現(xiàn)象·想象·抽象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課程標(biāo)準(zhǔn)\"提出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.[核心素養(yǎng)是黨教育方針的具體化，是連接宏觀教育理念、培養(yǎng)目標(biāo)與具體教育教學(xué)實踐的橋梁.如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透核心素養(yǎng)，使核心素養(yǎng)落地生根顯得更為實際和重要.筆者從一堂高三數(shù)學(xué)課的課堂實錄出發(fā)，闡述以數(shù)學(xué)現(xiàn)象為切入點，在教學(xué)活動中引導(dǎo)學(xué)生進行科學(xué)觀察、積極思考、嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的過程.

1真實的現(xiàn)象啟動真實的思考

現(xiàn)象是對真實世界的反映.[2面對現(xiàn)象，學(xué)生看到的可能僅僅是自己想關(guān)注的內(nèi)容，有些現(xiàn)象令人回味，有些則引人深思.而真實的數(shù)據(jù)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治觯拍荏w現(xiàn)科學(xué)研究的客觀性.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中多次提到“情境”，而且?guī)缀踉谒械摹扒榫砛"前都加了“真實\"兩個字，突出了對原始現(xiàn)象的感知，引導(dǎo)學(xué)生進行有價值、有意義的思考.

不管在課堂上還是課后，面對現(xiàn)象時，學(xué)生應(yīng)該拋開其他屬性，用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象，這樣就能發(fā)現(xiàn)其中蘊含的數(shù)學(xué)問題.學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問題，能最大程度激發(fā)思維、增強學(xué)習(xí)動力，并讓研究更有方向性.因為只有經(jīng)過學(xué)生主動思考而獲得的知識，才能真正內(nèi)化為他們自己的知識.教學(xué)的一個中心任務(wù)是產(chǎn)生新知識、新技能以及概念性框架.在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要把知識變成自己的思想、見解、學(xué)識，并呈現(xiàn)出來.

教學(xué)片段1.

師（拿出一個魔方）：這是什么？

生：魔方.

師：魔方有哪些基本屬性和特征？

學(xué)生思考.

生1：從結(jié)構(gòu)上看，魔方整體是一個大正方體，拆解后可以發(fā)現(xiàn)它主要由27個大小相同的小正方體組成.

生2：從顏色上看，初始狀態(tài)的魔方每個面均為同一種顏色，6個面就有6種不同的顏色.

生3：從操作上看，魔方可以進行旋轉(zhuǎn)操作，且每次旋轉(zhuǎn)都以一層（9個小正方體）為單位進行轉(zhuǎn)動，其解法遵循特定的公式或者一般規(guī)律，

師：很好，你們從中發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)元素？這些元素蘊含怎樣的數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生思考.

生：有與立體幾何、排列組合、概率等相結(jié)合的知識點，有數(shù)形結(jié)合、逆向思維等基本數(shù)學(xué)思想方法.

評價：對于\"這是什么\"這一問題，很明顯學(xué)生的回答都會是“魔方”，看似多此一舉的對話，卻第一時間把大家的注意力都拉到了這個常見的魔方上.隨后提出一個問題，引導(dǎo)學(xué)生一起探討魔方的基本屬性和特征.筆者認(rèn)為課堂上第一次師生間的交流，要盡可能讓所有學(xué)生都能很快地進入角色，因為活躍的思維需要輕松自由的心理狀態(tài)，和諧的氛圍需要師生共同去創(chuàng)造.同時，教師的對話設(shè)置是順其自然的，是層層遞進的，既突出了數(shù)學(xué)抽象的必要性，又緊密圍繞本節(jié)課的教學(xué)重點和目標(biāo)展開.這些問題涉及學(xué)生的直覺、對魔方整體的觀察和深層次思考，既包括靜態(tài)的形狀、結(jié)構(gòu)、顏色等，也包括動態(tài)的旋轉(zhuǎn)變換、隨機事件及其可能性等特征.這為接下來進一步提出和討論問題埋下伏筆.

