圖象與性質的教學序分析

1引言

數學教學中常常需要研究數學對象的圖象與性質.比如函數是貫穿整個中學數學課程的重要主線之一，冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等，都要學習函數的圖象與性質；圓錐曲線是平面解析幾何的主要內容，該內容學習的重點之一是掌握圓錐曲線的圖象與性質.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》1對于這些內容的學習都有明確的要求，如：“通過具體實例，了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念.能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點.\"“經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.”

可見，圖象與性質是理解數學對象的關鍵要素，也是數學教學的重要內容.知識的呈現總有先后之分，相應的教學思路也略有差別.就圖象與性質的教學而言，有人認為，先通過代數的方法得出圖形的相關性質，進而利用相關性質繪制出圖象；有人認為，先通過描點作圖法或是幾何作圖法繪制出圖象（簡圖），然后根據圖象得出數學對象的相關性質.

那么，關于圖象與性質的教學，是先教學圖象還是先教學性質？即：是先教學圖象再根據圖象認識性質（以圖識性）？還是先教學性質再依據性質作出圖象（依性作圖）？一般地，如何科學地確定圖象與性質的教學順序？諸多問題值得探討.

2圖象與性質的教學序還原：基于課標與教材的視角

2.1以圖識性：指數函數、三角函數的教學序新課標在“冪函數、指數函數、對數函數”中指出“本單元的學習，可以幫助學生學會用函數圖象和代數運算的方法研究這些函數的性質”，對于指數函數，還特別指出：“能用描點法或借助計算工具畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點.”指數函數教學的重點內容包括圖象和性質.根據數學課程標準理念，指數函數中圖象與性質的教學應該是“以圖識性”，教材也的確是這么展開的：先畫出指數函數的圖象，然后借助圖象研究指數函數的性質.依據教材，先引導學生嘗試繪制不同底數的指數函數的圖象，并通過繪制函數圖象，歸納總結指數函數的性質，遵循“指數函數的圖象 $$ 指數函數的性質 $$ 指數函數的應用”的教學思路.

無獨有偶，三角函數的教學是“以圖識性”也有課標依據.新課標指出“用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性（對稱性）、單調性和最大（?。┲档刃再|”“借助圖象理解正弦函數、余弦函數在 [0，2π] 上、正切函數在 上的性質”.因此學生學習三角函數的圖象與性質，也是以“以圖識性”的方式開展的，以正余弦函數的圖象與性質為例：先從正弦函數入手，根據正弦的定義，借助單位圓畫出正弦曲線；再利用正弦函數和余弦函數的內在聯系，通過圖象的平移變換畫出余弦曲線;最后借助幾何直觀和代數運算研究正弦函數和余弦函數的性質.

可以看出，課程標準與教材是一致的，它們都指明了指數函數、三角函數的圖象與性質教學是“以圖識性”.由此看來，指數函數、三角函數的教學序是基于課程標準與教材編寫理念展開的.

2.2 依性作圖：圓錐曲線的教學序

平面解析幾何是高中數學學習的重要內容，新課標指出：“本單元的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中，認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想.\"可見，該單元的學習重點就是解析幾何方法的運用，圓錐曲線的性質就是通過代數方法進行研究的.

教材中“圓錐曲線的方程”一章的章節起始內容呈現了如下章頭語：“本章我們繼續采用坐標法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎上，建立它們的方程，通過方程研究它們的性質，并解決與圓錐曲線有關的幾何問題和實際問題.”教材在展開的過程中，也都是遵循了“方程的推導一利用方程研究幾何性質”的編寫思路.具體到橢圓的簡單幾何性質一節，該節內容的節引言表述如下：“與利用直線的方程、圓的方程研究他們的幾何性質一樣，我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等.”[2]因此，教材編寫的意圖非常明顯，即凸顯解析幾何的基本思想是“用代數方法研究幾何問題”，或者說是“利用曲線方程研究曲線性質”.所以本節課的教學應該緊扣方程，自始至終體現運用方程研究曲線的意識，這是解析幾何的基本思想，同時也體現課程標準與教材的理念.

