有限域 Fpn 上完全置換多項式的構造

中圖分類號：0236.2 文獻標志碼：A

設 Fpn 為含有 pn 個元素的有限域，其中 p 為素數， n 為正整數， Fpn* 表示 Fpn 的乘法群。如果多項式 F（x） 從 Fpn 到其自身的映射 F：x?F（?x） 是雙射，則稱 F（x） 為 Fpn 上的置換多項式。如果 F（x） 和 F（x）+x 都是 Fpn 上的置換，則多項式 F（x） 稱為 Fpn 上的完全置換多項式。有限域上的完全置換多項式因在密碼學[1-2]，組合設計[3]，編碼理論[45]等領域均有著重要應用而受到眾多學者的關注。因此，構造新的完全置換多項式有著重要的理論意義和實際意義。

完全置換多項式是在構造正交拉丁方時首次引人的。隨后，NIEDERREITER等[對有限域上的完全置換多項式做了進一步的研究。然而，因為判斷完全置換性質的方法極為有限，所以有限域上已知的完全置換多項式并不多見。因此，發現新的完全置換多項式是一項重要且具有挑戰性的任務。關于完全置換多項式的早期研究成果主要有Dickson多項式[8]、F16上的二項式和三項式[9]以及在 F_q 上的單項式[1°]。直到2011年，AGW準則的提出為研究完全置換多項式提供了一種重要的方法[]，這一進展推動了相關領域的深入探索。之后，基于這一準則，學者們構造了有限域上一些稀疏型完全置換多項式[12-14]。與此同時，文獻[15-16]利用加法特征標和極坐標表示，將多項式完全置換性質轉化為有限域特定方程根的問題，從而構造出幾類新的完全置換多項式。在此基礎上，一些其他類型的完全置換多項式也被構造出來。例如，LI等[17]構造出了基于線性化多項式的完全置換多項式。隨后，XU等[18]進一步構造了幾類形式相似的完全置換多項式，并對其特性進行了全面的分析。在此基礎上，LIU等[也得到了4類完全置換多項式，這些完全置換多項式構造的關鍵在于如何找到合適的指數參數。

受到已有結論的啟發，本文構造了 F_pⁿ 上9類新的完全置換多項式，主要解決的關鍵問題是找到合適的指數和線性化多項式。為了證明多項式的完全置換性質，利用AGW準則將問題轉化為有限域上一些特殊方程根的存在性問題。

1 預備知識

本章我們給出一些基本概念及相關引理。

設 m 和 n 為2個正整數，且 m∣n ，從 F_pⁿ 到 F_p^m 的跡函數定義為

Tr_mⁿ（x）=x+x^pm+x^p2m+…+x^pn-m

定義 F_pⁿ 的一個集合

T={γ^pm-γ|γ∈F_pⁿ}

對于任意 β∈I ，我們有 Tr_mⁿ（β）= 0 。

設 ，其中 q 為素數冪， α_i∈F_q^m （i=0，1，2，…，s） ，則稱 L（x） 是 F_q^m 上的一個 q -多項式，它也被稱為 F_q^m 上的線性化多項式。

引理1[20] 有限域 F_2ⁿ 上的多項式 F（x） 是 F_2ⁿ 上的置換多項式，當且僅當下列條件之一成立：

（1）對任意的 y∈F_2ⁿ ，方程 在 F_2ⁿ 中恰有一個根;

（2）對任意的 y∈F_2ⁿ ，方程 在 F_2ⁿ 中至多有一個根。

引理1提供了判斷置換多項式的一般方法，接下來的引理2就是文中提到的AGW準則。引理 2^[11] 設 A ， s 和 為有限集合，且 ，并設 ， ， 和 滿足 。若 λ 和 λ 都是滿射，則下列2個條件是等價的：

（1） f 是雙射;（2） g 是 s 到 的雙射，且對每一個 s∈S，f 在 λ^-1（s） 上是單射。

根據AGW準則，我們可以直接得到以下引理，該引理在證明多項式的完全置換性質時被用到。引理 3[18] 設 m，n，t，sj 是正整數，且 m∣n 。令（204號 δ∈Fpn ， b∈Fpm* ， aj∈Fpn ，則 是 Fpn 的一個置換當且僅當 G（x）= 是式（1）中定義的 I 上的置換。

根據引理3，我們可以得出以下引理。

引理4設 m （20號 ，s₁，s₂ 是正整數， δ∈F_2^2m ， a+b∈ 。則 在 F_2^2m 上是一個完全置換多項式當且僅當 在 F_2^2m 上是一個完全置換多項式。

