中圖分類號：O174.2 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1011-07

Boundedness of Parameterized Marcinkiewicz Integrals with Rough Kernels on Central Morrey Spaces with Variable Exponent

YANG Yanqi，YANG Lulu，TAO Shuangping （College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 73007o， China）

Abstract： By using the function decomposition of the central Morrey spaces with variable exponent and hierarchical estimation methods，and with the help of the boundedness of the parameterized Marcinkiewicz integral operators with rough kernels on the Lebesgue spaces with variable exponent， we gave the boundedness on the central Morrey spaces with variable exponent.

Keywords： parameterized Marcinkiewicz integral； central Morrey spaces with variable exponent; boundedness;rough kernel

目前關于Marcinkiewicz積分在一些經典函數空間上的有界性研究已有很多結果．例如：Stein[1]首次提出了 Rⁿ 上與 Littlewood-Paley g. -函數相關的Marcinkiewicz積分，并證明了它是 （?_P，?_P） 型（1 且連續可微時，Benedek等2證明了 μ_Ω^ρ 是 （Π_P，Φ） 型；Ding等3證明了一類具有粗糙核的Marcinkiewicz積分的加權 L^p 有界性；Ding等4證明了Hardy空間上的Marcinkiewicz 積分的 L^ρ 有界性；陳冬香等[5證明了當 Ω∈Lip_β（S^n-1） 0 （0lt;β?1） 時，由Marcinkiewicz積分和Lipschitz 生成的交換子從Lebesgue空間到 Triebel-Lizorkin 空間是有界的；Chen 等[6]證明了當 是粗糙核時，Marcinkiewicz 積分算子在Herz 空間上是有界的；陸善鎮等[7]證明了當Ω∈L¹（S^n-1） 是 Rⁿ 上的零次齊次函數且滿足 條件時，Marcinkiewicz積分交換子是從Lebesgue空間到Triebel-Lizorkin空間有界的；王洪彬等[8]證明了當 Ω∈Lip_β（S^n-1） ） （0lt;β?1） 是零次齊次函數且 時，Marcinkiewicz 積分及其交換子在變指標 Lebesgue 空間上的有界性；

Wang^[9] 證明了當 Ω∈Lip_β（S^n-1）（0lt;β?1） 時，Marcinkiewicz積分算子及其交換子從變指標Herz-Hardy空間到變指標Herz空間是有界的；王洪彬[10]證明了當 Ω∈Lip_β（S^n-1） 0 0lt;β?1/2） 時，Marcinkiewicz 積分算子從變指標 Herz-Hardy空間到變指標 Herz空間是有界的；陶雙平等[]證明了當 Ω∈Lip_β（S^n-1） （ _0lt;β?1） 時，Marcinkiewicz 積分算子及其交換子在變指標Morrey空間上是有界的；張愛翠等[12]研究了一類帶粗糙核的參數型Marcinkiewicz 積分算子與 BMO（Rⁿ） 函數生成的交換子 μ_Ω，b^ρ 在齊次Morrey-Herz 空間 上的有界性；韋營營等[13]證明了Marcinkiewicz 積分交換子在變指標 Herz Triebel-Lizorkin 空間上的有界性．Mizuta 等[14]引人了變指數非齊次中心 Morrey 空間； Fu 等[15]引人了變指數中心BMO空間和中心Morrey 空間，并研究了某些經典算子的有界性.

受上述研究結果的啟發，本文研究參數型 Marcinkiewicz積分算子在變指數中心Morrey空間上的有界性．本文 C 表示與參數無關的常數，在不同之處可取不同值．用 |A| 和 χ_A 分別表示可測集合A?Rⁿ 的 Lebesgue 測度及其上的特征函數，符號 f≈_g 表示存在常數 C₁ C₂gt;0 ，使得 C₁g?f?C₂g

1預備知識

空間 L_loc^ρ（??）（Rⁿ） 定義為 ，緊致子集 .記 （204 （0，∞） ，則

集合 P（Rⁿ） 包含所有滿足 ?^-gt;1 和 p⁺lt;∞ 的 _p（?） ； P₀（Rⁿ） 包含所有滿足 p^-gt;0 和 p⁺lt;∞ 的_p^′（?） ．對于 p^（?）∈P₀（Rⁿ） ，類似可定義空間 p^′（?） ．記 p^′（?） 為 _p^′（?） 的共軛指數，即 1/ρ^′（??）=1 ·