圖象與性質的教學是中學數學中的重要教學內容，課程標準和教材為我們開展教學指明了方向.圖象與性質的教學從教材編寫的角度來看，確實有兩種做法：一是以“橢圓的幾何性質”等為例的“依性作圖”；二是以“指數函數”“三角函數”等為例的“以圖識性”.數學教材為“教”與“學”活動提供了學習主題、基本線索和具體內容，是實現數學課程目標、發展學生數學學科核心素養重要的教學資源.教材的呈現從根本上是基于課程標準理念的.教材既然有兩種不同的編寫方式，必定承載著不同的編寫理念.指數函數、三角函數與圓錐曲線的教學序引起了我們深層次的思考：教材關于圖象與性質的編寫方式不完全一致，圓錐曲線的教學主要采用“依性作圖”的方式，而指數函數、三角函數等內容的教學則采用“以圖識性”的方式.那么，圖象與性質的教學究竟是“依性作圖”還是“以圖識性”？或者說，確定“依性作圖”還是“以圖識性”教學序的依據是什么？

2.3 以圖識性還是依性作圖

為什么課標與教材對于圖象與性質的教學有兩種不同的處理方式？課標編寫與教材設計最重要的考慮是教學內容必須突出數學本質.以“橢圓的幾何性質”一課為例重點說明.本節課關于橢圓幾何性質的教學之所以遵循“依性作圖”的教學方式，是因為“依性作圖”體現了解析幾何的學科本質.解析幾何，即用代數的方法研究幾何問題.根據曲線方程研究曲線的幾何性質，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一.學生在初中曾學習過圓，也用代數方法研究過圓的一些性質，但真正系統地用代數方法研究曲線性質在這里還是第一次.通過橢圓方程的討論來研究它的幾何性質，目的在于讓學生體會用坐標法研究曲線幾何性質的基本思路與方法，感受通過代數運算研究曲線性質所具有的程序化、普適性的特點.我們在教學解析幾何時，必須要突出“代數方法研究幾何問題”（幾何問題代數化）這一學科本質，以幫助學生形成學科知識建構的“大觀念”.橢圓作為學生接觸的第一類圓錐曲線，在學生經歷了“概念一方程—性質”的研究內容與方法后，可以將其遷移至后續的雙曲線和拋物線的學習和研究中，對學生形成大觀念是大有裨益的.

與此同時，我們在高考中也常會遇到一些新曲線問題的研究，如2024年新課標全國I卷考查的新曲線：

圖1

A. a=-2 （204號

B.點 在 c 上

C.在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

D.當點 （x₀，y₀） 在 c 上時，

可以說，以能力立意與素養導向的曲線新定義問題頻頻出現在高考題之中.這些問題都意在重點考查學生關于解析幾何學科本質和研究方法的認識.在此之前，學生對該圖形幾乎沒有任何的認知基礎，因此必須先建立曲線的方程，進而利用方程即代數的方法對圖形經過的點、對稱性與范圍等性質加以研究.所以“橢圓的幾何性質”的教學之所以是“依性作圖”，其根本原因是必須凸顯數學的本質，即引導學生學會“用代數方法研究幾何問題”這一解析幾何的研究方法和路徑.

而對于指數函數、三角函數等函數的圖象與性質的教學，都是采用“以圖識性”的方法，但并不是說這樣處理沒有凸顯學科本質，而是在于課標與教材編寫還考慮到了學生的已有認知水平.如指數函數，指數函數為單調函數，圖象較為簡單，同時指數函數的性質（特別是單調性）并不容易直接用代數方法得到.對于學生來說，他們還不具備用代數方法研究指數函數性質的能力與基礎.因此，基于學生的已有認知水平，同時指數函數圖象比較簡單，由此教學設計的思路為“以圖識性”，利用圖象得到指數函數的性質，而后由性質再一次回歸圖象，以實現圖象與性質的一致性.因此，在學生缺乏研究經驗和基礎以及研究能力的前提下，這樣的設計是合情合理的.因此，指數函數、三角函數圖象與性質教學設計思路為“以圖識性”，是既考慮了學生的已有認知和經驗，又突出了數學本質，凸顯了數學本質與學生認知的高度統一.

