現(xiàn)象·想象·抽象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課程標(biāo)準(zhǔn)\"提出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.[核心素養(yǎng)是黨教育方針的具體化，是連接宏觀教育理念、培養(yǎng)目標(biāo)與具體教育教學(xué)實(shí)踐的橋梁.如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)，使核心素養(yǎng)落地生根顯得更為實(shí)際和重要.筆者從一堂高三數(shù)學(xué)課的課堂實(shí)錄出發(fā)，闡述以數(shù)學(xué)現(xiàn)象為切入點(diǎn)，在教學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)觀察、積極思考、嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的過(guò)程.

1真實(shí)的現(xiàn)象啟動(dòng)真實(shí)的思考

現(xiàn)象是對(duì)真實(shí)世界的反映.[2面對(duì)現(xiàn)象，學(xué)生看到的可能僅僅是自己想關(guān)注的內(nèi)容，有些現(xiàn)象令人回味，有些則引人深思.而真實(shí)的數(shù)據(jù)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治觯拍荏w現(xiàn)科學(xué)研究的客觀性.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中多次提到“情境”，而且?guī)缀踉谒械摹扒榫砛"前都加了“真實(shí)\"兩個(gè)字，突出了對(duì)原始現(xiàn)象的感知，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有價(jià)值、有意義的思考.

不管在課堂上還是課后，面對(duì)現(xiàn)象時(shí)，學(xué)生應(yīng)該拋開(kāi)其他屬性，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象，這樣就能發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，能最大程度激發(fā)思維、增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力，并讓研究更有方向性.因?yàn)橹挥薪?jīng)過(guò)學(xué)生主動(dòng)思考而獲得的知識(shí)，才能真正內(nèi)化為他們自己的知識(shí).教學(xué)的一個(gè)中心任務(wù)是產(chǎn)生新知識(shí)、新技能以及概念性框架.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生需要把知識(shí)變成自己的思想、見(jiàn)解、學(xué)識(shí)，并呈現(xiàn)出來(lái).

教學(xué)片段1.

師（拿出一個(gè)魔方）：這是什么？

生：魔方.

師：魔方有哪些基本屬性和特征？

學(xué)生思考.

生1：從結(jié)構(gòu)上看，魔方整體是一個(gè)大正方體，拆解后可以發(fā)現(xiàn)它主要由27個(gè)大小相同的小正方體組成.

生2：從顏色上看，初始狀態(tài)的魔方每個(gè)面均為同一種顏色，6個(gè)面就有6種不同的顏色.

生3：從操作上看，魔方可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，且每次旋轉(zhuǎn)都以一層（9個(gè)小正方體）為單位進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，其解法遵循特定的公式或者一般規(guī)律，

師：很好，你們從中發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)元素？這些元素蘊(yùn)含怎樣的數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生思考.

生：有與立體幾何、排列組合、概率等相結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)，有數(shù)形結(jié)合、逆向思維等基本數(shù)學(xué)思想方法.

評(píng)價(jià)：對(duì)于\"這是什么\"這一問(wèn)題，很明顯學(xué)生的回答都會(huì)是“魔方”，看似多此一舉的對(duì)話，卻第一時(shí)間把大家的注意力都拉到了這個(gè)常見(jiàn)的魔方上.隨后提出一個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生一起探討魔方的基本屬性和特征.筆者認(rèn)為課堂上第一次師生間的交流，要盡可能讓所有學(xué)生都能很快地進(jìn)入角色，因?yàn)榛钴S的思維需要輕松自由的心理狀態(tài)，和諧的氛圍需要師生共同去創(chuàng)造.同時(shí)，教師的對(duì)話設(shè)置是順其自然的，是層層遞進(jìn)的，既突出了數(shù)學(xué)抽象的必要性，又緊密?chē)@本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和目標(biāo)展開(kāi).這些問(wèn)題涉及學(xué)生的直覺(jué)、對(duì)魔方整體的觀察和深層次思考，既包括靜態(tài)的形狀、結(jié)構(gòu)、顏色等，也包括動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)變換、隨機(jī)事件及其可能性等特征.這為接下來(lái)進(jìn)一步提出和討論問(wèn)題埋下伏筆.

2自由的想象觸動(dòng)自由的靈魂

李鎮(zhèn)西曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“教育，就是讓人的心靈自由自在地飛翔.”在課堂上，一個(gè)魔方的呈現(xiàn)以及開(kāi)放性的提問(wèn)，無(wú)疑給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自由的空間.學(xué)生可以憑借已有的知識(shí)技能及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，去形成屬于自己的專(zhuān)屬理解，從而發(fā)揮主觀能動(dòng)性，提升分析問(wèn)題的能力，培養(yǎng)和強(qiáng)化高階思維.

