雙重二次根式的解題思路

雙重二次根式是初中數學中較為特殊的一類根式形式，形如 （其中 a.b 為有理數， b>0} ）此類根式的化簡和計算對于學生來說是一個難點，因為其涉及較為復雜的代數變形和運算.因此，掌握有效的解題思路和方法對于突破該難點至關重要.

1配方法解雙重二次根式

配方法是將雙重二次根式 內部的式子配成完全平方式.該方法主要利用公式 ，兩邊平方，得到 其中 通過解方程組就可以求出 x，y .隨后將雙重二次根式內部的二次根式化成平方形式，從而脫去外層根號.

例1 化簡 ·

解析 該習題可使用配方法進行化簡.觀察 可以得出， 所以使用配方法進行化簡：

原式 .根據完全平方公式 (m+n)O²=m²+2mn+n² ，則

例2 化簡

解析觀察式子 ，注意到該雙重二次根式前面的系數是奇數3，無法直接使用完全平方公式進行化簡.對于此類雙重二次根式，需要先設法將前面的“奇數”變成“偶數”，然后再利用配方法來進行化簡.為把系數3變成偶數，可以將式子變形為3 則原式變為 利用完全平方公式 ，可轉換為 .隨后進行計算，可求得最終結果，具體過程如下：原式

在使用配方法時，關鍵是要對 a 和 的關系進行分析，找到合適的數進行拆分和配方.該方法需要對完全平方公式有深刻的理解和熟練運用的能力，通過不斷嘗試和觀察，將雙重二次根式轉化為可直接化簡的形式.

2平方法解雙重二次根式

平方法是處理雙重二次根式問題非常有效的方法.其原理基于等式兩邊同時平方可以消除根號的原理．對于雙重二次根式 ，設 x= ，則 .如此，將原本復雜的雙重二次根式轉化為較為簡單的含有根號的表達式.隨后進行化簡，消除不必要的項或者進行合并同類項等操作.最后再對化簡后的結果進行開平方，就能夠快速完成雙重二次根式的化簡，得到結果.

例3 化簡

解析 觀察此題發現，兩根號內的被開方數互為有理化因式，可直接使用開平方法化簡： （24號 整理得 ·

例4求方程 的解.

解析觀察原式，可以發現，經過多次開方后，x 的解顯然無負根，并且通過常規計算，計算量較

大，容易出錯.

此時，可令 ，則有 x=y²-2 ，則有 所以 （移項），兩邊開方得 ，與

原方程比較， y=x ，即 ，兩邊平方得 ²⁺

x=x² ，解關于 x 的二次方程，得 x=2 或 x=-1

而 x 不為負，所以 x=2

使用平方法時要注意，在求出 的值后，需要根據雙重二次根式的非負性來確定 x 的值，避免出現增根.同時，該方法在計算時可能會涉及較為復雜的運算，需要仔細化簡.

3換元法解雙重二次根式

換元法在處理雙重二次根式問題時，是將原雙重二次根式中的特定部分進行換元，如對于雙重二次根式 ，可以設 .如此，原本復雜的雙重二次根式就可轉化為含有 Ψ_tΨ_Ψ 的表達式.通過該方法，能夠簡化問題，使復雜的雙重二次根式化簡變得更加容易操作.

例5已知等式 成立，求 x 的取值范圍.

解析分析習題，可將內部根號換元，并轉換為關于 x 的方程，隨后代入原式，進行化簡求值.

令 ，兩邊平方得 2x-1=t² ，將其轉換為關于 x 的方程得 .將其代入原等式： ，化簡得 Ψ_t +1+∣t-1∣=2 ，又由 ，則有 ，計算可得

換元法的優勢在于能夠將復雜的雙重二次根式轉化為相對簡單的形式，通過對新變量的處理來求解.但在換元過程中，要注意新變量的取值范圍，并且在最后要將新變量還原為原來的變量.

4待定系數法解雙重二次根式

根據雙重二次根式的特點，將原式設為幾個簡單二次根式的和或差的形式，通過平方并化簡后比較系數求出結果.注意：待定系數法之所以可以使用，是因為二次根式的性質：設 a，b，c，d，n 是有理數，且 n 不是完全平方數，則當且僅當 a=c，b=d 時 $\\mathscr { a } + b \\sqrt { n } = c + d \\sqrt { n }$ ·

例6 化簡 業

解析本題采用待定系數法來化簡雙重二次根式.通過設 ，然后兩邊平方，利用二次根式的性質，通過比較系數來確定 a，b，c 的值，從而化簡原式.

設 兩邊平方可得， .化簡 ，得 ，即 .根據二次根式的性質，當且僅當對應項系數相等時等式成立，所以有 多項聯立解得 a=2，b=1，c=3 ，且符合 a+b+c=6 所以

待定系數法的關鍵在于合理假設化簡形式，通過平方建立方程，然后比較系數確定方程組，最后求解方程組得出化簡結果.該方法需要一定的觀察能力，在解決雙重二次根式問題中具有一定的靈活性和有效性.

5結語

雙重二次根式的解題方法多種多樣，配方法、平方法、換元法和待定系數法都有其各自的特點和適用范圍.在實際解題過程中，需要根據具體的雙重二次根式的形式來選擇合適的方法.通過不斷的練習和總結經驗，熟練掌握這四種方法，能夠提高學生解決雙重二次根式問題的能力，為進一步學習數學和解決更復雜的數學問題打下堅實的基礎.同時，上述方法之間也存在著一定的聯系，在某些情況下可以結合使用，以達到更好的解題效果.