基于中學與大學聯系的視角解析“函數的零點與方程的解”

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0009-06引用格式：基于中學與大學聯系的視角解析“函數的零點與方程的解”[J]。中國數學教育（高中版），2025（6）：9-14.

一、引言

1924年，德國著名數學家F.克萊因（F.Klein）在其著作《高觀點下的初等數學》中提出了雙重不連續性現象，即大學生感到大學數學與中學數學無關，而中學教師難以在中學數學教學中應用大學數學知識．自此之后，數學家和數學教育工作者開始關注中學數學和大學數學的雙向聯系，旨在打破隔閡、建立連貫的數學體系．荷蘭數學家、教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal）在《作為教育任務的數學》中提出，數學是系統化的常識．美國教育心理學家布魯納（J.Bruner）認為，數學教育應當從計算性向結構性轉變，建立數學對象之間的聯系，這是把握數學的結構性、認識數學的整體性的關鍵途徑．關于數學聯系，不同的學者有不同的認識.例如，文獻[6]和文獻[7]認為，數學聯系是建立兩個或多個觀點、概念、定義、定理、程序、表現和意義之間的聯系，或數學與其他學科、現實生活之間的聯系的認知過程，并將數學聯系分為程序性、意義、不同表示、部分一整體、隱喻等類型．總之，數學聯系不僅包括知識上的銜接，還包含內容、方法和思想等多個方面.

“函數的零點與方程的解”既是高中數學的重要內容，又是大學數學的基礎內容．在高中數學中，介紹函數零點存在定理和二分法主要是為了研究無法用公式求解的方程（如包含指數和對數的方程、高次多項式方程等）.在大學數學中，函數零點存在定理是分析學中的重要定理，可以用于證明若干個存在性定理，如拉格朗日中值定理等；二分法既是函數零點存在定理的直接和重要應用，又是數值分析中的重要方法，這體現了高中數學和大學數學在知識層面上的銜接，二分法涉及算法和程序，與計算機和數學建模高度相關；函數零點的概念構建了函數、方程、函數圖象之間的聯系；函數零點存在定理可以引發學生對充分性與必要性、存在性與唯一性的一般化思考；等等．因此，這種聯系性并非知識的線性銜接，而是相互交織的網狀結構．筆者旨在通過分析“函數的零點與方程的解”的重點，揭示其與大學數學中的實數完備理論、牛頓迭代法等內容的聯系，為高中階段的數學教學提供一種新視角.

二、基于高中數學視角解析“函數的零點與方程的解”

1．內容要求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）對“函數的零點與方程的解”的要求為：結合學過的函數圖象，了解函數零點與方程解的關系；結合具體連續函數及其圖象的特點，了解函數零點存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.

2.對相關內容的理解

“函數的零點與方程的解”主要是為了解決一個重要問題，即研究無法用公式求解的方程．為此，高中數學引入零點的概念，利用函數零點存在定理研究方程解的存在性，利用二分法求方程的近似解，

在函數零點的概念和性質中，要注意結構性和計算性的平衡，不僅要求學生掌握求函數零點的方法（計算性），還應該以“方程 f（x）=0 的解 ? 函數y=f（x） 的零點 ? 函數 y=f（x） 的圖象與 x 軸交點的橫坐標”這一等價關系為中心，建立函數、方程、函數圖象之間的聯系（結構性）.

下面，先給出函數零點存在定理

定理（函數零點存在定理）：若函數 y=f（x） 在區間 內連續，且 f（a）f（b）lt;0 ，則函數 y=f（x） 在區間 內至少有一個零點，即存在 ，使得 f（c）=0 ，這個 c 就是方程 f（x）=0 的解.