正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)：“想象力比知識(shí)更重要.”自由的想象是建立在教師把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生探索和表達(dá)，形成屬于自己的知識(shí)認(rèn)同，從而構(gòu)建更為完備的知識(shí)體系，而不是“知識(shí)回顧一機(jī)械刷題一方法總結(jié)\"的固定模式，更不是“類(lèi)型一、類(lèi)型二、類(lèi)型三…\"的簡(jiǎn)單羅列.

教學(xué)片段2.

師：確實(shí)，魔方蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素很多.那大家是否可以依托魔方，嘗試編制一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題？

學(xué)生思考、討論、實(shí)際操作.

生1：魔方本身可以看成一個(gè)正方體，所以我認(rèn)為可以建立點(diǎn)、線、面的空間位置關(guān)系模型或者度量長(zhǎng)度的問(wèn)題模型.

題1對(duì)于棱長(zhǎng)為 6cm 的魔方，兩個(gè)頂點(diǎn)之間的直線距離有多長(zhǎng)？哪兩個(gè)頂點(diǎn)之間的直線距離最長(zhǎng)？

生2：直線距離在實(shí)際中運(yùn)用不大.如果只能沿著表面走，會(huì)是什么結(jié)果呢？

題2對(duì)于棱長(zhǎng)為 6cm 的魔方，從一個(gè)頂點(diǎn)沿著魔方的表面到最遠(yuǎn)的另一個(gè)頂點(diǎn)經(jīng)過(guò)的最短距離是多少？

生3：如果是邊長(zhǎng)各不相同的長(zhǎng)方體，最短距離會(huì)有什么變化？

題3如圖1所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3cm，4cm，5cm ，一只小螞蟻從頂點(diǎn) A 沿長(zhǎng)方體的表面爬向頂點(diǎn) B ，試計(jì)算小螞蟻爬行的最短路線.

評(píng)價(jià)：學(xué)生自己編的問(wèn)題，雖然看似沒(méi)有教師“專(zhuān)業(yè)”，但是卻比解決教師提出的問(wèn)題更真實(shí).更有效，更能體現(xiàn)出學(xué)生的主動(dòng)性和思考過(guò)程，而且教師可以通過(guò)學(xué)生提出的問(wèn)題及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考的方向是什么、思考的內(nèi)容是什么、思考的方式和依據(jù)是什么，也能從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在認(rèn)知和思考過(guò)程中的優(yōu)點(diǎn)與不足.

這個(gè)經(jīng)典的“小螞蟻找食物”的問(wèn)題可以從一個(gè)常見(jiàn)的魔方演變過(guò)來(lái)，這里的問(wèn)題提出并不需要太多的邏輯推理，主要是依靠自身的經(jīng)驗(yàn)和判斷，結(jié)合想象、類(lèi)比進(jìn)行發(fā)揮和創(chuàng)造

教學(xué)片段3.

生4：我認(rèn)為可以建立與幾何體形狀或計(jì)算相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題模型.

問(wèn)題模型用一個(gè)平面截棱長(zhǎng)為 6cm 的魔方，所得截面的形狀有哪些情況？周長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少？

生5：我可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變式.

變式1已知魔方的棱長(zhǎng)為 6cm ，現(xiàn)把魔方拆解成27個(gè)小正方體，給每一個(gè)小正方體涂顏色，比起給整個(gè)魔方涂顏色會(huì)多用多少面積的顏料量（每個(gè)面的顏料厚度相同）？

生6：我也可以進(jìn)一步變式.

變式2對(duì)27個(gè)小正方體進(jìn)行擺放或堆疊，形成不同形狀的平行六面體.計(jì)算所形成的不同幾何體的體積之差的最大值.

評(píng)價(jià)：在上述問(wèn)題中，都存在著變化規(guī)律、最大（小）值等函數(shù)問(wèn)題.特別地，在后面補(bǔ)充的2個(gè)模型存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：已知體積是固定值，表面積則有最小值（用料最省）；已知表面積是固定值，體積則有最大值（最大容量），這也可以聯(lián)想到在基本不等式中有類(lèi)似的結(jié)論，即對(duì)于兩個(gè)正數(shù)而言，和為定值，則積有最大值；積為定值，則和有最小值.最優(yōu)解問(wèn)題在數(shù)學(xué)建模中是相當(dāng)?shù)湫偷膯?wèn)題.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的最終目的就是通過(guò)數(shù)學(xué)思維和方法，獲得針對(duì)這個(gè)問(wèn)題的最好解決方案，從而應(yīng)用在實(shí)際生活中.

