高中數學章起始課教學設計策略分析

在章起始課的引導下，學生可以構建起這一章節的知識結構，并對數學概念的整體構造有初步的理解，實現先整體把握后深入了解的學習效果.章起始課不只是對章節內容及對應技能的預先呈現，還展現了思維技能的滲透與實踐經驗的沉淀，有助于激發學生對數學的學習熱情.章起始課融合數學文化，注人數學的思維方式，以此增強學生的數學推理能力.由此可見，章起始課能夠在不知不覺中逐漸提升學生的數學素養.

1注重整體設計

多年來，教師在設計數學課程時普遍以課堂時長為依據，這一做法不利于學生構建全面的知識結構.教師過分強調知識點和技能的掌握，而對情感、態度以及價值觀的塑造疏于關注，這對于提高學生的學科能力并不是最優選擇.章起始課從宏觀角度概括、預覽整個章節的主旨，具有引導和概述的特點.因此，在設計某一章節的教學時，教師必須掌握該章節的專業知識，同時具備常規的研究方法.章起始課需從單一課時設計轉向單元整體架構，通過模塊化梳理零散知識點形成系統脈絡，在把握核心概念關聯性的基礎上構建階梯式認知框架，以此促進學生對知識體系的完整性理解，實現從碎片化記憶到結構化思維的轉變，最終達成學習效率與思維深度的同步提升.[1]

2設計要結合具體章節特征

章起始課應展現章節的整體構思，并非簡單復述章節開頭的插圖和序言內容，也不是對知識點和思維方式的機械羅列.其核心在于幫助學生理解學習內容的同時，把握知識的內在邏輯聯系.[2因此，設計每一章的章起始課時，教師應當充分彰顯章節的獨特性，并側重與章節屬性相匹配的教學內容，把握好教學重難點，做到條理清晰.

某些章起始課的知識點與其他章節存在緊密的關聯，在這種情況下，教師以復習先前所掌握的知識為起點，探索新課程內容與以往學習內容的關系，通過對比、思維拓展等方法進行章起始課的教學.某些情況下，章節的結構是基于一個核心問題來構建的，在這種情形下，教師理應將該問題詳細拆分成若干更小的問題，并使這些細分的問題成為各課時解答的重點.經過對全部教材的學習和掌握，最終能夠解決章起始課所提出的主要問題.此外，部分章節是以數學的思想方法為核心展開論述，因此該章的起始課程宜聚焦思想方法，深入研究其歷史演進、變遷過程以及實際運用情況.

3教學設計應該宜粗不宜細

章起始課的設計既要符合課程標準的教學要求，又要融入創新元素.其構思應體現章節的宏觀框架和深層內涵，但在起始課中呈現全部內容既不現實，也不合理.章起始課旨在圍繞特定課題和素材建構探究框架，引導學生從宏觀角度思考，把握本章的核心內容和整體結構，激發學習興趣，并推動后續開展深入、具體的分析.

在精心設計的章起始課中，教學安排應當符合以下要求：覆蓋廣泛的知識領域，有機融入認知框架與思維方法；遵循系統性原則，精選教學內容；把握知識介紹的深度，避免面面俱到；聚焦整體框架的構建，而非細節的呈現.在章起始課教學過程中，過度的細節只會成為累贅，妨礙學生將注意力集中在總體理解上.靈活性和適應性是設計教育方案的重要原則，教師應當根據實際情況進行針對性設計，而非機械套用固定模式

4設計要符合學生認知邏輯

數學涉及邏輯思維，因此教師在教學過程中應強調邏輯推理.教材編寫專家依據課程標準構建內容體系，在確保符合學生認知特點與思維規律的基礎上，充分考慮其知識基礎、能力水平及實踐經驗，使編纂的學習材料既體現編者的專業深度，又符合學習者的認知發展規律.但在實踐中，有時雖遵循了知識本身的邏輯序列，卻未能充分適應學生的思維發展特點.因此，在具體的教學活動中，教師面對特定課程內容時，完全可以在遵循課程標準的基礎上，依據知識點之間的邏輯關系以及學生思維的邏輯性，對教材內容進行重新構建，靈活地調整教學順序，妥善安排教學知識的深淺程度，確保教學中相關知識點的前后邏輯連貫，契合教育教學的內在邏輯，并在此過程中顯現教師個人的教學方法和獨到之處.教師必須兼顧學科知識的邏輯體系與學生認知的邏輯規律，才能實現優質的教學效果.需要特別強調的是，這種教學理念并非賦予教師隨意發揮的自由，而是要求教師謹慎選擇單元教學的切入點，根據學生的認知特點對知識進行適應性轉化.