觀察上述定理，可以發現：定理只有充分性，沒有必要性；函數零點只有存在性，沒有唯一性；定理要求函數的連續性．因此，對于高中的函數零點存在定理，有如下思考：論證定理具有充分性，舉例說明定理不具有必要性；論證零點存在，舉例說明零點不唯一，探究零點唯一時需要添加的條件；論證當函數連續時，定理成立，舉例說明當函數不連續時，定理不成立.這體現了“結論不成立一舉反例一添加條件使結論成立”這一研究問題的常用范式.

值得注意的是，函數零點存在定理的證明依賴實數完備理論和連續函數的性質.由于高中數學尚未引入極限理論，實數完備理論和連續函數的性質都無法進行說明．因此，函數零點存在定理在高中階段無法進行嚴格證明.在高中階段該定理的教學中，教師應當采用舉例（包含正例和反例）的方法，讓學生建立對連續函數、函數零點存在定理的直觀的、準確的認識.

在二分法的教學中，教師應該關注二分法與函數零點存在定理的聯系，體會函數零點存在定理在二分法中的作用，深化學生對函數零點存在定理的理解.

3.高中數學教材中相關內容的呈現與分析

在適配《標準》的高中數學教材中，“函數的零點與方程的解”分為三個部分，分別是：函數零點的概念和性質；函數零點存在定理及其應用；二分法及其應用.下面，筆者分別呈現人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）、人教B版教材和北師大版教材中有關“函數的零點與方程的解”的具體編排特點，并分析其目的.

（1）關于函數零點的教材呈現與分析.

在“函數的零點與方程的解”中，最先出現的問題就是：我們為什么要引入函數零點的概念？人教A版教材提出：“我們已經學習了用二次函數的觀點認識一元二次方程，知道一元二次方程的實數根就是相應二次函數的零點，像 這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應的函數研究它的解的情況呢？”這段內容包含了兩個重要觀點：引入函數零點的目的是研究不能用公式求解的方程；具體方法是研究方程所對應函數的性質．在引人零點的概念時，人教A版教材就指出了函數與方程之間的聯系.

人教A版教材和北師大版教材均將“函數的零點與方程的解”一節置于“對數函數”這節內容之后，指數方程、對數方程正是不能用公式求解的方程，恰好體現了運用函數方法研究方程的必要性和優越性.而人教B版教材將該部分內容置于第三章“函數”中，重點是研究函數與方程、不等式之間的關系，而非函數零點存在定理和二分法.

函數零點內容的重點是建立函數、方程、函數圖象之間的聯系，進而用函數思想解決方程問題．人教A版教材指出：“方程 f（x）=0 有實數解 ? 函數 y=f（x） 有零點 ? 函數 y=f（x） 的圖象與 x 軸有公共點.”這建立了函數、方程、函數圖象之間的等價關系．人教B版教材指出：“依照零點的定義可知，求函數 y=f（x） 的零點，實質上就是要解方程 f（x）=0 ，而且只要得到了這個方程的解集，就可以知道函數圖象與 x 軸的交點，再根據函數的性質等，就能得到類似 f（x）gt;0 等不等式的解集.”這一表達涉及函數、方程、函數圖象三者之間的關系，但是沒有以等價的形式進行呈現，而求解類似 f（x）gt;0 的不等式，實則是這種等價關系的一個應用．教學中，若先強調函數、方程、函數圖象之間的等價關系，再介紹求解類似 f（x）gt;0 的不等式的方法，效果更佳.

（2）關于函數零點存在定理和二分法的教材呈現與分析.

前文已經提到了函數零點存在定理的三個特點，即定理沒有必要性、零點不唯一、定理要求函數的連續性.

北師大版教材提出：“當 f（a）f（b）gt;0 時，方程f（x）=0 也可能有解，如圖1．所以 f（a）f（b）lt;0 是方程 f（x）=0 在區間 內有解的充分條件而非必要條件.”這就說明了函數零點存在定理的非必要性.