3精準(zhǔn)的抽象帶動(dòng)精準(zhǔn)的邏輯

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程.抽象的過(guò)程是一種剝離，更是一種重塑.盡管過(guò)程是抽象的，但是最后也要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密且精準(zhǔn)的邏輯表達(dá)，是一種從無(wú)形到有形的輸出過(guò)程.數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性相輔相成.邏輯推理和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)作為數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保障，不僅是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方法，更是數(shù)學(xué)活動(dòng)中人們進(jìn)行學(xué)術(shù)交流所必備的基本思維品質(zhì)，

有抽象才會(huì)有邏輯，抽象是先于邏輯的.精確的數(shù)學(xué)抽象以及規(guī)范化表達(dá)、模式化處理和系統(tǒng)化建構(gòu)，本質(zhì)上都源于經(jīng)驗(yàn)積累和直覺(jué)思維.在觀察現(xiàn)象后，從數(shù)學(xué)維度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解釋問(wèn)題，進(jìn)而進(jìn)行表述論證的過(guò)程，正是邏輯推理素養(yǎng)的重要體現(xiàn).這一過(guò)程不僅有助于理解數(shù)學(xué)各版塊間、各知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，更能建構(gòu)系統(tǒng)性的框架，從而形成基于證據(jù)、條理清晰且符合邏輯的思維品質(zhì).

教學(xué)片段4.

師：很好，還可以從其他數(shù)學(xué)元素的角度來(lái)研究魔方嗎？

生1：從隨機(jī)事件概率的角度看，我認(rèn)為可以建立有關(guān)涂色概率的數(shù)學(xué)問(wèn)題模型，

問(wèn)題模型把魔方拆解成27個(gè)小正方體，從中 隨機(jī)抽取一個(gè)，求抽到涂了3面顏色的小正方體的 概率.

生2：我可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變式.

變式1把魔方拆解成27個(gè)小正方體，從中隨 機(jī)抽取2個(gè)，求抽到的2個(gè)小正方體共涂了3面顏色 的概率.

生3：我也可以進(jìn)一步變式.

變式2給一個(gè)魔方的一個(gè)面涂色（9宮格），現(xiàn)在有紅、黃、藍(lán)三種顏料，要求相鄰的區(qū)域不能同色，請(qǐng)問(wèn)有多少種方法？

生4：我還可以結(jié)合概率分布，進(jìn)行更進(jìn)一步的變式.

變式3一個(gè)袋中有6個(gè)大小質(zhì)地都相同的小正方體，其中涂色的有2個(gè)，未涂色的有4個(gè).

（1）有放回地取小正方體，每次隨機(jī)取一個(gè)，求連續(xù)取兩次都是涂色小正方體的概率.

（2）若無(wú)放回呢，概率又會(huì)如何變化？

評(píng)價(jià)：在上述過(guò)程中，首先對(duì)魔方的拆解需要一定的空間想象能力，其次對(duì)拆分成的27個(gè)小正方體的顏色也需要很強(qiáng)的想象力，有幾個(gè)是涂色的，有幾個(gè)是涂2面或者3面顏色的.實(shí)際上，在命制題目的過(guò)程中，學(xué)生的“頭腦風(fēng)暴\"達(dá)到了一定的高潮.首先，能命制此類(lèi)問(wèn)題，應(yīng)該需要對(duì)概率有一個(gè)“大單元\"整體架構(gòu)的認(rèn)識(shí)；其次，對(duì)于不確定的問(wèn)題或者是概率模型，必須是身臨其境，并對(duì)結(jié)果已經(jīng)了如指掌才能游刃有余，因此體驗(yàn)和實(shí)踐也是學(xué)生進(jìn)發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的重要基礎(chǔ)；最后，“相鄰區(qū)域不能同色”“有放回\"“無(wú)放回\"等語(yǔ)言表達(dá)，凸顯了學(xué)生對(duì)重難點(diǎn)和易混淆知識(shí)點(diǎn)的深刻理解和把握，是相當(dāng)精準(zhǔn)的表現(xiàn)

教學(xué)片段5.