2自由的想象觸動自由的靈魂

李鎮(zhèn)西曾經(jīng)說過：“教育，就是讓人的心靈自由自在地飛翔.”在課堂上，一個魔方的呈現(xiàn)以及開放性的提問，無疑給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自由的空間.學(xué)生可以憑借已有的知識技能及活動經(jīng)驗，去形成屬于自己的專屬理解，從而發(fā)揮主觀能動性，提升分析問題的能力，培養(yǎng)和強化高階思維.

正如愛因斯坦所說：“想象力比知識更重要.”自由的想象是建立在教師把主動權(quán)交給學(xué)生的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生探索和表達(dá)，形成屬于自己的知識認(rèn)同，從而構(gòu)建更為完備的知識體系，而不是“知識回顧一機械刷題一方法總結(jié)\"的固定模式，更不是“類型一、類型二、類型三…\"的簡單羅列.

教學(xué)片段2.

師：確實，魔方蘊含的數(shù)學(xué)元素很多.那大家是否可以依托魔方，嘗試編制一個簡單的數(shù)學(xué)題？

學(xué)生思考、討論、實際操作.

生1：魔方本身可以看成一個正方體，所以我認(rèn)為可以建立點、線、面的空間位置關(guān)系模型或者度量長度的問題模型.

題1對于棱長為 6cm 的魔方，兩個頂點之間的直線距離有多長？哪兩個頂點之間的直線距離最長？

生2：直線距離在實際中運用不大.如果只能沿著表面走，會是什么結(jié)果呢？

題2對于棱長為 6cm 的魔方，從一個頂點沿著魔方的表面到最遠(yuǎn)的另一個頂點經(jīng)過的最短距離是多少？

生3：如果是邊長各不相同的長方體，最短距離會有什么變化？

題3如圖1所示，長方體的長、寬、高分別是3cm，4cm，5cm ，一只小螞蟻從頂點 A 沿長方體的表面爬向頂點 B ，試計算小螞蟻爬行的最短路線.

評價：學(xué)生自己編的問題，雖然看似沒有教師“專業(yè)”，但是卻比解決教師提出的問題更真實.更有效，更能體現(xiàn)出學(xué)生的主動性和思考過程，而且教師可以通過學(xué)生提出的問題及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考的方向是什么、思考的內(nèi)容是什么、思考的方式和依據(jù)是什么，也能從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在認(rèn)知和思考過程中的優(yōu)點與不足.

這個經(jīng)典的“小螞蟻找食物”的問題可以從一個常見的魔方演變過來，這里的問題提出并不需要太多的邏輯推理，主要是依靠自身的經(jīng)驗和判斷，結(jié)合想象、類比進行發(fā)揮和創(chuàng)造

教學(xué)片段3.

生4：我認(rèn)為可以建立與幾何體形狀或計算相關(guān)的數(shù)學(xué)問題模型.

問題模型用一個平面截棱長為 6cm 的魔方，所得截面的形狀有哪些情況？周長最長是多少？

生5：我可以在此基礎(chǔ)上進行變式.

變式1已知魔方的棱長為 6cm ，現(xiàn)把魔方拆解成27個小正方體，給每一個小正方體涂顏色，比起給整個魔方涂顏色會多用多少面積的顏料量（每個面的顏料厚度相同）？

生6：我也可以進一步變式.

變式2對27個小正方體進行擺放或堆疊，形成不同形狀的平行六面體.計算所形成的不同幾何體的體積之差的最大值.