圖1

人教A版教材則通過設置問題“為什么由圖2和f（2）f（3）lt;0 還不能說明函數 f（x） 只有一個零點？你能證明函數 y=f（x） 是增函數嗎？”（此處 2x-6 ）來說明定理中零點不唯一，既指出了零點不唯一，又引導學生探究零點唯一時需要增加的條件，即單調性，但依然缺少一個步驟，即給出一個零點不唯一的例子.

圖2

對于函數連續性的要求，人教B版教材指出：“一般地，解析式是多項式的函數的圖象都是連續不斷的．需要注意的是，反比例函數 的圖象不是連續不斷的.”同時，給出了連續函數和不連續函數的例子.依照函數零點存在定理求出 f（a）f（b）lt;0（a 并非定義域的子集，此時討論 內是否存在零點，學生可能存在一些疑惑，在教學中若用分段函數再舉一個例子說明，效果更佳.

上述定理的三個特點也可以用例題、習題等形式呈現.

在二分法這一內容中，上述三版教材的呈現方式一致，均為先用例子給出二分法求方程近似解的具體方法再給出精確度的概念，最后建立對算法和程序概念的初步認識.

三、基于大學數學視角解析“函數的零點與方程的解”

1.大學數學視角下的函數零點存在定理

高中數學并未給出函數零點存在定理的證明，是因為該定理的證明不僅需要使用連續函數的性質，還需要使用實數完備性的若干等價命題（確界原理、單調有界定理、列緊性原理、閉區間套定理、有限覆蓋定理、柯西收斂準則）．下面，筆者利用確界原理給出函數零點存在定理的一個證明，在此證明過程中，還需要用到連續函數的局部保號性，具體如下.

性質（連續函數的局部保號性）：設函數 f（x） 在x=x₀ 的鄰域連續，且 f（x₀）gt;0 （或 f（x₀）lt;0 ），則存在 x₀ 的一個鄰域 ，使得 ?x∈ ， f（x）gt;0 （或 f（x）lt;0 ）

定理（確界原理）：設 s 是非空數集，若 s 有上（下）界，則 s 有上（下）確界，記為 supS （ infS ）

函數零點存在定理的證明如下.

證明：設函數 f（x） 在 [a，b] 內連續，且滿足 f（a） 1 f（b）lt;0 ．不妨設 f（a）lt;0，f（b）gt;0

記

由 b∈S 和 ，知 s 非空且有下界 α_a ：

由確界原理知， s 有下確界，記為 x₀：=infS ·

因為 f（a）lt;0 ，由連續函數的局部保號性，知存在 δgt;0 ，使得當 時， f（x）lt;0 ：

這說明 x₀≠a ，同理 x₀≠b ·所以

下證 ：

假設 f（x₀）gt;0 ，由連續函數的局部保號性，知存在 δgt;0 ，使得當 x∈[x₀-δ] ， x₀J 時， f（x）gt;0 ，與 x₀= infS 矛盾.

所以 f（x₀）?0 ，同理 f（x₀）?0

故 f（x₀）=0 ·

可以看出，盡管函數零點存在定理的證明比較簡潔，但在此過程中用到了實數的完備性（確界原理），故該證明過程并不初等．那么，為什么證明時必須用到實數的完備性呢？能否繞過實數的完備性來證明函數零點存在定理呢？答案是否定的.

下面，筆者用一個比喻進行說明.

設想我們要從 x 軸下方的點A走到 x 軸上方的點 B 是否一定會經過 x 軸？若步子夠大，就可以一步“跨”過 x 軸；若 x 軸有縫隙，就可以“鉆”過縫隙，也不必經過 x 軸．然而，函數零點存在定理要求了函數的連續性，即不允許“跨”過 x 軸．而實數的完備性，實際就是說明實數沒有縫隙（任一收斂實數列的極限依然是實數），即無法“鉆”過縫隙．因此，我們一定會經過 x 軸．這就說明了實數的完備性是證明函數零點存在定理的一個本質要求.

