相關元素的數量關系.通常需要作出包含各幾何體主要元素且能體現元素位置與數量關系的截面圖形，將立體問題轉化為平面問題，以此實現降維求解.

若將試題中已知正三棱臺體積的條件去掉，將結論中所求出的線面角作為已知，求正三棱臺內半徑最大的球的表面積，則有：

變式6 已知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的側棱長頭 ，則該正三棱臺內半徑最大的球的表面積為

解析根據題意可知，正三棱臺內半徑最大的球與正三棱臺的三個側面及下底面均相切，設球心為 o ，球的半徑 R ，利用體積分割法求解

由變式1可知 ，正三棱臺的高為 正三棱臺的體積為

又由變式3可知正三棱臺 ABC-A₁B₁C₁ 的側

面積為

連接球心 o 與正三棱臺的各個頂點，則有 解得

故該正三棱臺內半徑最大的球的表面積為

點評這里利用的是分割法求解，與幾何體體積有關問題常運用這種方法，依據的規則是： ① 完全相同的幾何體，它們的體積相等； ② 一個幾何體的體積等于它的各部分體積的和.

5 結束語

對空間幾何體模型的探究，其核心在于準確把握空間幾何體的結構特征，并能夠熟練進行長度、表面積、體積、空間角等度量計算.對于不規則的空間幾何體，需靈活運用分割法（如試題變式6）補形法（還臺為錐，如試題解法2）降維轉化（如高考題解法1中利用等腰梯形求解）等方法.高考的終極目的是考查學生對數學知識的綜合掌握程度與應用能力.盡管高考試題形式多變，但始終圍繞基本知識、技能及思想方法展開考查.因此，在高考數學復習過程中，不應區分知識點的冷熱，需對每個細節知識點都深入鉆研.只有將基礎知識融會貫通，熟練掌握各類解題方法與技巧，才能在高考中從容應對[1].

參考文獻：

［1］王方舟.高考數學復習需強化的幾種意識［J].中學生理科應試，2023（12）：1-4.

[責任編輯：李慧嬌]