善于類比 學會遷移

類比思想是數學課堂教學的重要方法，運用類比思想能夠將新舊知識關聯起來，實現知識的系統遷移與結構化.同時，運用類比思想能夠幫助學生解決數學學習中的難點，優化數學探究進程，自主實現知識的同化，促進學生數學能力和思維能力的提升.在教學實踐中，教師應重視引導學生將相同或相似的知識點、思想方法等進行類比，引導學生運用已掌握的知識、方法研究新知識、解決新問題，不斷地提高學生分析問題和解決問題的能力.筆者在講授“二次根式的加減”時，以知識技能的培養為主線，以類比為手段，以變式訓練為途徑進行教學設計，不僅能提高學生的自學能力，還能促進學生邏輯思維能力和數學核心素養的提升和發展.

教學設計

1.借助類比，同化知識問題1請將下列二次根式化簡為最簡二次根式，并根據其特點進行分類.

（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） （6）

師生活動教師先讓學生獨立思考，然后展示學生的分類結果并進行點評.

追問之前是否學習過類似的概念？

學生活動學生結合分類結果，易于想到合并同類項.

設計意圖在學習本節課之前，學生已經學過同類項、合并同類項、二次根式等概念及二次根式的相關性質.為此，教師可從學生已有的知識經驗出發，通過實操了解學生對化簡最簡二次根式的掌握情況，從而為后續研究二次根式的加減作鋪墊.學生將最簡二次根式分類后，教師便可啟發學生將同類二次根式與同類項相類比，以此喚醒學生已有的知識經驗，引導學生自然地將新知識融入原有認知結構，建立新舊知識間的聯系，進而提高學生的數學遷移能力.

2.借助類比，遷移知識

問題2化簡：

追問若將“ ”變為‘ ”，說說你的發現.

師生活動學生結合合并同類項的經驗給出以下化簡過程： a+ 與這一過程相類比得到 1

設計意圖 通過滲透特殊與一般、類比等思想方法，將新舊知識建立聯系，實現思想方式和運算技能的遷移，提高學生分析問題和解決問題的能力．

例1計算：

（2）

學生活動學生結合上述探究經驗，通過化簡、合并，順利得出答案.

設計意圖通過適度練習幫助學生熟悉和鞏固剛剛習得的技能，一方面可讓學生獲得成功的喜悅，增強學習自信心，另一方面可使學生實現對二次根式加減的同化，逐漸形成清晰的認知結構.通過以上分析，教師可以順勢引出同類二次根式的概念.同時，結合以上探究過程，教師還可引導學生進行對比分析，讓學生知曉：判斷一組數據是否為同類二次根式，一定要化簡成最簡二次根式再做判斷.另外，判斷同類二次根式時，只與被開方數及根指數有關，與根號外的因式無關.

3.借助類比，錘煉思維

問題3 2+3=5 ，那么 這一等式是否成立？

師生活動問題給出后，教師并沒有急于給出結論，而是鼓勵學生通過估算、計算器計算、邏輯推理等方式進行猜想驗證.有學生利用計算器得出 ， ，顯然這一等式并不成立.至于如何進一步證明，學生則不知如何著手.于是，教師啟發學生做如下思考： 與 的大小是什么關系？學生通過比較，發現 在此基礎上，教師進一步啟發學生運用數形結合的方法進行推理驗證，教師給出如下問題：圖1所示的網格中，小正方

形的邊長為1，其中 ，請分別計算 AB 、 cD 、EF的長，并說說你的發現.學生結合已有知識得到AB、CD、EF的長，并轉化為圖2.由此，借助圖形的直觀性讓學生深刻體悟到三者之間的關系，進一步培養了學生數學思維的深度和廣度.

設計意圖通過類比引發思維沖突，激發學生的探究欲.在此過程中，教師鼓勵學生借助數的嚴謹和形的直觀加深對知識的理解，分別從“數”和“形”的角度對本題加以證明，有效地克服了整式加減所產生的負遷移，提高學生的邏輯分析能力和數學運算能力，促進學生綜合素養和綜合能力的發展．

問題4 與 能相加嗎？若能，請寫出計算過程；若不能，請說明理由.