5教學設計應注重學生的發展

教師在設計章起始課時不應局限于指導學生掌握特定的知識點，而應注重如何培養學生的自學能力，使其能獨立運用所學知識進行學習和問題的解決.同時，著重培養學生的自主學習能力，引導其將所學知識遷移應用于實際問題的解決.學生在學習時不應僅是簡單地記住知識，而應深人地理解數學的思維邏輯，這樣才能為他們的成長奠定發展基礎.“教是為了不教”，章起始課亦承載著同等重要的責任，其教學目標不應局限于教師將教材內的知識點、技能及經驗直接講授給學生，而是致力于培養學生在學習了這些教學內容后，能夠自行掌握學習的技能與經驗，實現自我驅動的終身學習.因此，章起始課應充分發揮其關鍵作用，幫助學生構筑知識體系、發展技能并完善思維方式.

6案例研究

接下來以人教A版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》中“圓錐曲線的方程\"為例，探討策劃章起始課的方法.圓錐曲線作為平面解析幾何的核心內容，具有以下三個重要特征：知識體系的高度關聯性、集中體現了坐標法這一通用思維方法、研究方法在本章節具有普適性.坐標系作為幾何與代數相互關聯的核心內容，融合著幾何與代數的思維方式.雖然學生在前期課程中已經學習了直線與圓的相關知識，并初步認識到坐標系是探究幾何問題的基本工具，但對坐標方法的認知仍較為淺顯.而圓錐曲線的學習不僅能更深人地展現坐標法的核心應用價值，凸顯其在數形結合中的關鍵作用，更能為學生后續的幾何學習奠定重要的認知基礎

6.1創設情境，引入新知

情境1：杰尼西亞之耳.

相傳，意大利西西里島中部的一個巖洞曾是暴君杰尼西亞關押罪犯的地方.被囚禁于此的犯人多次謀劃越獄，但每次都被守衛發現.起初，囚犯們懷疑內部出現了叛徒，卻始終未能找出告密者.經過深入調查，他們終于明白并非有人背叛.原來，這個特殊囚室的構造呈橢圓形，囚犯們恰好被關押在一個焦點附近，而守衛則駐守在對應的另一個焦點處.這種獨特的設計使得囚犯們的對話能夠通過橢圓形的聲學特性被守衛清晰聽到.因此，這座地牢被稱為“杰尼西亞之耳”那么什么是橢圓？什么是橢圓的焦點？為什么橢圓具有這樣的性質呢？今日我們將探討圓錐曲線中的橢圓，了解其幾何特性，并探究如何應用數學技能對其進行分析.

【設計意圖】學生此前已掌握關于直線的方程、圓的方程等相關知識.本次教學的核心在于探索如何展現新課程內容的創新性，進而激發學生學習的熱情.通過構建一個具有吸引力的故事情境，可以激發學生的好奇心，從而引領他們進人學習主題.教師在學生深入探索該傳說時，闡述了本次課程的教學目標.

情境2：生活中的圓錐曲線.

在現實生活中，我們可以觀察到許多圓錐曲線的具體實例，如衛星環繞地球運行的軌道、籃球投射時在空中劃出的軌跡，以及冷卻塔特有的截面形狀，那么這些曲線有什么區別和聯系呢？

雖然學生能夠準確識別橢圓和拋物線的圖形特征，但對雙曲線的視覺辨識可能稍顯不足，這些曲線在日常生活、工業制造及學術研究等各個領域都發揮著不可替代的重要作用，因此被統稱為圓錐曲線.在教學過程中，發現學生對這些曲線為何被歸為同一類別表現出強烈的求知欲.基于此，本節課將首先探討“圓錐曲線\"這一統稱的由來及其數學本質.

【設計意圖借助生動的實例展現圓錐曲線在日常生活中的普遍存在，使學生體會到數學與日常息息相關，進而激發他們對數學的學習興趣，

6.2追溯歷史，了解起源

探究1：平面截圓錐，

兩千多年前，古希臘數學大師阿波羅尼奧斯（Apollonius）在探究圓錐曲線時發現，通過調節平面截取圓錐體的角度，可以生成多種不同的曲線圖形.當平面通過圓錐的尖端時，可獲得一個單點、一條線段或是兩根相交線段；當平面與圓錐體的中心線垂直時，截得的形狀則是圓形.那么，若進一步調整平面與圓錐體之間的相對位置，我們還能截得哪些其他類型的曲線呢？

在學生的自主探索過程中，教師通過視頻講解和動態幾何軟件的直觀演示，引導學生發現：當平面和圓錐體中心線的夾角發生變化時，所截得的形狀也會隨之改變.其中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種特殊的曲線形態尤為引人注目一它們都是平面與圓錐面相交所產生的幾何圖形，因此統為圓錐曲線（如圖1）.

曲線特性，其著作《圓錐曲線論》幾乎窮盡了圓錐曲線的所有幾何性質，這一成就使得相關研究停滯兩千年之久.直到1822年，比利時數學家丹德林（Dandelin）提出創新性方法—運用兩個同時與圓錐面和截面相切的球體（Dandelin球）來分析圓錐曲線特性.他通過圓錐直接推導出曲線軌跡概念，從而證明了截面定義與軌跡定義的等價性，

接下來，通過實驗探索，從三維空間中橢圓的基本性質出發，過渡到其二維空間的路徑性描述，并構建了二者之間的橋梁.具體研究過程如下.

