操作探究悟分類逐層深入求發(fā)展

初中數(shù)學(xué)幾何的學(xué)習(xí)包含圖形的性質(zhì)、圖形的變化和圖形與坐標(biāo)三條主線，圖形的變化分為平移、對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)，中考常以圖形的變化為中心組織安排相關(guān)的內(nèi)容.鑒于此，筆者在蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)》中“平面圖形的初步認(rèn)識(shí)”常規(guī)復(fù)習(xí)課教學(xué)基礎(chǔ)上，以“平行線與三角形背景下的折疊問(wèn)題”為微專題開展教學(xué)，效果良好.

1課前思考

1.1教材和學(xué)情明晰

在蘇科版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)》的幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)圖形的變化，但是通過(guò)新課中的操作和探究，能夠初步從動(dòng)態(tài)角度來(lái)觀察和探索幾何圖形.然而，在面對(duì)綜合性較強(qiáng)的幾何問(wèn)題時(shí)，他們普遍存在思考不夠全面、有思路但缺乏方法的情況.折疊問(wèn)題本質(zhì)上是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一些相等的邊與角.在學(xué)習(xí)平行線時(shí)，學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)軸對(duì)稱，就出現(xiàn)了相關(guān)問(wèn)題.因此，本專題讓學(xué)生先通過(guò)操作實(shí)踐發(fā)現(xiàn)翻折前后對(duì)應(yīng)的角是相等的，然后利用這一發(fā)現(xiàn)結(jié)合學(xué)過(guò)的三角形、平行線等相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生操作探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、有條理地分類、深度剖析題目的能力，提高學(xué)生的分類討論意識(shí)和歸納能力.[1]

1.2教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的具體教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）發(fā)現(xiàn)翻折前后的對(duì)應(yīng)角相等，綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等于 180^° 等知識(shí)解決求角問(wèn)題.

（2）學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化、分類討論、從特殊到一般的分析方法研究幾何問(wèn)題.

（3）提高歸納、反思的意識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀、空間觀念、模型思想和有條理的表達(dá)能力.

2教學(xué)過(guò)程

2.1知識(shí)準(zhǔn)備，發(fā)現(xiàn)特征

問(wèn)題1如圖1所示，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF 折疊，折疊后 D^′E 與 BF 相交于點(diǎn) P ，若∠BPE=120^° ，則 ∠PEF= ， ∠PFE=

師（利用幾何畫板展示翻折動(dòng)畫）：仔細(xì)觀察，翻折前后的圖形有什么樣的關(guān)系？

生1：翻折前后對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度不變，對(duì)應(yīng)角度大小不變.

師生一起總結(jié)翻折前后對(duì)應(yīng)角相等這一特點(diǎn)并板書“折疊得等角”.

師：題目中所給的條件有什么用處？

生2：長(zhǎng)方形為我們提供了平行線，可以根據(jù)平行線的性質(zhì)求出一些角.

師：可以求出哪些角，請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)這個(gè)題目怎么解決？

學(xué)生回答后，教師總結(jié)并板書運(yùn)用到的知識(shí)點(diǎn)：① 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； ② 三角形內(nèi)角和為180^° .接著提問(wèn)\"兩直線平行還能得到什么”，并將“同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)\"補(bǔ)充在黑板上.

變式如圖1所示，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿 EF 折疊，折疊后 D^′E 與 BF 相交于點(diǎn) P ，若 ∠PFC^′= 60^° ，則 ∠DEF=

生：因?yàn)榉郏?∠EFC^′=∠EFC 又因?yàn)椤螮FC^′+∠EFC=180^°+∠PFC^′=180^°+60^° ，可以求出 ∠EFC=120^° .根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以求出 ∠DEF=60^°

設(shè)計(jì)意圖幾何直觀是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的重要手段，是進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象思維的基礎(chǔ).筆者設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)是為了讓學(xué)生通過(guò)觀察動(dòng)畫直觀感受到翻折前后的對(duì)應(yīng)角相等，同時(shí)根據(jù)已知條件，觀察翻折、平行、三角形幾類基本圖形組成的圖形，推出最終要求的角度.學(xué)生在這一環(huán)節(jié)中通過(guò)教師的引導(dǎo)復(fù)習(xí)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，梳理了解答過(guò)程和解決問(wèn)題的思路.問(wèn)題1和變式是探討翻折后求角的方法，初步建立起“翻折等角模型”，為后續(xù)問(wèn)題2的深入探究做好鋪墊.

2.2建立模型，解決問(wèn)題

如圖2所示，在三角形紙片 ABC 中的 AC，BC 邊上分別取點(diǎn) D，E ，將 ∠C 沿 DE 折疊，點(diǎn) c 落在點(diǎn)C^′ 的位置.點(diǎn) C^′ 會(huì)落在哪里？你能進(jìn)行分類嗎？

生1：點(diǎn) C^′ 可能落在三角形的內(nèi)部或者外部.