證明把多項式 F₁（x） 改寫成 （204號 aδ 。則 F₁（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式的充分必要條件 a（x^2m+x+δ）+（a+b）x 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

根據引理3，對于任意 θ∈F_2^m ，當 F₂ 時， G₁（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式當且僅當以下2個方程

和

（3）在 F_2^m 中都有唯一的根。

按照同樣的方法也可以證明 F₂（x） 是 F_2^2m 上的完全置換當且僅當式（2）和（3）在 F_2^m 中有唯一根。因此，結論成立。

接下來，我們列出一些引理，這些引理可以用來確定本文中一些方程的根的個數。

引理5[21] 設 m 為正整數， a∈F2m* ，則對于三次方程 x3+x+a=0 有

（1）在 F_2^m 上有唯一的根當且僅當 Tr₁^m（a^-1）≠ Tr₁^m（1） ：

（2）在 F_2^m 上有3個不同的根當且僅當 p_m（a）= 0，其中多項式 p_m（x） 遞歸方程為 p₁（x）=p₂（x）=x ，p_k（x）=p_k-1（x）+x^2k-3p_k-2（x） ， k?3 ；

（3）否則，在 F_2^m 上無根。

引理 6^[22] 設 m 為正整數， c ，d∈F_p^2m 。當 c^pm+1≠ 1時，方程 x^pm-cx+d 在 F_p^2m 中有唯一的根 否則，當 c^pmd+d^pm≠0 時，方程在 F_p^2m 中無根;當 c^pmd+d^pm=0 時，方程在 F_p^2m 中有 p^m 個根。

引理 7^[23] 對于素數 p ，設2個正整數 m，n 滿足 個非負整數 i，j 滿足 gcd（i-j，n）= 1， gcd（i-j，p-1）=1 。那么對于2個給定元素α，β∈F_pⁿ ，如果 α 在 F_p^m 中是 p-1 次冪元，則方程x^pi-αx^pj+β=0 在式（1）中定義的 I 中最多有一個根。

2 有限域 上形如 （204號 的完全置換多項式

在本章中，我們構造了在 F_2^2m 上4種形如（ x^2m+ （204號 的完全置換多項式。

定理1設 m 為正整數， δ，a，b∈F_2^2m，a+b∈ ， （a^2m+b）（a^2m+b+1）≠0 ， s₁∈{2^m+ 2， ， s₂∈{2^m+1+3，3?2^m+2} ，若滿足下列條件之一：

（1） Tr_m^2m（δ）=0 （20號 （2）Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且

則 bx 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

證明根據引理4，只需要證明 s₁=2^m+2 和 s₂= 2^m+1+3 的情形。由引理3 知 F（x） 是 F_2^2m 上的置換當且僅當對于任意 θ∈I=F_2^m ，方程

在 F_2^m 中最多有一個根。此方程等價于

Tr_m^2m（δ）x⁴+（Tr_m^2m（δ）+（Tr_m^2m（δ））³）x²+（Tr_m^2m（δ²）+ （20 （4）

注意到 a+a2m∈F2m ， ， a2m+ （204號 b≠0 ，所以 a2m+b∈F2m* 。

若 Tr_m^2m（δ）=0 ，則式（4）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，在式（4）兩邊同時除以 Tr_m^2m（δ） ，可得

顯然，式（5）在 F_2^m 中最多有一個根當且僅當

在F _2^m 中有唯一根。因此只需要證明

在F 中沒有根。用 替換 x ，則式（6）變為

若

由引理5知該方程在 F_2^m 中沒有根。因此， F（x） 是F_2^2m 上的置換多項式。

同樣地，若 Trm2m（δ）=0 或 Trm2m（δ）∈F2 且 則有 也是 F22m 上的置換多項式。因此，F（x） 是 F22m 上的完全置換多項式。例1設 m=3 。由Magma程序，得到2304個不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 Tr36（δ）=0 且 a+ 這些 （δ，a， b ）使得

F（x）=（x⁸+x+δ）¹⁰+（x⁸+x+δ）¹⁹+ax⁸+bx

是 F_2⁶ 上的完全置換多項式。

定理2設 m 為正整數， ，且滿足 ， s₁∈ （204號 {2^2m-2+ 3?2^m-2， 3?2^2m-2+2^m-2} ， s₂∈{2^2m-2+ 2^m+2^m-2 ， 。若滿足下列條件之一：