師：很好，其他同學(xué)可以說(shuō)說(shuō)你的想法嗎？

生5：魔方可以順時(shí)針轉(zhuǎn)，也可以逆時(shí)針轉(zhuǎn)，我覺(jué)得和公式的逆運(yùn)用有點(diǎn)類(lèi)似，如在三角恒等變換中的輔助角公式等.

題1求 的單調(diào)區(qū)間.

生6：因?yàn)槟Х皆诓僮鬟^(guò)程中有一定的周期性，它和三角函數(shù)類(lèi)似，可以與圖象的平移問(wèn)題進(jìn)行結(jié)合.

題2要得到 的圖象，可以將y=cos2x 的圖象至少向（填“左”“右”至少移動(dòng)個(gè)單位.

生7：考慮到逆向思維模式，從方法層面來(lái)講，我還想到了在計(jì)數(shù)原理中采用排除法解決問(wèn)題的題目類(lèi)型.

題7有 A，B，C 三個(gè)不同的球，放入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子里，求1號(hào)盒子有球的所有情況的種數(shù).

評(píng)價(jià)：從逆向思維（操作的可逆性）的維度來(lái)看，這些題目和魔方?jīng)]有直接的關(guān)系.學(xué)生通過(guò)邏輯上的聯(lián)系，突破了表象一“魔方\"的限制，已經(jīng)由對(duì)魔方的認(rèn)識(shí)、理解轉(zhuǎn)移到了三角恒等變換、周期問(wèn)題乃至對(duì)立事件等知識(shí)架構(gòu)，具有很強(qiáng)大的延伸性和拓展性，這需要強(qiáng)大的直覺(jué)思維和想象能力.在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題前，學(xué)生已經(jīng)意識(shí)到操作的可逆性會(huì)給問(wèn)題帶來(lái)兩種不同的解決方案.這時(shí)抽象不再是一種表征，而是一種方法，或是一種處理問(wèn)題的方式.學(xué)生在腦中重新構(gòu)建了一個(gè)系統(tǒng)框架.在這個(gè)框架下，主導(dǎo)思想就是逆向思維，它將現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備中有類(lèi)似思想的問(wèn)題拋出來(lái)，讓學(xué)生一起交流和探討，展示學(xué)生生成新知識(shí)的過(guò)程.

4教學(xué)反思

針對(duì)以上課堂教學(xué)實(shí)錄，筆者認(rèn)為通過(guò)現(xiàn)象激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生產(chǎn)生合作交流和思維碰撞，從而生成新知識(shí)的課堂教學(xué)模式，有以下幾點(diǎn)值得深人思考.

一是學(xué)生的主動(dòng)性得到充分的體現(xiàn).課堂上應(yīng)強(qiáng)調(diào)和落實(shí)學(xué)生直接參與問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和提出，而不是只參與分析和解決問(wèn)題，這需要教師啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)討論、合作交流.特別是學(xué)生自己參與設(shè)計(jì)的題目，是對(duì)自己基本知識(shí)的一個(gè)考查，更是一個(gè)考驗(yàn)，同時(shí)其他學(xué)生也很樂(lè)于研究同學(xué)出的題目，這樣課堂的氛圍和學(xué)生的激情會(huì)得到更加有效的體現(xiàn)，

二是學(xué)生的思維能力得到充分解放.課堂教學(xué)當(dāng)充分尊重學(xué)生的想象自由，鼓勵(lì)思維發(fā)散，通過(guò)觀點(diǎn)碰撞激發(fā)創(chuàng)新火花，進(jìn)而引發(fā)認(rèn)知沖突，最終推動(dòng)實(shí)踐創(chuàng)新能力的培養(yǎng).在面對(duì)現(xiàn)象時(shí)，教師應(yīng)允許學(xué)生大膽地說(shuō)，耐心地聽(tīng)學(xué)生解釋?zhuān)辉谔幚韱?wèn)題時(shí)，不能固化模板，不能思維定式，也不能過(guò)分引導(dǎo)學(xué)生，

三是學(xué)生的表現(xiàn)力得到充分鍛煉.課堂上學(xué)生回答問(wèn)題一般有兩種情況：一種是自己想到了馬上站起來(lái)發(fā)言，另一種是經(jīng)過(guò)小組合作討論之后作為推薦代表進(jìn)行發(fā)言.不管是哪一種，都考驗(yàn)了學(xué)生的綜合能力.學(xué)生在表達(dá)時(shí)，他們的語(yǔ)言組織能力和表達(dá)能力得到了很好的培養(yǎng)和鍛煉

參考文獻(xiàn)

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