用數學思想求解幾何問題的探究

數學思想在幾何解題中十分常見，同樣可以運用于相交線與平行線問題中，常用的有轉化思想、分類討論思想、建模思想等.教學中，建議教師深入解讀方法，再結合實例進行解題指導.

1轉化思想指導

1. 1 方法解讀

利用轉化思想求解相交線與平行線問題，基本思路是：對于難以直接求解的角度問題，可以轉化為求它的補角、余角或與它相等的角，后續利用兩者的關系來完成求解.

1.2 解題指導

例1如圖1所示，點 δ_C，D_δ 在直線 AB 上，已知∠ACE+∠BDF=180^°，EF // AB ，試回答下列問題.

（1）求證： CE//DF ：

（2）∠DFE 的角平分線 FG 交 AB 于點 G ，過點F 作 FM⊥FG 交 CE 的延長線于點 M .若 ∠CMF =55^° ，求 ∠CDF ：

分析與解（1）利用平角的性質等量代換，可得 ∠BDF=∠BCE ，再利用同位角相等兩直線平行

即可證明；（2）求 ∠CDF 的度數，可結合轉化思想，利用兩直線平行、角平分線的定義，將其轉化為與之關聯的角度，通過求關聯角來完成求解.

已知CE// DF ，則 ∠CMF+∠DFM=180^° 0進一步可求出 ∠DFM=125^° ，把握其中的垂直條件，則有 ∠DFG=∠DFM-∠GFM=35^°. 再根據角平分線的定義可得 ∠DFE=2∠DFG=70^° ，利用平行線的性質可得 ∠CDF+∠DFE=180^° ，則∠CDF=110^°

解后評析利用轉化思想進行角度推導，本質上就是幾何特性關系的整合過程，構建幾何角之間的關聯，從而間接求解.過程中需要明確兩點：一是明確已知角、待求角和關聯角；二是注意幾何特性的轉化，即基于特性來構建幾何角的關聯.

2分類討論思想指導

2. 1 方法解讀

利用分類討論思想求解相交線與平行線問題，主要是對幾何問題中的情形分開討論.造成多情形的原因有很多，常見的為位置不確定，需要關注點在線上的位置，以及大小關系的不確定性.求解時需要明確討論標準，再分別繪制圖形進行討論.

2.2 解題指導

例2已知 ∠ABC ，畫一個角 ∠DEF ，使DE//AB， EF // BC ，且 DE 交 BC 于點 P ·

（1）我們發現 ∠ABC 與 ∠DEF 存在某種數量關系，如圖2所示，那么圖2中 ∠ABC 與 ∠DEF 有什么數量關系？請說明理由.

（2）若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少 15^° ，請求出這兩個角的度數.

分析與解（1）利用平行線的性質直接推理，已知 DE //AB， EF // BC ，則 ∠ABC=∠DPC 0∠DPC=∠DEF ，可得 ∠ABC=∠DEF ：

（2）結合分類討論思想來求解角度，分兩種情形：

① 若兩個角相等時，設一個角的度數為 x ，如圖3，則 x=2x-15^° ，可解得 x=15^° ，即兩個角均為 15^° ：

② 若兩個角互補時，設一個角的度數為 x ，如圖4，則 x+2x-15^°=180^° ，可解得 x=65^° ，即兩個角的度數分別為 65^° 和 115^°

解后評析利用分類討論思想求解相交線與平行線問題中的角度問題，需要討論其中不確定點的位置，可從以下兩個視角切入：一是點在線上、幾何中的位置討論；二是點與線、線與線相對位置關系的討論.

3建模思想指導

3.1 方法解讀

用建模思想求解相交線與平行線問題，即根據實際情形來構建幾何模型，該類問題的常見模型有三種：鉛筆頭模型、豬蹄模型、鋸齒模型.建模解析時有兩種思路：一是結合實物直接建模，需要將其中的特征關系用幾何元素來呈現；二是結合實物理解模型，則只需要根據題設條件來提取幾何特性即可.

3.2 解題指導

例3滑雪是一項受人們喜歡的運動.正確的滑雪姿勢很重要，需要上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態，如圖5所示，

AB/ CD ，如果人的小腿 CD 與地面的夾角∠CDE=60^° ，你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF 的度數嗎？

分析與解結合建模思想來求解，理解要求，提取幾何特性，構建鋸齒模型，利用模型結論推導.

過點 B 作BM// AF ，過點 c 作CN// ED ，按 照圖5進行角度標注.

分析可知 ∠BAF=∠3

∠CDE=∠4=60^°.

而 AF//DE ，則 BM//CN ，

可推知 ∠1=∠2

又知 AB//CD ，則 ∠ABC=∠BCD ，

可得 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2 ，

所以 ∠3=∠4 ，

則 ∠BAF=∠CDE=60^° ，即 ∠BAF ，

解后評析用建模思想求解相交線與平行線問題.上述解題用了鋸齒模型，利用模型的拆解策略來作輔助線，從平行關系視角開展角度推導.教學指導中，注意引導學生明晰常見的模型，總結模型特征和結論.

4結語

總之，利用數學思想求解相交線與平行線問題，涉及的思想方法有很多.教學探究中建議參考上述過程梳理思想方法的應用過程，針對性講解構建策略；解題分析中注意過程拆解，評析方法應用，梳理細節，幫助學生積累解題經驗.