現象·想象·抽象

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課程標準\"提出，培養學生的數學學科核心素養，需要引導學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維分析現實世界，用數學的語言表達現實世界.[核心素養是黨教育方針的具體化，是連接宏觀教育理念、培養目標與具體教育教學實踐的橋梁.如何在數學課堂教學中滲透核心素養，使核心素養落地生根顯得更為實際和重要.筆者從一堂高三數學課的課堂實錄出發，闡述以數學現象為切入點，在教學活動中引導學生進行科學觀察、積極思考、嚴謹表達的過程.

1真實的現象啟動真實的思考

現象是對真實世界的反映.[2面對現象，學生看到的可能僅僅是自己想關注的內容，有些現象令人回味，有些則引人深思.而真實的數據和嚴謹的分析，才能體現科學研究的客觀性.《義務教育數學課程標準（2022年版）》中多次提到“情境”，而且幾乎在所有的“情境\"前都加了“真實\"兩個字，突出了對原始現象的感知，引導學生進行有價值、有意義的思考.

不管在課堂上還是課后，面對現象時，學生應該拋開其他屬性，用數學的眼光觀察現象，這樣就能發現其中蘊含的數學問題.學生自己發現的問題，能最大程度激發思維、增強學習動力，并讓研究更有方向性.因為只有經過學生主動思考而獲得的知識，才能真正內化為他們自己的知識.教學的一個中心任務是產生新知識、新技能以及概念性框架.在學習過程中，學生需要把知識變成自己的思想、見解、學識，并呈現出來.

教學片段1.

師（拿出一個魔方）：這是什么？

生：魔方.

師：魔方有哪些基本屬性和特征？

學生思考.

生1：從結構上看，魔方整體是一個大正方體，拆解后可以發現它主要由27個大小相同的小正方體組成.

生2：從顏色上看，初始狀態的魔方每個面均為同一種顏色，6個面就有6種不同的顏色.

生3：從操作上看，魔方可以進行旋轉操作，且每次旋轉都以一層（9個小正方體）為單位進行轉動，其解法遵循特定的公式或者一般規律，

師：很好，你們從中發現了哪些數學元素？這些元素蘊含怎樣的數學思想？

學生思考.

生：有與立體幾何、排列組合、概率等相結合的知識點，有數形結合、逆向思維等基本數學思想方法.

評價：對于\"這是什么\"這一問題，很明顯學生的回答都會是“魔方”，看似多此一舉的對話，卻第一時間把大家的注意力都拉到了這個常見的魔方上.隨后提出一個問題，引導學生一起探討魔方的基本屬性和特征.筆者認為課堂上第一次師生間的交流，要盡可能讓所有學生都能很快地進入角色，因為活躍的思維需要輕松自由的心理狀態，和諧的氛圍需要師生共同去創造.同時，教師的對話設置是順其自然的，是層層遞進的，既突出了數學抽象的必要性，又緊密圍繞本節課的教學重點和目標展開.這些問題涉及學生的直覺、對魔方整體的觀察和深層次思考，既包括靜態的形狀、結構、顏色等，也包括動態的旋轉變換、隨機事件及其可能性等特征.這為接下來進一步提出和討論問題埋下伏筆.

2自由的想象觸動自由的靈魂

李鎮西曾經說過：“教育，就是讓人的心靈自由自在地飛翔.”在課堂上，一個魔方的呈現以及開放性的提問，無疑給學生創設了自由的空間.學生可以憑借已有的知識技能及活動經驗，去形成屬于自己的專屬理解，從而發揮主觀能動性，提升分析問題的能力，培養和強化高階思維.

正如愛因斯坦所說：“想象力比知識更重要.”自由的想象是建立在教師把主動權交給學生的基礎上，讓學生探索和表達，形成屬于自己的知識認同，從而構建更為完備的知識體系，而不是“知識回顧一機械刷題一方法總結\"的固定模式，更不是“類型一、類型二、類型三…\"的簡單羅列.

教學片段2.

師：確實，魔方蘊含的數學元素很多.那大家是否可以依托魔方，嘗試編制一個簡單的數學題？

學生思考、討論、實際操作.

