構(gòu)造距離妙求最值

某些代數(shù)式的最值問題，用代數(shù)方法解決相對煩瑣，如果所求代數(shù)式具有某種幾何意義，那么根據(jù)代數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想幾何背景，建立解析幾何基本模型，利用解析幾何中的有關(guān)公式、性質(zhì)、圖形特征、位置關(guān)系等探求解法，有利于輕松求解目標問題.比如，構(gòu)造距離能妙求最值，那么距離問題有哪些常見題型呢？本文舉例說明，

1構(gòu)造兩點間的距離

平面上任意兩點 P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 間的距離公式為 ，遇到目標式或條件等式中含有平方和的形式時可以嘗試構(gòu)造兩點間的距離公式求最值.

例1已知實數(shù) m?0，n?0 ，且滿足 4m+n=2 .則 的最小值與最大值之和是

設(shè) 2m=t≥0 ，則 2t+n=2 ，且

解析

其表示 A（t，0），B（t，n） 兩點到原點的距離之和.

如圖1所示，建立平面直角坐標系，其中 G（0，2），H（1，0） 注意到點 B（t，n） 在直線 2t+ n=2 上（其中 t?0，n?0） ，過點B 分別作 n 軸、 χ_t 軸的垂線，垂足為 C（0，n），A（t，0） ，則|AO|+|BO|=|CB|+|BO| 設(shè)原點關(guān)于直線 2t+n=2 的對稱點為 D（x，y） ，由于直線 2t+n=2 的斜率為－2，則

由對稱性可知 ∣CB∣+∣BO∣=∣CB∣+∣BD∣ ，當且僅當 c，B，D 三點共線，即 DC 垂直于 n 軸時，

取得最小值

設(shè) DC 垂直于 n 軸，且與直線 2t+n=2 的交點

為 E ，則當點 B 位于點 E 上方或下方時，始終有

|CB|+|BD|?|CD| ，要使 最大，則點

B 位于點 G 或點 H ，所以 ∣CB∣+∣BD∣ 的最大值為

|GO|=2 ，故 的最小值與最大值之和

是 ：

求解含有根式的代數(shù)式的最值問題時，可嘗試利用數(shù)形結(jié)合思想將原問題轉(zhuǎn)化為與距離相關(guān)的問題，再借助圖形的直觀性和明了性進行分析.

2構(gòu)造點到直線的距離

點 P_l（x_l，y_l） 到直線 l：Ax+By+C=0（A，B 不同時為0）的距離為 ，遇到目標式或條件等式中含有絕對值符號時，可以嘗試構(gòu)造點到直線的距離公式求最值，

例2已知圓 C 上的兩點 A（x₁ Φ_y1），B（Φ_x2，Φ_y2） 滿足 x₁x₂+y₁y₂=0 ，則 的最小值為

解析

由 x₁x₂+y₁y₂=0 ，可得 ，即 ，則 OA⊥OB .易知

由點到直線的距離公式可知 表示 A，B 兩點到直線 的距離之和的2倍.如圖2所示，設(shè) AB，DF 的中點分別為

M，E 由梯形的中位線得 |AD|+|BF|=2|ME| ，則

2（|AD|+|BF|）=4|ME|，

其表示點 M 到直線 l 的距離的4倍.因為 ΔAOB 是等腰直角三角形，所以

則點 M 在圓 x²+y²=2 上運動.設(shè)點 O 到直線 l 的距 離為 d ，則丨ME丨的最小值為 .又 ，所以 的最小值為

求解本題的關(guān)鍵在于以下兩點：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化問題，由代數(shù)式 ∣x₁+ 的幾何意義可知只需求A，B 兩點到直線 的距離之和的2倍的最小值；二是充分借助圖形的直觀性，將原問題轉(zhuǎn)化為求原點 O 到直線 的距離與圓x²+y²=2 的半徑之差的4倍.

3 同時構(gòu)造距離與曲線

若題設(shè)條件或目標式比較復雜且含有距離的信息，可嘗試同時構(gòu)造距離與曲線模型，并借助平面直角坐標系和曲線圖像中的點線關(guān)系來求得相關(guān)最值.

例3已知實數(shù) a，b，c，d 滿足 1，則 （a-c）²+（b-d）² 的最小值為

O 因為實數(shù) a，b，c，d 滿足 .解析

所以 d=c-2e^c，b=2-a ，則點 （a，b） 在直線 y=2- x 上，點 （c，d） 在曲線 y=x-2e^x 上. （a-c）²+（b- d）² 的幾何意義是直線 y=2-x 上的點與曲線 y= x-2e^x 上的點的距離的平方.

考慮曲線 y=x-2e^x 的切線（該切線與直線 y= 2-x 平行），因為 y^′=1-2e^x ，令 y^′=1-2e^x=-1 ，解得 x=0 ，則切點為 （0，-2） .該切點到直線 y=2-x 的距離為 ，則 （a-c）²+（b-d）² 的最小值為

本題具有一定的難度，解題的關(guān)鍵在于明確代數(shù)式 （a-c）²+（b-d）² 的幾何意義，同時借助曲線的切線靈活求解直線上的動點到曲線上的動點之間距離的最小值.

例4 已知 x ， ，若 恒成立，則實數(shù) Ψ_m 的最大值是

解析 易知 的幾何意義為動點 A（x，e^x） 與動點 的距離，點 A 在曲線（20 y=e^x 上，點 B 在曲線y²=4x 上.易知拋物線y²=4x 的開口向右，焦點為 F（1，0） ，作出曲線 y= e^x 與 y²=4x 的圖像，如圖3所示.

因為 |AB|= 圖3 |BF|=₄^y2+1 所 的最小值就是 （∣AB∣+∣BF∣）_min ，即點 F（1，0） 到曲線 y=e^x 上的點之間距離的最小值.

取曲線 y=e^x 上的點 P（x，e^x） ，則∣PF∣²=（1-x）²+（e^x）²=x²-2x+1+e^2x. 令 g（x）=x²-2x+1+e^2x ，則 g^′（x）=2x-2+2e^2x 令 h（x）=x-1+e^2x ，則 h（x） 單調(diào)遞增，且 h（0）=0 .則在 （-∞，0） 上， g^′（x）lt;0 ，在 （0，+∞ ）上， g^′（x）gt; 0，所以 g（x） 在 （-∞，0） 上單調(diào)遞減，在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增， g_min（x）=g（0）=2 ，則 ∣PF∣ 的最小值為 ，即 的最小值為 ，所以實數(shù) Ω_m 的最大值是

本題難度較大，對學生解題能力要求較高，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造曲線 y=e^x 和 y²=4x ，通過數(shù)形結(jié)合思想將 的最小值等價轉(zhuǎn)化為拋物線 y²=4x 的焦點到曲線y=e^x 上的點之間距離的最小值.

（完）