如圖2，在錐體的截面上下兩側各置入一個球體B（O₁） 和 B（O₂） ，它們既與錐面也與截面接觸，分別以 F₁，F₂ 標記接觸點.在圓錐面和截面相交線上隨意選取點 M ，連接 MF₁₁MF₂ ，繪制穿過點 M 的圓錐母線，此線與球體 B（O₁） 相交于點 P ，與球體 B（O₂） ）相交于點 Q

（1）MF₁，MP 與小球有怎樣的位置關系？（2）MF₁ 與 MP 有怎樣的數量關系？（3）PQ 長度是否為定值？（4）MF₁ 與 MF₂ 有怎樣的關系？

【設計意圖】學生通過觀察、推理和實踐等多種學習方式，經歷了從具體到抽象的認知過程.這種將直觀體驗與邏輯推理相結合的學習方式，幫助學生深入理解了圓錐曲線的截面形成原理.在此過程中，教師適時引入圓錐曲線的數學定義，為后續課程內容作好了鋪墊.

探究2：探究圓錐曲線.

在數學發展史上，圓錐曲線研究經歷了重要突破：阿波羅尼奧斯采用純幾何方法系統研究了圓錐

【設計意圖】在數學教學中，核心環節之一是闡述數學知識的演進歷程.這一歷程既體現了數學學科自身的發展軌跡（包括研究課題與研究方法的演變），也展現了數學對社會生活的深遠影響及其在人類文化發展中的重要作用.采用這樣的教學方式，不僅能有效激發學生的數學學習興趣，更能引導他們切身感受數學的獨特魅力，進而深入探索數學的本質內涵

在數學探究活動中，教師引導學生基于前人的研究，通過深入研討丹德林雙球模型來探索橢圓的幾何特性，共同體驗數學實踐探索的過程.在建立這一基本認知后，師生將進一步借助丹德林球體實驗，系統研究雙曲線和拋物線的形態特征；通過對比分析，深刻理解這三種圓錐曲線之間的內在聯系與本質區別，從而真切領略圓錐曲線理論所展現的數學之美.

6.3比舊悟新，提煉方法

探究3：研究圓錐曲線的方法.

教師先簡要介紹解析幾何的基本概念，幫助學生理解其數學原理和實際應用價值；然后借助學生對“圓的方程\"的掌握，指導他們運用“坐標法\"這一核心工具來系統研究圓錐曲線的性質與特征.

教師讓學生思考采取何種方法去研究圓錐曲線，并回想一下對直線和圓的探究過程.接下來，指導學生類比直線與圓學習圓錐曲線，促使他們采用坐標系的方式來掌握新知識.在此過程中，學生完成表1.

此時可以提問學生以下問題

（1）為何偏向于采用代數手段探究圓錐曲線的性質？（2）使用純幾何方法來探究圓錐曲線存在哪些缺陷？（3）借鑒直線和圓的公式推理，思考如何運用壘標法來求解圓錐曲線的公式.

通過對以上問題的探究，得到求曲線方程的一般步驟： ① 建系.建立合適的直角坐標系. ② 設點.設曲線上任意一點為 （x，y） ·③ 列式.按照曲線上的點符合的數值關聯性，構建關系式，然后求解未知數.④ 建立方程.使用坐標 （x，y） 來描述這個關系式.⑤ 證實.方程的解的坐標是否與曲線上的每個點都相匹配.

法國數學家笛卡爾（Descartes）主張通過坐標系，把曲線的幾何屬性進行代數表示，從而在幾何曲線和代數公式之間構建聯系，并利用這些聯系來探討圓錐曲線的屬性和相關問題.在這個過程里，學生能夠掌握坐標化的研究技巧，深入理解數形結合的核心思想.其中，“構建曲線方程\"和\"通過曲線方程來探索曲線的特性\"這兩個主要問題的解決都依賴于坐標系和圖象的融合.

【設計意圖】借助教材的縱向鏈接，激勵學生運用所掌握的知識去應對新的挑戰，

7結語

設計章起始課的目的在于闡述這一部分應該學習哪些內容、學習原因以及如何學習.章起始課具有內容豐富、隱含價值高、思維引導性強等特點，能夠系統總結學習的核心內容、指導方法、數學思想和數學文化等內容.隨著時代的發展，與時俱進的章起始課將在培養學生應用意識方面發揮重要作用.

參考文獻

[1]董冠華.高中數學章起始課教學實踐研究[J].求知導刊，2024（34）：35-37.

[2楊會蘭.立足學科育人的高中數學章起始課教學研究J」.考試周刊，2023（21）：111—114.