設 L_loc¹（Rⁿ） 是 Rⁿ 上所有局部可積函數的集合，給定一個函數 f∈L_loc¹（Rⁿ） ，則Hardy-Littlewood極大算子 M 定義為

這里

定義 1^[15] 設 _p（?） 是定義在 Rⁿ 上取值于 [1，∞） 內的可測函數，則變指數Lebesgue 空間 定義為

顯然 是一個Banach 函數空間，其中

定義 2^[15] 設 q（α?α）∈P（Rⁿ），λ∈R ，則變指數中心Morrey空間定義為

其中

定義3[16] 給定函數 p^（?）：ΩRⁿ ，若存在常數 Cgt;0 ，使得

成立，則稱 _p^′（???） 是局部log-Holder連續的，并記 p（?）∈LH₀ ．若存在 cgt;0 ，使得對所有的 x∈Rⁿ ，有

則稱 _p^′（?） 在原點處是log-Holder連續的．當集合 無界時，若存在常數 cgt;0 和 _p∞∈R ，使得

成立，則稱 _p（?） 在無窮遠處log-Holder連續，并記 p（??）∈LH_∞ ．若 ，則稱_p^′（?） 是全局log-Holder連續的，并記 ·

下列條件與條件（3）等價：

當集合 有界時，易驗證條件（1）蘊含條件（4）.

定義 4^[12] 設 S^n-1 為 Rⁿ（n）^≥2 ）上具有標準Lebesgue 測度的單位球面， Ω∈L¹（R^n-1） 是零次齊次函數，且滿足

其中 ， x≠0 ，帶粗糙核的參數型 Marcinkiewicz 積分算子定義為

其中

引理1（廣義H?lder不等式）[17] 設

1）對任意的 f∈L^ρ（?）（Rⁿ） ， g∈L^′（?）（Rⁿ） ，有

其中

2）對任意的 ，若 p2（x），則

其中

引理 2^[18] 設 p（?θ）∈B（Rⁿ） ，則存在常數 Cgt;0 ，使得對任意的球 B∈Rⁿ ，有

引理 3^[18] 若 ，則存在常數 δ₁，δ₂，Cgt;0 ，使得對所有的球 B?Rⁿ 以及可測集S?B ，有

引理 4^[19] 設 γ（?）∈P（Rⁿ）?LH ，則對每個立方體（或球體） Q?Rⁿ ，有

其中 p（∞）=lim_x∞?p（x）

2 主要結果

定理1設 Ω∈L^s（S^n-1） ，其中 1?slt;∞ ， ， μ_Ω^ρ 是一個參數型的 Marcinkiewicz 積分算

子，假設

則 μ_Ω^ρ 是從 到 的有界算子.

對任意給定的 Rgt;0 ，記 B（0，R） 為 B ，要證明定理1，只需證明：

其中 C 是一個與 R 無關的常數，

證明：首先，將 f（x） 分解為 f₁ 和 f₂ 兩部分： f₁=fχ_2B ， f₂=fχ_（2B）c ．利用 Minkowski不等式，記 （20

對于 I₁ ，由于 μ_Ω^ρ 是從 L^{ρ（Ω?Ω）}（Rⁿ） 到 L^{ρ（Ω?Ω）}（Rⁿ） 有界的[20]．因此由 引理4，可得

其中

下面估計 I₂ ，記

利用Minkowski不等式，可得

當 x∈B ， ， k∈N^* 時，有

因此

從而可得

其中

對于 x∈B 及 y∈2^k+1B ， x^-y∈2^k+2B .由 是零次齊次的且 Ω∈L^s（S^n-1） ，可得

因此，有

$$

當 ∣2^k+1B∣?2ⁿ ， x∈2^k+1B 時，由引理4和 ，有

當 ∣2^k+1B∣?1 時，有

因此

下面估計 J₂ ．利用Minkowski不等式，有

因此

于是有

結合 I₁ 和 I₂ 的估計，有

則

證畢.

參考文獻

[1]STEIN E M. On the Functions of Litlewood-Plaey，Lusin and Marcinkiewicz[J].Trans Amer Math Soc，1958，88（2）：430-466.

[2]BENEDEK A， CALDERON A P，PANZONE R. Convolution Operators on Banach Space Valued Functions [J].Proc NatAcad Sci，1962，48（3）：356-365.

[3]DING Y，FAN D S，PAN YB. Weighted Boundednessfor a Classof Rough Marcinkiewicz Integrals [J]. IndianaUnivMathJ，1999，48（3）：1037-1055.

[4]DING Y，FANDS，PANY B. L^p Boundedness of Marcinkiewicz Integrals with Hardy Space Kernel [J]. ActaMath Sin（Eng Ser），2000，16（4）：593-600.