由于實數的完備性是由極限理論刻畫的，所以直接將函數零點存在定理的證明“下放”至高中既不合理也不可能．甚至，因其抽象程度較高，即使大學生在最初學習該內容時也存在理解上的困難.高中教師如果能夠完成函數零點存在定理的證明，可以增加自身對該定理的認識.

函數零點存在定理既是高中教材中首次出現的高等數學定理（之所以稱為“高等數學定理”，是因為該內容涉及極限），又是分析學中的重要定理．許多存在性定理，如介值定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式等，都需要應用函數零點存在定理才能證明（它們的本質都是構造一個滿足零點存在定理條件的函數）.由此可見，函數零點存在定理是高中數學與大學數學銜接的重要一環，在高中階段，學生對函數零點存在定理產生準確、直觀的認識，有助于后續微積分、數學分析等課程的學習.

2.大學數學視角下的求方程的近似解

在建立了實數完備理論后，我們對二分法也有了深刻的理解．下面，先給出如下閉區間套的定義和定理.

定義：設閉區間列 滿足：

[a_n，b_n]?[a_n+1，b_n+1]，n=1，2，…;

（2） 則稱 為閉區間套.

定理（閉區間套定理）：若 是一個閉區間套，則存在唯一實數 ξ ，使得 ， n=1 ，2，…即存在唯一的實數 ξ 包含于每個閉區間.

事實上，閉區間套定理與前文的確界原理等價，在了解閉區間套定理后，可以發現按照二分法縮小解的范圍的過程，本質上就是取出一個閉區間套的過程．由閉區間套定理，知存在唯一的實數 ξ 屬于每個閉區間，實數 ξ 即為函數的零點.

高中階段只介紹了求方程近似解的一種方法二分法，其優勢為：算法簡單，容易掌握；由函數零點存在定理可以保證近似解總是收斂的，然而，二分法求方程的解也存在以下局限性：一次迭代只能將解的范圍縮小一半，收斂速度慢；只適用于零點的鄰域內函數值異號的情形，如多項式方程的偶數重根就無法應用二分法進行求解.

為解決上述局限，大學數學中介紹了另外一種方法，即牛頓迭代法，具體如下.

設方程 f（x）=0 的一個近似解 x_k 滿足 f^′（x_k）≠0 ，

將函數 f（x） 在點 x_k 展開，有 f（x）≈f（x_k）+f^′（x_k）（x-x_k）

于是方程 f（x）=0 可以近似表示為 f（x_k）+f^′（x_k）（x-x_k）=

0．這是一個線性方程，記其解為 x_k+1 ，則 x_k+1 的計算

公式為 k=0 ，1，（2號

牛頓迭代法有一個明顯的幾何解釋，如圖3， y= 的圖象實際上就是 f（x） 在 x_k 處的切線，該切線與 x 軸的交點就是新的近似值 x_k+1 .由此可以看出，經過一次迭代，新的近似值 x_k+1 確實比x_k 更靠近方程的真實解 x^* ．基于這種思想，牛頓迭代法也被稱為切線法.

牛頓迭代法也存在局限性，因其迭代過程中要求f^′（x_k）≠0 ，故對函數的局部光滑性有要求，即要求函數在零點的鄰域內導數存在且不為0.

由于牛頓迭代法中應用了導數，所以自然不能在學習“函數的零點與方程的解”時就進行介紹，但在講授導數的應用時，牛頓迭代法是一個合適的例子.事實上，人教A版教材選擇性必修第二冊已經將牛頓迭代法作為閱讀材料給出，雖然沒有要求所有高中生都掌握牛頓迭代法，但是“以直代曲”的方法和思想可以幫助學生理解導數的應用.