（1） （2） Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且

則 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

證明根據引理4，我們只需要證明 s₁=2^2m-2+3 ·2^m-2 和 s₂=2^2m-2+2^m+2^m-2 的情形。由引理3知F（x） 是 F_2^2m 上的置換當且僅當對于任意 θ∈I ，方程

在 F_2^m 中最多有一個根。對式（7）左右兩邊取4次冪，得

即

（8）

若 ，則式（8）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，則式（8）在 F_2^m 中最多有一個根當且僅當

（b⁴+a^2m+2）x⁴+（Tr_m^2m（δ²）+Tr_m^2m（δ⁴））x²+ （Γ（Tr_m^2m（δ））³+（ΓTr_m^2m（δ））⁵）x=0

即

在 F_2^m 中最多有一個根，即

沒有根。用 替換 x ，式（9）化簡為

若 則式（10）在 F_2^m 上無根。因此 F（x） 是 F_2^2m 上的一個置換多項式。

同樣地，若 或 Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且 （2則 F（x）+x 也是 F_2^2m 上的置換多項式。

因此， F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

例2設 m=3 。由Magma程序，可得到4608個不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 且 ， （a23+b）（a23+b+1）≠0 。進而，有2304個不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 且

其中 。這些 （δ，a，b） 使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項式。

定理3設 m 是正整數 δ，a，b∈F_2^2m 且 a+b∈ （204 （a^2m+b）（a^2m+b+1）≠0，F（x）= F（x）=（x^2m+ 。

（1）若 s₁∈{2^m+1+1，2^m+2} ， s₂∈{2^2m-1+ 2^m+1+2 ， 5?2^m-1+2！ ，且滿足下列條件之一：

（a） Tr_m^2m（δ）=0 （b） Tr_m^2m（δ）∈F_2² 且

則 F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

（2）若 s₁∈{3?2^m+2，2^m+1+3}，s₂∈{2^2m-1+ 2^m+1+2 ， 5?2^m-1+2} ，且滿足下列條件之一：

（a） ：（b） Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且

則 F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

證明（1）我們只需要證明 s₁=2^m+1+1 ， s₂= 2^2m-1+2^m+1+2 的情況。利用引理3，證明 F（x） 是F_2^2m 上的置換多項式，只需證明對于任意 θ∈F_2^m ，方程

在 F_2^m 中最多有一個根。由此方程可得

即

式（11）可化簡為

（2 82m+1+2 （12）

若 Tr_m^2m（δ）=0 ，則式（12）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此， F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F_2² ，則式（12）在 F_2^m 中最多有一個根當且僅當

無根。即

在 F_2^m 中沒有根。用 替換x ，式（13）化簡為

由引理5和

可以得到式（14）在 F_2^m 上無根，所以 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式。

同樣地，當 Tr_m^2m（δ）=0 時或者當 Tr_m^2m（δ）∈ F_2² 時且

F（x）+x 是 F_2^2m 上的置換多項式。

因此， F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

（2）我們只需證明 s₁=3?2^m+2 和 s₂=2^2m-1+ 2^m+1+2 的情形。通過引理3，證明 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式只需證明對于任意 θ∈F_2^m ，方程

在 F_2^m 中最多有一個根。由此方程可得

即

顯然，式（15）可化簡為

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，則式（16）在 F_2^m 中有唯一根 ，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式。

若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ ，則式（16）在 F_2^m 中最多有一個根當且僅當

在 F_2^m 中沒有根。用 Tr_m^2m（δ）x 代替 x ，則式（17）變為

若 且 ，得到式（18）在F_2^m 上無根，因此 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式。

同樣地，若 Tr_m^2m（δ）∈F₂ 或 Tr_m^2m（δ）∈F₂ 且滿足條件（2）（b），則 F（x）+x 是 F_2^2m 上的置換多項式。因此， F（x） 是 F_2^2m 上的完全置換多項式。

例3 （1）設 m=2 。由Magma程序，可得到64個不同的三元組 （δ，a，b）∈F243 滿足 Tr24（δ）=0 且 ， （a22+b）（a22+b+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 恰好是所有三元組使得

是 F_2⁴ 上的完全置換多項式。

（2）設 m=3 。由Magma程序，可得到4608個不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 且（20 ， （a23+b）（a23+b+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 恰好是所有三元組使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項式。