生1：魔方本身可以看成一個正方體，所以我認為可以建立點、線、面的空間位置關系模型或者度量長度的問題模型.

題1對于棱長為 6cm 的魔方，兩個頂點之間的直線距離有多長？哪兩個頂點之間的直線距離最長？

生2：直線距離在實際中運用不大.如果只能沿著表面走，會是什么結果呢？

題2對于棱長為 6cm 的魔方，從一個頂點沿著魔方的表面到最遠的另一個頂點經過的最短距離是多少？

生3：如果是邊長各不相同的長方體，最短距離會有什么變化？

題3如圖1所示，長方體的長、寬、高分別是3cm，4cm，5cm ，一只小螞蟻從頂點 A 沿長方體的表面爬向頂點 B ，試計算小螞蟻爬行的最短路線.

評價：學生自己編的問題，雖然看似沒有教師“專業”，但是卻比解決教師提出的問題更真實.更有效，更能體現出學生的主動性和思考過程，而且教師可以通過學生提出的問題及時發現學生思考的方向是什么、思考的內容是什么、思考的方式和依據是什么，也能從中發現學生在認知和思考過程中的優點與不足.

這個經典的“小螞蟻找食物”的問題可以從一個常見的魔方演變過來，這里的問題提出并不需要太多的邏輯推理，主要是依靠自身的經驗和判斷，結合想象、類比進行發揮和創造

教學片段3.

生4：我認為可以建立與幾何體形狀或計算相關的數學問題模型.

問題模型用一個平面截棱長為 6cm 的魔方，所得截面的形狀有哪些情況？周長最長是多少？

生5：我可以在此基礎上進行變式.

變式1已知魔方的棱長為 6cm ，現把魔方拆解成27個小正方體，給每一個小正方體涂顏色，比起給整個魔方涂顏色會多用多少面積的顏料量（每個面的顏料厚度相同）？

生6：我也可以進一步變式.

變式2對27個小正方體進行擺放或堆疊，形成不同形狀的平行六面體.計算所形成的不同幾何體的體積之差的最大值.

評價：在上述問題中，都存在著變化規律、最大（小）值等函數問題.特別地，在后面補充的2個模型存在以下對應關系：已知體積是固定值，表面積則有最小值（用料最省）；已知表面積是固定值，體積則有最大值（最大容量），這也可以聯想到在基本不等式中有類似的結論，即對于兩個正數而言，和為定值，則積有最大值；積為定值，則和有最小值.最優解問題在數學建模中是相當典型的問題.筆者認為數學建模的最終目的就是通過數學思維和方法，獲得針對這個問題的最好解決方案，從而應用在實際生活中.

3精準的抽象帶動精準的邏輯

數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.抽象的過程是一種剝離，更是一種重塑.盡管過程是抽象的，但是最后也要經過嚴密且精準的邏輯表達，是一種從無形到有形的輸出過程.數學的抽象性和嚴謹性相輔相成.邏輯推理和嚴謹表達作為數學嚴謹性的基本保障，不僅是獲得數學結論、構建數學體系的重要方法，更是數學活動中人們進行學術交流所必備的基本思維品質，

有抽象才會有邏輯，抽象是先于邏輯的.精確的數學抽象以及規范化表達、模式化處理和系統化建構，本質上都源于經驗積累和直覺思維.在觀察現象后，從數學維度發現問題、提出問題、解釋問題，進而進行表述論證的過程，正是邏輯推理素養的重要體現.這一過程不僅有助于理解數學各版塊間、各知識點間的聯系，更能建構系統性的框架，從而形成基于證據、條理清晰且符合邏輯的思維品質.

教學片段4.

師：很好，還可以從其他數學元素的角度來研究魔方嗎？

生1：從隨機事件概率的角度看，我認為可以建立有關涂色概率的數學問題模型，

問題模型把魔方拆解成27個小正方體，從中 隨機抽取一個，求抽到涂了3面顏色的小正方體的 概率.

生2：我可以在此基礎上進行變式.

變式1把魔方拆解成27個小正方體，從中隨 機抽取2個，求抽到的2個小正方體共涂了3面顏色 的概率.

生3：我也可以進一步變式.