學生活動學生化簡并計算得出： （20

設計意圖化特殊為一般，將被開方數轉化為字母，深化對同類二次根式概念的理解，為后續加深二次根式的難度埋下伏筆.

4.變式應用，加深理解

例2計算：

（1） （20（2） （3） （4）

師生活動教師先讓學生獨立計算，然后展示計算結果，并鼓勵學生進行自評和他評.最后，教師引導學生總結歸納二次根式加減的步驟，即： ① 化簡為最簡二次根式；② 找出同類二次根式； ③ 合并同類二次根式.

設計意圖通過變式訓練幫助學生熟悉和鞏固相關概念和運算法則，讓學生深入體會形式與本質、簡單與復雜的辯證關系.在此過程中，教師應鼓勵學生進行歸納總結，通過經歷計算步驟的生成過程，促進學生對算法和算理的掌握，培養學生轉化化歸意識，提高學生歸納總結能力，發展學生的運算能力和推理能力等教學核心素養.

5.課堂練習，檢測強化

練習1計算：

1）

2

練習2面積分別為 12π 和 27π 的兩個同心圓所組成的圓環的寬度是多少？

練習3最簡二次根式 與 能合并，求 a

師生活動教師預留時間讓學生獨立計算，然后展示學生的計算過程，并根據學生的反饋有針對性地進行指導.

設計意圖通過適度練習檢測學生對新知的理解程度，進一步加深學生對相關概念和運算法則的理解，提高學生應用新知解決問題的能力．

6.拓展提高，感悟價值

例3一塊長方形試驗田的一邊長為 ，對角線長為 ，試求這塊試驗田的周長和面積.

例4長方形的長和寬分別為 和 ，試求長方形 的周長和面積.

設計意圖讓學生充分感受同類二次根式在解決實際問題中的應用，深刻體會新知的應用價值，培養學生的數學學習興趣.

7.歸納總結，提升能力

問題5本節課重點學習了哪些內容？運用了哪些數學思想方法？你有哪些收獲？

幾點感悟

1.從學生的思維提升點出發用心設計，促進發現、研究和探索

每個學生都希望自己是學習的發現者、研究者和探索者，教師應竭力為學生制造機會，盡可能地開放課堂，牢牢把握住學生思維的提升點設計問題并開展探究活動，為學生發現、研究和探索知識開辟新路徑.絕大多數學生都是具有分享欲和表達欲的鮮活個體，在本課教學中，教師緊緊抓住這一點創設問題情境，激發學生學習的積極性，將學生的數學探究欲望引向深入，使學生的思維有方向、有動力、有創新.為生親身經歷函數概念的形成過程，自主領會變量間的奇妙關系，感悟數學之美.

2.從學生的過程體驗著手精心策劃，促進感知、感悟和體驗

學生在學習數學的過程中，不僅收獲了知識，還學會了思維.教師應從學生學習的過程體驗著手精心策劃，為學生的感知、感悟和體驗提供契機.在本課教學中，教師通過設計拾級而上的探究活動，引導學生親歷函數概念的探究和生成過程，最終在自主歸納中建構屬于自己的數學概念.整個過程中，教師充分發揮其引導作用，通過耐心講解，激發學生思維的積極性，讓學生在拾級而上的數學探究活動中真正成長起來.

綜上所述，數學學習的本質是通過充分的過程體驗建構屬于自己的數學知識體系.而數學教學的本質是通過周密設計和精心策劃，激發學生學習的積極性，促進學生掌握數學知識，讓數學思維自然成長，發展數學核心素養.

參考文獻：

[1］王磊.踐行“三個理解”，落實“三會”目標一以“函數（第1課時）”的教學為例［J］.中學數學，2021（20）：3-6.