定理4設 m 為正整數， δ，a，b∈F_2^2m 且滿足a+b （20號E 。則 是 F_2^2m 上的完全置換多項式當且僅當 Tr_m^2m（δ）=0 。證明 我們只需要證明 s₁=2^m+1 和 s₂=2^m+1+1 的情形。根據引理3， F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式當且僅當對于任意 θ∈F_2^m ，方程

（x+δ）^2m（2m+1）+（x+δ）^2m+1+（x+δ）^{2m（2m+1+1）}+ （204 （x+δ）^2m+1+1+（a^2m+b）x=θ （204

在 F_2^m 中最多有一個根。即

（19）

在 F_2^m 中最多有一個根。

若 Tr_m^2m（δ）=0 ，則式（19）變為

（a^2m+b）x+δ^2m+1+1+δ^2m+2=θ

因為 a2m+b≠0 且 a+b∈F2m* ，所以 a2m+b∈ F2m* 。因此，式（19）在 F2m 中只有唯一根為 （204號 （204號 ， F（x） 是 F22m 上的置換多項式。

反過來，如果 F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式，根據引理3，對于任意 θ∈F_2^m ，式（19）在 F_2^m 中有唯一根。假設 Tr_m^2m（δ）≠0 且 θ=δ^2m+1+1+δ^2m+2 。顯然，式（19）有2個根0和 （204號 ，得到矛盾。因此， F（x） 是 F_2^2m 上的置換多項式當且僅當Tr_m^2m（δ）=0 。

同樣，可以證明 F（x）+x 是 F_2^2m 上的置換多項式當且僅當 Tr_m^2m（δ）=0 結論成立。

例4設 m=3 。由Magma程序，可以得到2304個不同的三元組 （δ，a，b）∈F263 滿足 Tr36（δ）=0 且滿足 a+b ， a+b+1∈F23* ， a23+b，a23+b+1∈ 。每一個三元組都可以使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項式。

3 有限域 上形如 的完全置換多項式

本章我們構造 F_p^2m 上2種形如 的完全置換多項式，其中p 是任意素數。

定理5對于任意素數 p 和2個正整數 i，j ，令δ∈F_p^2m 并滿足 Tr_m^2m（δ）=0，a ， b∈F_p^2m 且 （a+ b） （a+b+1）≠0 。則 F（x）=（x^pm-x+ 是（204號 F_p^2m 上的完全置換多項式當且僅當 （-1）^j+1）（a+b+a^pm+b^pm）-a^pm+1+b^pm+1≠0 且 （20 （b+1）^pm+1≠0 。

證明由于 Tr_m^2m（δ）=0 ，則有 δ^pm=-δ 。因此（x^pm-x+δ）^pm=-（x^pm-x+δ） ，則

$$（-1）^j）x+（（-1）ⁱ+（-1）^j）δ

當 a+（-1）ⁱ+（-1）^j=0 時，因為 a+b≠0 ，我們得到 b-（-1）ⁱ-（-1）^j≠0 。所以， F（x）= （b-（-1）ⁱ-（-1）^j）x+（（-1）ⁱ+（-1）^j）δ 顯然是 F_p^2m 上的置換多項式。

當 a+（-1）ⁱ+（-1）^j≠0 時，假設 F₁（x）= 則 F（x）=（a+（-1）ⁱ+（-1）^j）F₁（x） ， F（x） 是F_p^2m 上的置換當且僅當 F₁（x） 是 F_p^2m 上的置換。根據引理6，可以得到 F（x） 是 F_p^2m 上的置換當且僅當

式（20）等價于

當 a+（-1）ⁱ+（-1）^j≠0 時，有 （-1）^j+1 ） （a+b+a^pm+b^pm）-a^pm+1+b^pm+1≠0 。另外，當 a+（-1）ⁱ+（-1）^j=0 時， （204 也成立。

因此， F（x） 是 F_p^2m 上的置換當且僅當 （（-1）ⁱ⁺¹+ （-1）^j+1）（a+b+a^pm+b^pm）-a^pm+1+b^pm+1≠0 。

類似地，可以證明 F（x）+x 是 F_p^2m 上的置換多項式當且僅當（ （-1）ⁱ⁺¹+（-1）^j+1 ） （2+a+b+ a^pm+b^pm）-a^pm+1+（b+1）^pm+1≠0 。