生2：點(diǎn) C^′ 也可能落在三角形的邊上.

師：請(qǐng)同學(xué)們分別折出這三種情況，接下來(lái)我們研究這三種情況下該如何求角的度數(shù).

問(wèn)題2在三角形紙片 ABC 中的 AC，BC 邊上分別取點(diǎn) D，E ，將 ∠C 沿 DE 折疊，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C^′ 的位置.

（1）如圖3所示，當(dāng)點(diǎn) C^′ 落在邊 BC 上時(shí)，若 ∠ADC^′=60^° ，則

（2）如圖4所示，當(dāng)點(diǎn) C^′ 落在 ΔABC 內(nèi)部時(shí)，且∠ADC^′=20^° 0 ∠BEC^′=40^° ，求 ∠C 的度數(shù).

（3）如圖5所示，當(dāng)點(diǎn) C^′ 落在 ΔABC 外部時(shí)，若 設(shè) ∠ADC^′ 的度數(shù)為 x ∠BEC^′ 的度數(shù)為 ，請(qǐng)求出 ∠C 與 x，y 之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）方法一：先求出 ∠ADC^′ 的鄰補(bǔ)角 ∠CDC^′ 0再用“翻折得等角\"求出 ∠CDE 和 ∠DEC ，最后利用三角形內(nèi)角和求出 ∠C

方法二：先利用 ∠ADC^′ 是 ΔCDC^′ 的外角得到∠ADC^′=∠C^′+∠C ，再利用“翻折得等角”求出 ∠C ·

（2）同第（1）問(wèn)的方法一，先求出 ∠CDE 和∠DEC ，再利用三角形內(nèi)角和求出 ∠C

（3）方法一：先求 ∠CED ，方法和前面一樣；再求∠CDE ，利用 ∠C^′DE+∠CDE=180^°+∠ADC^′ 和“翻折得等角”；最后由三角形內(nèi)角和求出 ∠C 業(yè)

方法二：記 AC 與 C^′E 的交點(diǎn)為點(diǎn) F ，先利用∠BEF 是 ΔCEF 的外角得到 ∠BEF=∠CFE+ ∠C ，再由 ∠CFE 是 ΔFDC^′ 的外角得到 ∠CFE= ∠ADC^′+∠C^′ .又因?yàn)榉鄣?∠C=∠C^′ ，所以2∠C=y-x

【設(shè)計(jì)意圖】分類問(wèn)題的關(guān)鍵是找到“動(dòng)”的元素和\"靜”的元素，顯然這里點(diǎn) C^′ 的位置是動(dòng)態(tài)變化的，因此可依據(jù)點(diǎn) C^′ 與 ∠C 的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.本環(huán)節(jié)以操作活動(dòng)為載體，以基礎(chǔ)知識(shí)為依托，以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，從特殊到一般、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜逐步推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生深人思考，實(shí)現(xiàn)思維的縱深發(fā)展.在問(wèn)題解決過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)位置變化時(shí)保持不變的角之間的數(shù)量關(guān)系，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生從一般到特殊，運(yùn)用已建立的模型解決特定情境下的角度求解問(wèn)題，如當(dāng)翻折點(diǎn)位于三角形角平分線交點(diǎn)時(shí)的情形.

2.3深度思考，綜合運(yùn)用

問(wèn)題3如圖6所示，在三角形紙片ABC中，∠B=70^° ∠C=30^° ，點(diǎn) D，E 分別在 AC，BC 邊上，將 ∠C 沿 DE 折疊，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C^′ 的位置.若 C^′D //BC ，則 ∠C^′ED=

學(xué)生先依據(jù)條件重新畫圖，然后利用平行線的性質(zhì)即可求出 ∠C^′EB ，最后利用翻折得等角求出∠C^′ED

變式1在三角形紙片 ABC 中， ∠B=70^° 0∠C=30^° ，點(diǎn) D，E 分別在 AC，BC 邊上，將 ∠C 沿DE 折疊，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C^′ 的位置.若 C^′D 與 ΔABC 的其中一邊平行，求 ∠C^′ED 的度數(shù).

師：這個(gè)變式與問(wèn)題3有什么區(qū)別？

生1：兩條平行線中一條是確定的，另一條是不確定的，所以需要分類討論，

師：分哪幾類？為什么？

生2：因?yàn)?ΔABC 有三邊，所以應(yīng)分為三類討論，但因?yàn)辄c(diǎn) D 在邊 AC 上，即 C^′D 與 AC 是相交的，所以 C^′D 與 AC 不可能平行，這種情況舍去.最終問(wèn)題應(yīng)分為 C^′D//BC 和 C^′D//AB 兩類進(jìn)行討論.