評價：在上述問題中，都存在著變化規(guī)律、最大（小）值等函數(shù)問題.特別地，在后面補充的2個模型存在以下對應(yīng)關(guān)系：已知體積是固定值，表面積則有最小值（用料最省）；已知表面積是固定值，體積則有最大值（最大容量），這也可以聯(lián)想到在基本不等式中有類似的結(jié)論，即對于兩個正數(shù)而言，和為定值，則積有最大值；積為定值，則和有最小值.最優(yōu)解問題在數(shù)學(xué)建模中是相當(dāng)?shù)湫偷膯栴}.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的最終目的就是通過數(shù)學(xué)思維和方法，獲得針對這個問題的最好解決方案，從而應(yīng)用在實際生活中.

3精準(zhǔn)的抽象帶動精準(zhǔn)的邏輯

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程.抽象的過程是一種剝離，更是一種重塑.盡管過程是抽象的，但是最后也要經(jīng)過嚴(yán)密且精準(zhǔn)的邏輯表達(dá)，是一種從無形到有形的輸出過程.數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性相輔相成.邏輯推理和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)作為數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保障，不僅是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方法，更是數(shù)學(xué)活動中人們進行學(xué)術(shù)交流所必備的基本思維品質(zhì)，

有抽象才會有邏輯，抽象是先于邏輯的.精確的數(shù)學(xué)抽象以及規(guī)范化表達(dá)、模式化處理和系統(tǒng)化建構(gòu)，本質(zhì)上都源于經(jīng)驗積累和直覺思維.在觀察現(xiàn)象后，從數(shù)學(xué)維度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解釋問題，進而進行表述論證的過程，正是邏輯推理素養(yǎng)的重要體現(xiàn).這一過程不僅有助于理解數(shù)學(xué)各版塊間、各知識點間的聯(lián)系，更能建構(gòu)系統(tǒng)性的框架，從而形成基于證據(jù)、條理清晰且符合邏輯的思維品質(zhì).

教學(xué)片段4.

師：很好，還可以從其他數(shù)學(xué)元素的角度來研究魔方嗎？

生1：從隨機事件概率的角度看，我認(rèn)為可以建立有關(guān)涂色概率的數(shù)學(xué)問題模型，

問題模型把魔方拆解成27個小正方體，從中 隨機抽取一個，求抽到涂了3面顏色的小正方體的 概率.

生2：我可以在此基礎(chǔ)上進行變式.

變式1把魔方拆解成27個小正方體，從中隨 機抽取2個，求抽到的2個小正方體共涂了3面顏色 的概率.

生3：我也可以進一步變式.

變式2給一個魔方的一個面涂色（9宮格），現(xiàn)在有紅、黃、藍(lán)三種顏料，要求相鄰的區(qū)域不能同色，請問有多少種方法？

生4：我還可以結(jié)合概率分布，進行更進一步的變式.

變式3一個袋中有6個大小質(zhì)地都相同的小正方體，其中涂色的有2個，未涂色的有4個.

（1）有放回地取小正方體，每次隨機取一個，求連續(xù)取兩次都是涂色小正方體的概率.

（2）若無放回呢，概率又會如何變化？

評價：在上述過程中，首先對魔方的拆解需要一定的空間想象能力，其次對拆分成的27個小正方體的顏色也需要很強的想象力，有幾個是涂色的，有幾個是涂2面或者3面顏色的.實際上，在命制題目的過程中，學(xué)生的“頭腦風(fēng)暴\"達(dá)到了一定的高潮.首先，能命制此類問題，應(yīng)該需要對概率有一個“大單元\"整體架構(gòu)的認(rèn)識；其次，對于不確定的問題或者是概率模型，必須是身臨其境，并對結(jié)果已經(jīng)了如指掌才能游刃有余，因此體驗和實踐也是學(xué)生進發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的重要基礎(chǔ)；最后，“相鄰區(qū)域不能同色”“有放回\"“無放回\"等語言表達(dá)，凸顯了學(xué)生對重難點和易混淆知識點的深刻理解和把握，是相當(dāng)精準(zhǔn)的表現(xiàn)

教學(xué)片段5.