變式2給一個魔方的一個面涂色（9宮格），現在有紅、黃、藍三種顏料，要求相鄰的區域不能同色，請問有多少種方法？

生4：我還可以結合概率分布，進行更進一步的變式.

變式3一個袋中有6個大小質地都相同的小正方體，其中涂色的有2個，未涂色的有4個.

（1）有放回地取小正方體，每次隨機取一個，求連續取兩次都是涂色小正方體的概率.

（2）若無放回呢，概率又會如何變化？

評價：在上述過程中，首先對魔方的拆解需要一定的空間想象能力，其次對拆分成的27個小正方體的顏色也需要很強的想象力，有幾個是涂色的，有幾個是涂2面或者3面顏色的.實際上，在命制題目的過程中，學生的“頭腦風暴\"達到了一定的高潮.首先，能命制此類問題，應該需要對概率有一個“大單元\"整體架構的認識；其次，對于不確定的問題或者是概率模型，必須是身臨其境，并對結果已經了如指掌才能游刃有余，因此體驗和實踐也是學生進發數學創造性思維的重要基礎；最后，“相鄰區域不能同色”“有放回\"“無放回\"等語言表達，凸顯了學生對重難點和易混淆知識點的深刻理解和把握，是相當精準的表現

教學片段5.

師：很好，其他同學可以說說你的想法嗎？

生5：魔方可以順時針轉，也可以逆時針轉，我覺得和公式的逆運用有點類似，如在三角恒等變換中的輔助角公式等.

題1求 的單調區間.

生6：因為魔方在操作過程中有一定的周期性，它和三角函數類似，可以與圖象的平移問題進行結合.

題2要得到 的圖象，可以將y=cos2x 的圖象至少向（填“左”“右”至少移動個單位.

生7：考慮到逆向思維模式，從方法層面來講，我還想到了在計數原理中采用排除法解決問題的題目類型.

題7有 A，B，C 三個不同的球，放入標號為1、2、3、4的四個盒子里，求1號盒子有球的所有情況的種數.

評價：從逆向思維（操作的可逆性）的維度來看，這些題目和魔方沒有直接的關系.學生通過邏輯上的聯系，突破了表象一“魔方\"的限制，已經由對魔方的認識、理解轉移到了三角恒等變換、周期問題乃至對立事件等知識架構，具有很強大的延伸性和拓展性，這需要強大的直覺思維和想象能力.在設計數學問題前，學生已經意識到操作的可逆性會給問題帶來兩種不同的解決方案.這時抽象不再是一種表征，而是一種方法，或是一種處理問題的方式.學生在腦中重新構建了一個系統框架.在這個框架下，主導思想就是逆向思維，它將現有知識儲備中有類似思想的問題拋出來，讓學生一起交流和探討，展示學生生成新知識的過程.

4教學反思

針對以上課堂教學實錄，筆者認為通過現象激發學生的學習熱情，讓學生產生合作交流和思維碰撞，從而生成新知識的課堂教學模式，有以下幾點值得深人思考.

一是學生的主動性得到充分的體現.課堂上應強調和落實學生直接參與問題的發現和提出，而不是只參與分析和解決問題，這需要教師啟發學生主動討論、合作交流.特別是學生自己參與設計的題目，是對自己基本知識的一個考查，更是一個考驗，同時其他學生也很樂于研究同學出的題目，這樣課堂的氛圍和學生的激情會得到更加有效的體現，

二是學生的思維能力得到充分解放.課堂教學當充分尊重學生的想象自由，鼓勵思維發散，通過觀點碰撞激發創新火花，進而引發認知沖突，最終推動實踐創新能力的培養.在面對現象時，教師應允許學生大膽地說，耐心地聽學生解釋；在處理問題時，不能固化模板，不能思維定式，也不能過分引導學生，

三是學生的表現力得到充分鍛煉.課堂上學生回答問題一般有兩種情況：一種是自己想到了馬上站起來發言，另一種是經過小組合作討論之后作為推薦代表進行發言.不管是哪一種，都考驗了學生的綜合能力.學生在表達時，他們的語言組織能力和表達能力得到了很好的培養和鍛煉

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]孫四周.把數學問題還原為數學現象—談“基于活動與體驗的例題教學\"[J].數學通報，2015（10）：41-45.