[5］陳冬香，王婭昕．Marcinkiewicz 交換子在 Triebel-Lizorkin空間中的有界性［J]．浙江大學學報（理學版），2003，30（5）：481-484. （CHEN D X，WANG Y X. Boundedness of the Commutators for the Marcinkiewicz Integral inTriebel-Lizorkin Space[J]. Journal of Zhejiang University （Science Edition），2003，30（5）： 481-484.）

[6]CHEN D X，CHEN JC. Boundedness of Marcinkiewicz Integrals with Rough Kernel on Herz Space [J]．AdvMath（China），2005，34（5）：591-599.

[7]陸善鎮，默會霞．Marcinkiewicz積分交換子的有界性［J]．數學學報（中文版），2006，49（3）：481-490.（LU SZ，MO H X. The Boundedness of Commutators for the Marcinkiewicz Integrals [J]. Acta Mathematica Sinca（ChineseSeries），2006，49（3）：481-490.）

[8］王洪彬，傅尊偉，劉宗光．變指標Lebesgue 空間上的 Marcinkiewicz 積分高階交換子［J]．數學物理學報，2012，32A（6）：1092-1101. （WANG HB，FU Z W，LIU ZG. Higher-Order Commutators of Marcinkiewicz Integral onVariable Lebesgue Spaces [J]. Acta Mathematica Scientia，2012，32A（6）：1092-1101.）

[ 9]WANG L W. Marcinkiewicz Integrals Operators and Commutators on Herz Spaces with Variable Exponents [J].JFunct Spaces，2014，2014：430365-1-430365-9.

[10］王洪彬．變指標 Herz型 Hardy 空間上的 Marcinkiewicz 積分[J]．山東理工大學學報（自然科學版），2015，29（4）：16-20. （WANG H B. Marcinkiewicz Integrals on Herz-Type Hardy Spaces with Variable Exponent [J].Journal of Shandong University of Technology （Natural Science Edition），2O15，29（4）：16-20.）

[11］陶雙平，李露露．變指標 Morrey空間上的 Marcinkiewicz積分及交換子的有界性［J]．數學年刊（A輯），2016，37（1）： 55-7o. （TAO S P，LI L L. Boundedness of Marcinkiewicz Integrals and Commutators on Morrey Spaceswith Variable Exponents [J]. Chinese Annals of Mathematics （Series A），2O16，37（1）： 55-70.）

[12]張愛翠，陳金陽，王松柏，等．帶粗糙核的參數型 Marcinkiewicz 積分交換子在齊次 Morrey-Herz 空間上的有界性[J].應用數學，2018，31（1）：141-147.（ZHANG A C，CHEN JY，WANG S B，et al. Boundedness ofCommutators of the Parametric Marcinkiewicz Integral with Rough Kernels on the Homogeneous Morrey-HerzSpaces [J].Mathematica Applicata，2018，31（1）：141-147.）

[13］韋營營，張婧．Marcinkiewicz 積分交換子在變指標 Herz Triebel-Lizorkin 空間的有界性[J]．山東大學學報（理學版），2022，57（12）： 55-63.（WEI Y Y，ZHANG J. Boundedness of Commutators for the MarcinkiewiczIntegral Operators on Herz Triebel-Lizorkin Spaces with Variable Exponent [J].Journal of Shandong University（Natural Science），2022，57（12）：55-63.）

[14]MIZUTA Y，OHNO T，SHIMOMURA T. Boundedness of Maximal Operators and Sobolev's Theorem forNon-homogeneous Central Morrey Spaces of Variable Exponent [J].Hokkaido Math J，2O15，44（2）：185-201.

[15]FU Z W，LUS Z，WANG H B，et al. Singular Integral Operators with Rough Kernels on Central Morrey Spaceswith Variable Exponent [J]. Ann Acad Sci Fenn Math，2019，44（1）：505-522.

[16]NEKVINDA A. Hardy-Litlewood Maximal Operator on L^p（x） （R）[J]．Math Inequal Appl，2004，7（2）：255-266.

[17] KOVACIK O，RAKOSNIK J. On Spaces L^p（x） and W^k，p（x） [J].Czechoslovak Math J，1991，41（4）： 592-618.

[18] IZUKI M. Boundedness of Sublinear Operators on Herz Spaces with Variable Exponent and Application toWavelet Characterization [J]. Anal Math，2010，36（1）：33-50.

[19] WANG H B，XU J S，TAN J. Boundedness of Multilinear Singular Integrals on Central Morrey Spaces withVariable Exponents[J]. Front Math China，2020，15（5）：1011-1034.

[20]WANG H B，YAN D Y. Higher-Order Commutators of Parametric Marcinkiewicz Integrals on Herz Spaces withVariable Exponent [J]. JFunc Spaces，2018，2018（1）：7319093-1-7319093-11.

（責任編輯：趙立芹）