師：請(qǐng)你動(dòng)手操作折疊出這兩種情況并展示，

學(xué)生交流發(fā)現(xiàn) C^′D//AB 要分為 C^′ 在邊 AC 上方或是在 BC 下方兩種情況，繼續(xù)完善分類，操作找到符合情況的圖形，畫圖并計(jì)算角度，上臺(tái)講解求角過(guò)程與結(jié)果.

變式2在三角形紙片 ABC 中， ∠B=70^° .∠C=30^° ，點(diǎn) D，E 分別在 AC，BC 邊上，將 ∠C 沿DE 折疊，點(diǎn) C 落在點(diǎn) C^′ 的位置.若 ΔC^′DE 的一邊與 ΔABC 的其中一邊平行，求 ∠C^′ED 的度數(shù).

師：這一變式與變式1又有什么不同？

生3：兩條平行線都是不確定的，每個(gè)三角形有三邊，可以分為 3×3 ，即9類進(jìn)行討論.

師：會(huì)不會(huì)出現(xiàn)和變式1一樣的情況，確定平行線但是 C^′ 的位置仍然要分兩種情況討論呢？請(qǐng)同學(xué)們課后小組合作，找出所有符合條件的情況并進(jìn)行計(jì)算.

【設(shè)計(jì)意圖】從平行線的“兩定\"到“一定一動(dòng)”到“兩動(dòng)”，分類的情況越來(lái)越復(fù)雜，要考慮的情況越來(lái)越多.在探究過(guò)程中，學(xué)生容易遺漏 C^′D//AB 的兩種可能情形.通過(guò)動(dòng)手操作和合作探究完善了討論，學(xué)生不僅完善了分類討論，還能直觀地觀察到當(dāng)

C^′D//AB 時(shí)，點(diǎn) C^′ 在不同位置所產(chǎn)生的兩種幾何情形.在問(wèn)題探究過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)逐步深入的分析，把握了此類問(wèn)題的本質(zhì)特征，分類討論思想得到深化，數(shù)學(xué)思維能力獲得顯著發(fā)展.

2.4總結(jié)建構(gòu)，提高認(rèn)識(shí)

從知識(shí)技能、思想方法、核心素養(yǎng)三個(gè)方面交流一下這節(jié)課的收獲.

【設(shè)計(jì)意圖】小結(jié)時(shí)應(yīng)注意回顧整節(jié)課的探究思路，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出從特殊到一般，再?gòu)囊话愕教厥獾乃枷胍约胺诸愃枷?

3教學(xué)反思

3.1把握教材基本知識(shí)，搭建多維探究平臺(tái)

雖然學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的相關(guān)定義與性質(zhì)，但是在教學(xué)過(guò)程中可以讓學(xué)生通過(guò)觀看動(dòng)畫和動(dòng)手操作直觀感受翻折前后的對(duì)應(yīng)角相等.解決問(wèn)題時(shí)仍然主要運(yùn)用平行線和三角形等有關(guān)知識(shí)，圍繞著角的大小與數(shù)量關(guān)系展開思考.學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、大膽質(zhì)疑、動(dòng)手操作、展示交流、討論合作等多種方式探究問(wèn)題，從而找到解決問(wèn)題的方法.從學(xué)科育人角度來(lái)講，這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)是具體的、可操作的，使得學(xué)生能夠真正參與、主動(dòng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，體會(huì)到探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣

3.2凸顯數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)計(jì)思維深入路徑

本專題以長(zhǎng)方形和三角形的折疊變換為研究對(duì)象，圍繞折疊過(guò)程中產(chǎn)生的分類問(wèn)題展開設(shè)計(jì)，重點(diǎn)探究不同情形下相關(guān)角之間的數(shù)量關(guān)系.問(wèn)題的設(shè)計(jì)是由易到難、由淺到深、層層深入的.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠持續(xù)地提煉、整合和內(nèi)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步形成優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并將這些經(jīng)驗(yàn)遷移至新的問(wèn)題情境中進(jìn)行檢驗(yàn)和應(yīng)用.解題過(guò)程中會(huì)運(yùn)用從特殊到一般、從一般到特殊和分類思想，基于這種思想，學(xué)生把一個(gè)個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的簡(jiǎn)單問(wèn)題.在最后一個(gè)問(wèn)題的探究中，由于涉及的情形較為豐富、情況相對(duì)復(fù)雜，學(xué)生必須通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)且有序的實(shí)踐和思考，才能夠找全所有情況.在交流與展示的過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力得到有效訓(xùn)練；通過(guò)深入的討論與思考，他們不僅內(nèi)化前期積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，思維也獲得顯著提升，

參考文獻(xiàn)

[1中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.