例5（1）設 p=3 ， m=2 ， i=3 ， j=2 。通過Magma我們可以得到45441個不同的三元組（ Ωδ ，a，b）∈F343 滿足 Tr24（δ）=0 且 （a+b）（a+b+1）≠0 b10-a10≠0 ！ （b+1）10-a10≠0 。這些 （δ，a，b） （24使得

F（x）=（x⁹-x+δ）²⁵+（x⁹-x+δ）¹⁷+ax⁹+bx 是 F_3⁴ 上的完全置換多項式。

（2）設 p=2 ， m=2 ， i=4，j=3 。通過Magma我們可以得到496個不同的三元組 （δ，a，b） （2∈F243 滿足 Tr24（δ）=0 且 （a+b）（a+b+1）≠0 ，（2號 b5-a5≠0 ， （b+1）5-a5≠0 。這些 （δ，a，b） （20使得

F（x）=（x⁴-x+δ）¹³+（x⁴-x+δ）¹⁰+ax⁴+bx 是 F_2⁴ 上的完全置換多項式。

定理6對于任意素數 p 和2個正整數 j，l ，令δ∈Fp2n，a，b∈Fp2m* 且 a+b ， a+b+1∈Fpm* 。則 F（x）=（xpm-x+δ）l（pm+1）+pj+（xpm-x+δ）l（pm-1）+pj δ）l（pm+1）+pm+j+axpm+bx 是 Fp2m 上的完全置換多項式當且僅當 （b-apm）（b-apm+1）≠0 。

證明根據引理3， F（x） 是 F_p^2m 上的置換多項式當且僅當對任意 θ∈I ，方程

（204號 （20號 δ）^{l（p2m+pm）+p2m+j}-（x+δ）^{l（pm+1）+pm+j}+（b-a^pm）x=θ 在 I 中恰好有一個根。該方程可以簡化為 Ω（b←Ω） a^pm）x=θ 。顯然，當且僅當 b-a^pm≠0 時，方程在I 中只有一個根。因此， F（x） 是一個置換多項式當且僅當 b-a^pm≠0 。

同樣，可以證明 F（x）+x 是置換多項式當且僅當 b-a^pm+1≠0 。證畢。

例6（1）設 p=2 ， m=2 ， l=1，j=2 。通過Magma程序可以得到192個不同的三元組 （δ，a ，b λ）∈F24×F24*×F24* 滿足 a+b ， a+b+1∈F22* 且（b-a22）（b-a22+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 使得

F（x）=（x⁴-x+δ）⁹+（x⁴-x+δ）²¹+ax⁴+bx 是 F_2⁴ 上的完全置換多項式。

（2）設 p=3 ， m=2 ， l=2，j=3 。通過Magma程序可以得到2196個不同的三元組 （δ ，a，b）∈F34×F34*×F34* 滿足 a+b ， a+b+1∈F32* 且 （b-a32）（b-a32+1）≠0 。這些 （δ，a，b） 使得

F（x）=（x⁹-x+δ）⁴⁷+（x⁹-x+δ）²⁴³+ax⁹+bx 是 F_3⁴ 上的完全置換多項式。

X 有限域 上形如 的完全置換多項式

下面，我們構造 F_2^3m 上形如 的完全置換多項式。

定理7設正整數 m ， i 滿足gcd （jm+i，3m）=1 j∈{0，1，2}，δ∈F23m，a∈F2m，b，b+1∈F2m* 且 （a+b）（a+b+1）≠0 ，則 F（x）=（x2m+ bx 是 F23m 上的完全置換多項式。

證明對于不同的 j ，我們可以用同樣的方法證明相應的結論。下面只證明 j=0 的情況， F（x） 可以寫成

顯然， F（x） 是 F_2^3m 上的完全置換多項式當且僅當

是 F_2^3m 上的完全置換多項式。

根據引理3， G（x） 是置換多項式當且僅當對于任意 θ∈I ，

在 I 中最多有一個根。式（21）等價于

Tr_m^3m（δ）x²ⁱ+（（Tr_m^3m（δ））²ⁱ+a+b）x=θ+ δ^22m+i+1+δ^2m+i+1+δ^22m+2i+δ^2m+2i+aδ^2m+aδ^22m

若 Tr_m^3m（δ）=0 ，則有 （a+b）x=θ+δ^22m+i+1+ δ^2m+i+1+δ^22m+2i+δ^2m+2i+aδ^22m+aδ^22m ，該方程在 I 中有唯一根，因此 F（x） 是 F_2^3m 上的置換多項式。