四、“函數的零點與方程的解”中的數學聯系

筆者已經從多個角度討論了“函數的零點與方程的解”中所蘊含的數學聯系，這種聯系包含了知識上的聯系，即在“零點一函數零點存在定理一二分法”這一主線的基礎上，介紹了確界原理、閉區間套定理、牛頓迭代法，對高中數學中“懸而未決”的部分進行了嚴格說明．此外，這一內容也包含方法和思想層面的數學聯系，如前文提到的“結論不成立一舉反例一添加條件使結論成立”這一研究問題的常見范式.

通常我們比較“喜歡”研究充要的命題，然而在研究中，充要的命題只占少數．當一個命題只具備充分性或必要性時，上述范式就會出現，即需要舉出另外一個例子進行說明，下面以費馬定理為例.

定理（費馬定理）：設函數 f（x） 在 Δ_x0 的鄰域內有定義，且在 x₀ 可導.若 x₀ 是 f（x） 的極值點，則必有

圖3牛頓迭代法的幾何解釋

費馬定理只有充分性，沒有必要性，學生經常誤認為由 可以推出 x₀ 是 f（x） 的極值點．此時，教師可以按照上述范式引導學生探究這一問題．先舉反例，取 f（x）=x³ ，則 f^′（0）=0 ，但0不是 f（x） 的極值點．然后，添加條件使結論成立．若存在 δgt;0 ，使得?x∈（x₀-δ，x₀），f^′（x₀）?0，x∈（x₀，x₀+δ），f^′（x₀）? 0，則 x₀ 是 f（x） 的極小值點；若存在 δgt;0 ，使得 ?x∈ 則 x₀ 是 f（x） 的極大值點．這一探索過程既加深了學生對定理的理解，又提升了學生發現問題、提出問題和解決問題的能力.

“函數的零點與方程的解”中的數學聯系如圖4所示，

圖4

由圖4可知，“函數的零點與方程的解”中的數學聯系并非知識的線性銜接，而是相互交織的網狀結構；聯系的形式也比較多樣，包含等價關系、充分條件、并列關系等．教師對這樣的知識網有一定的了解，有利于明晰課程內容的重點，從而為教學提供一個高層次的全局視角.

另一個重要的問題是我們為什么要在高中介紹這些“說不明白”的內容（函數零點存在定理、導數、幾何概型等）.事實上，這部分內容都涉及“無限”的概念．在高中階段，我們尚未對“無限”進行嚴格的說明（大學數學分析中，極限理論用 ε-δ 語言進行刻畫），而是只給出了基于直觀的解釋，這似乎缺失了數學的嚴謹性．然而，這種基于直觀的認識卻恰好符合數學的發展歷程．早在17世紀，牛頓（IsaacNewton）和萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz）在解決瞬時速度和曲線的切線問題時，使用了一種基于直觀的方法一使變化量趨于0，給出了導數的概念，進而創造了微積分理論．但他們對導數的概念產生了激烈的爭論（主要關于無窮小量是不是0），從而引發了第二次數學危機．直至100多年后，柯西（AugustinLouisCauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）等數學家給出了嚴格的極限定義，這一問題才被徹底解決．如果說柯西和魏爾斯特拉斯用將極限理論公理化的工作筑牢了數學大廈的地基，那么牛頓和萊布尼茨則是用天才的直覺和創造力繪制了這幢大廈的設計圖．可見，數學家們在思考問題時，直覺也常常走在邏輯的前面．在高中數學中，教師希望通過建立直觀，讓學生初步了解現代數學的部分內容，而不至于迷失在邏輯體系的諸多細節中，進而能用這部分知識解決一些重要的問題，如求方程的近似解、函數的最值等.

五、結語

通過分析“函數的零點與方程的解”中存在的數學聯系，梳理了這一章節的重點內容和知識網，為高中教學提供了參考．誠然，聯系的普遍性和一般性使我們無法窮盡數學內部、數學與外部之間的各種聯系，但用聯系的方式分析數學對象，挖掘重要聯系所蘊含的數學思想和方法，能夠讓學生產生對數學內容整體性和結構性的認識．這對數學教學起著重要的作用.

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