師：很好，其他同學(xué)可以說說你的想法嗎？

生5：魔方可以順時針轉(zhuǎn)，也可以逆時針轉(zhuǎn)，我覺得和公式的逆運用有點類似，如在三角恒等變換中的輔助角公式等.

題1求 的單調(diào)區(qū)間.

生6：因為魔方在操作過程中有一定的周期性，它和三角函數(shù)類似，可以與圖象的平移問題進行結(jié)合.

題2要得到 的圖象，可以將y=cos2x 的圖象至少向（填“左”“右”至少移動個單位.

生7：考慮到逆向思維模式，從方法層面來講，我還想到了在計數(shù)原理中采用排除法解決問題的題目類型.

題7有 A，B，C 三個不同的球，放入標(biāo)號為1、2、3、4的四個盒子里，求1號盒子有球的所有情況的種數(shù).

評價：從逆向思維（操作的可逆性）的維度來看，這些題目和魔方?jīng)]有直接的關(guān)系.學(xué)生通過邏輯上的聯(lián)系，突破了表象一“魔方\"的限制，已經(jīng)由對魔方的認(rèn)識、理解轉(zhuǎn)移到了三角恒等變換、周期問題乃至對立事件等知識架構(gòu)，具有很強大的延伸性和拓展性，這需要強大的直覺思維和想象能力.在設(shè)計數(shù)學(xué)問題前，學(xué)生已經(jīng)意識到操作的可逆性會給問題帶來兩種不同的解決方案.這時抽象不再是一種表征，而是一種方法，或是一種處理問題的方式.學(xué)生在腦中重新構(gòu)建了一個系統(tǒng)框架.在這個框架下，主導(dǎo)思想就是逆向思維，它將現(xiàn)有知識儲備中有類似思想的問題拋出來，讓學(xué)生一起交流和探討，展示學(xué)生生成新知識的過程.

4教學(xué)反思

針對以上課堂教學(xué)實錄，筆者認(rèn)為通過現(xiàn)象激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生產(chǎn)生合作交流和思維碰撞，從而生成新知識的課堂教學(xué)模式，有以下幾點值得深人思考.

一是學(xué)生的主動性得到充分的體現(xiàn).課堂上應(yīng)強調(diào)和落實學(xué)生直接參與問題的發(fā)現(xiàn)和提出，而不是只參與分析和解決問題，這需要教師啟發(fā)學(xué)生主動討論、合作交流.特別是學(xué)生自己參與設(shè)計的題目，是對自己基本知識的一個考查，更是一個考驗，同時其他學(xué)生也很樂于研究同學(xué)出的題目，這樣課堂的氛圍和學(xué)生的激情會得到更加有效的體現(xiàn)，

二是學(xué)生的思維能力得到充分解放.課堂教學(xué)當(dāng)充分尊重學(xué)生的想象自由，鼓勵思維發(fā)散，通過觀點碰撞激發(fā)創(chuàng)新火花，進而引發(fā)認(rèn)知沖突，最終推動實踐創(chuàng)新能力的培養(yǎng).在面對現(xiàn)象時，教師應(yīng)允許學(xué)生大膽地說，耐心地聽學(xué)生解釋；在處理問題時，不能固化模板，不能思維定式，也不能過分引導(dǎo)學(xué)生，

三是學(xué)生的表現(xiàn)力得到充分鍛煉.課堂上學(xué)生回答問題一般有兩種情況：一種是自己想到了馬上站起來發(fā)言，另一種是經(jīng)過小組合作討論之后作為推薦代表進行發(fā)言.不管是哪一種，都考驗了學(xué)生的綜合能力.學(xué)生在表達(dá)時，他們的語言組織能力和表達(dá)能力得到了很好的培養(yǎng)和鍛煉

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]孫四周.把數(shù)學(xué)問題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象—談“基于活動與體驗的例題教學(xué)\"[J].數(shù)學(xué)通報，2015（10）：41-45.