若 Tr_m^3m（δ）≠0 ，則式（21）變為

其中 A=θ+δ^22m+i+1+δ^2m+i+1+δ^22m+2i+δ^2m+2i+ aδ^2m+aδ^22m 。由于 gcd（jm+i，3m）=1 ，根據引理7，式（22）在 I 中最多有一個根。因此 F（x） 是F_2^3m 上的置換多項式。同樣，我們可以證明 F（x）+x 是 F_2^3m 上的置換多項式。證畢。

例7設 j=0 ， m=2 ， i=1 。通過Magma 程序可以得到256個不同的三元組 F22×F22* 滿足 b，b+1∈F22* 且 （a+b）（a+b+1）≠ 0。這些 （δ，a，b） 使得

（20 ax⁴+bx （204

是 F_2⁶ 上的完全置換多項式。

定理8設 m 為正整數， δ∈F_2^3m 且滿足 Tr_m^3m（δ）=0 。令 a∈F_2^m ， 滿足 （a+b）（a+b+） （204 1）≠0 ，則 x+δ）^22m+2m+1+ax^22m+ax^2m+bx 是 F_2^3m 上的完全置換多項式。

證明根據引理3，證明 F（x） 在 F_2^3m 是一個置換多項式等價于證明對于任何 θ∈I ，方程

（x+δ）^22m+2m+1+（a+b）x=θ

在 I 中恰好有一個根。因為 Tr_m^3m（δ）=0 ，所以 （204號式（23）左端變成

顯然，當 a+b≠0 時， （a+b）x=θ 在 I 中有唯一的根。因此， F（x） 是 F_2^3m 上的完全置換多項式。同樣地，當 a+b+1≠0 時，也可證明 F（x）+x 是F_2^3m 上的置換多項式。證畢。

例8設 m=2 。可以驗證有64個不同的三元組（δ，a，b）∈F26×F22×F22* 滿足 ，（a+b）（a+b+1）≠0 且 Tr26（δ）=0. 這些 （δ，a，b） 使得

是 F_2⁶ 上的完全置換多項式。

定理9設 m 為正整數， δ∈F_2^3m ， a∈F_2^m，b，b+ ，則 F（x）=（x^2m+x+δ）^2m+1+（x^2m+x+δ δ）^22m+2m+ax^22m+ax^2m+bx 是 F_2^3m 上的完全置換多項式。

證明根據引理3，只需要證明對于任何 θ∈I ，方程 （x+δ）^2m（2m+1）+（x+δ）^2m+1+（x+δ）^{2m（22m+2m）} （204 +（x+δ）^22m+2m+（a+b）x=θ 在 I 中恰好有一個根。該方程可改寫為

即

x²+（Tr_m^3m（δ）+a+b）x=θ+δ^2m+1+δ^22m+1

根據引理7，式（24）在 I 中最多有一個根。因此，F（x） 是 F_2^3m 上的置換多項式。

類似地，可以證明 F（x）+x 也是 F_2^3m 上的置換。因此， F（x） 是 F_2^3m 上的完全置換多項式。

例9設 m=3 。利用Magma可以得到24576個不同的三元組 （δ，a，b）∈F29×F23×F23* 且滿足 b ，b+1∈F23* 。這些 （δ，a，b） 使得 x+δ）9+（x8+x+δ）9+ax64+ax8+bx 是 F29 上的完全置換多項式。

5結語

本文利用AGW準則和特定方程根數的確定方法，在有限域 F_pⁿ 上構造了9類形如 （x^pm-x+ 的完全置換多項式，其中 L（x） 為線性化多項式。這一成果豐富了有限域上完全置換多項式理論，我們將進一步拓展該領域的研究成果。

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（責任編輯：周曉南）

Construction of Complete Permutation Polynomials overtheFinite Field F_pⁿ

ZHANG Weiguang'，LIU Xianping*1，XU Xiaofang2 （1. School of Mathematics and Statistics，Hubei Minzu University，Enshi 445o0O，China; 2.School of Mathematics and Physics，Hubei Polytechnic University，Huangshi 435oO3，China）

Abstract：In recent years，complete permutation polynomialsover F_pⁿ have attracted the attention of many scholars in the fields of mathematics and cryptography.In this paper，using the AGW criterion and deter-mining the number of roots of some specific equations，we construct nine types of complete permutation polynomials with the form over F_pⁿ ，where L（x） are linearized polynomials over F_pⁿ Keywords ： permutation polynomial; complete permutation polynomial; AGW criterion ; finite field