逆向思維在初中數學解題教學設計中的應用研究

初中數學解題中常見幾何圖形性質判定與代數式恒等變換等問題均具有目標明確、邏輯嚴密的特點.傳統教學模式易忽視問題結構與推理路徑多樣性，限制學生圖形轉化、等式構造與坐標運用能力[].逆向思維以結論為起點強化條件重構與邏輯還原有助于提升學生在表達式與數量關系間的遷移水平[2].

1在平行四邊形解題教學設計中的應用

例1如圖1，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點 O，BE//AC，AE//BD ，求證四邊形 AOBE 為菱形；若 ∠AOB=60^° AC=4 ，求ΔAOBE 面積.

解析學生在教師引導下思考：若 AOBE 為菱形，則需滿足鄰邊相等、對角線互相平分.教師提出設問：要使 AO=BO ，應滿足怎樣的圖形條件？學生經引導知曉應證 O 為對角線中點.

由 AC，BD 為平行四邊形對角線交于點 O ，得 BE//AC ，得 ，推出 AO= BO ，滿足鄰邊相等、對角線互相平分，判定AOBE 為菱形.

面積計算階段，教師繼續采用逆向思維指導，目標為求面積，需構造高.引導作 BF⊥AO ，有 AO= ，

面積

整個教學過程中，教師圍繞“從圖形結論出發逆推構造條件”組織教學引導學生圍繞“邊相等”“角平分”“對角線中點”核心結構進行倒推分析促進幾何圖形性質與輔助線構造多向聯動.

2在二元一次方程組解題教學設計中的應用

例2已知二元一次方程組 ，當a，b 等于多少時，方程組有唯一解；當 a.b 等于多少時，方程組有無數解；當 a.b 等于多少時，方程組無解.

解原方程組為： ①3x+ay=b，②x+4y=2

教師引導學生提取系數比例，設方程組的系數和常數項比為：

根據二元一次方程組的解的條件：

若 ，即 a≠12 ，則方程組有唯一解（任意 b 皆成立）.

若 ，即 a=12 ，繼續分類：

若6 ，即 b=6 ，三比相等，方程組有無數解；

若 ，即 b≠6 ，前兩比相等，第三不等，方程組無解.

答案歸納如下：

有唯一解： a≠12，b 任意；

有無數解： a=12，b=6 ·無解： a=12，b≠6

教師借助逆向分類引導學生從解類型入手反推比例結構明確“對應系數成比例，常數項也需成比例”是無數解的必要條件從而實現由結論導向條件教學轉化[3].

3在二次函數解題教學設計中的應用

例3已知二次函數的解析式 y=ax²+bx+ Ψ_c ，其圖象與 x 軸交于坐標原點 O（0，0） 點 A ，且二次函數的最小值為一2，點 M（1，m ）是其對稱軸上的一點，點 B 在 y 軸上且 OB=1 ：

要求解答以下問題：（1）求二次函數的解析式；（2）二次函數在第四象限的圖像上有一點 P ，連接PA，PB ，求 ΔABP 面積的最大值；（3）在二次函數圖像上是否存在點 N ，使得 Ω_?A，B，M，N 為平行四邊形的四個頂點？若存在，求點 N 的坐標；若不存在，請給出理由.

解（1）求二次函數解析式：由題意可知二次函數的最小值為一2，且最小值點位于對稱軸 x=1 .即點 M（1，-2） .這是二次函數頂點，因此二次函數可以表示為標準形式： y=a（x-1）²-2 （204號

由題目給定 O（0，0） 為原點，可以代入 x=0 和y=0 來求 a 的值：

因此二次函數的解析式為：

（2）設點 P（t，2t²-4t） 在二次函數圖像（圖2）上，且點 P 通過與點 P 的垂線與 AB 相交于點 Q 需要求三角形 ΔABP 的面積最大值.

先設直線 AB 解析式為： y=kx+s

根據已知點 A（2，0） ，點 B（0，1） ，代人求直線斜

率和常數： 代人得到直線 AB 的解析式為： x+2y-2=0 計算底邊 AB 的長度： 接著考慮點 P（t，2t²-4t） 的坐標代入直線方 三角形面積表達式整理得到：

（20求極值：設 f（t）=4t²-7t-2 令導數為零： 計算 此時， ΔABP 的面積為： 最大值為 32 這是三角形面積的最大值.

（3）判斷是否存在點 N

為判斷四邊形 A?B?M?N 是否為平行四邊形先設定點 N 的坐標為 （n，2n²-4n） .要求點 A，B .M，N 滿足平行四邊形的條件.計算得點 N 的坐標為 （1，-2） ，這滿足四邊形的平行條件.因此存在點N（1，-2） ，使得四邊形 A°B°M°N 為平行四邊形.

教師利用設計由結果到過程的解題思路幫助學生理清數學結構提高問題解決的靈活性和創新性.

4結語

逆向思維教學中體現出結構清晰、推理緊湊教學優勢.教師應將其嵌入整體解題流程強化學生代數運算、函數建模與圖形邏輯的綜合能力建構，

參考文獻：

[1]唐簡.初中數學解題教學中逆向思維的應用策略[J].數理天地（初中版），2025（02）：71—73.

[2]王吉林.逆向思維賦能初中數學解題教學新思路[J].數理化解題研究，2024（17）：26-28.

[3]陳若冰.逆向思維在初中數學解題教學中的應用探究[J].數學學習與研究，2023（23）：41-43.