3圖象與性質的教學序分析：基于數學教育基本矛盾的思考

矛盾是事物發展的動力和源泉，認識事物的根本方法是矛盾分析法.圖象與性質的教學到底是何種路徑？僅僅通過具體的數學內容，難以從根本上解決問題.要明確課標理念和教材編寫意圖，可以從數學教育基本矛盾著手分析.數學教育的基本矛盾是數學方面與教育方面的對立統一，數學學習既要反映數學本質，又要基于學生的認知水平.因此，數學教材編寫既要反映數學本質，也要符合學生的認知水平，對于圖象與性質的教學也是如此.從而，確定“依性作圖”還是“以圖識性”的關鍵，是要在數學本質與學生認知水平上尋求中間地帶，也就是既要能夠反映數學的本質，又要能夠符合學生的認知水平.

數學教學是關于“數學”的教學，數學教材當然要反映數學本質.同時，教材是給學生學習用的，必須考慮現代學習理論的研究成果，不能脫離學生的認知水平.按照博辛（Nelson，L.Bossing）的觀點[3]教材組織形式通常有：邏輯式組織、心理式組織、折衷式或教育式組織，到底采用哪一種方式？現代教育對此尚無定論.但作為數學教材，應當兼顧邏輯式組織與學生心理式組織.

圓錐曲線的教學邏輯是“依性作圖”，原因何在？圓錐曲線的教學旨在學會利用代數的方法研究幾何問題.因此教材的邏輯定位為先研究圓錐曲線的概念，利用圓錐曲線的定義建立圓錐曲線的方程（概念的表達式），以方程作為依據研究圖形的相關性質.那么，是否可以“以圖識性”呢？由于圓錐曲線難以精確畫出圖象，因此難以在精確繪制圖象的基礎上研究圓錐曲線的性質.當然也可以在猜想和合情推理的基礎上先粗略估計圓錐曲線的大致圖象，而后用圓錐曲線方程進行驗證，其本質還是利用性質作出圖象.

指數函數的教學邏輯是“以圖識性”.教材的編寫思路是先通過豐富的情境（增長型、衰減型）自然地得到指數函數的概念（方程、表達式），通過取不同底數的指數函數的描點作圖與比較得到指數函數的圖象，最后利用圖象研指數函數的性質.原因在于指數函數比較抽象，學生難以感知到它的大致形象，同時它的性質也難以研究.因此為了讓學生直觀感受到指數函數形象，先引導學生粗略作出函數的圖象，在此基礎上再研究函數的性質.這是從教育方面的考量.

因此，理論上有了定義以后，依據定義研究圖形的性質，并在此基礎上作出圖象，這樣的圖象較為精確，并且可以從圖象上進一步理解圖形的性質，如圓錐曲線的研究.這主要是從數學方面的考慮.但有些數學對象，有了定義之后，學生難以對數學對象本身有感性認識，也難以研究其性質.從教育方面來看，應該考慮學生的可接受性，可以先根據定義作出其大致圖象，并以此為基礎研究其性質，最終達到圖象與性質的一致性，如指數函數、三角函數的研究.從根本上看，圖象與性質是數學對象在“形”與“數”方面的反映，無論是“以圖識性”還是“依性作圖”，都能實現圖象與性質、形與數的高度一致與統一.

因此，“以圖識性”與“依性作圖”都是我們開展圖象與性質教學的重要方法.如何確定“以圖識性”還是“依性作圖”呢？在回答這個問題之前，必須認真研究課程標準、研究教材.根據數學教育基本矛盾，教材是在數學本質和學生認知水平上取得的一個平衡，即如數學課程標準所言：“要體現數學內容的邏輯體系，揭示數學內容的發生、發展過程;要遵從學生認知規律，合理安排學習內容[1]90.”因此，只有在深入理解課標、理解教材、理解數學、理解學生的基礎上，方可對“以圖識性”還是“依性作圖\"這個問題給出比較科學的答案.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M].北京：人民教育出版社，2020：20.

[2]普通高中數學教科書選擇性必修第一冊：人教A版[M].北京：人民教育出版社，2019：104-109.

[3]丁爾升，唐復蘇.中學數學課程導論[M].上海：上海教育出版社，1998：129-130.

作者簡介何睦（1988—），男，江蘇張家港人，博士研究生，中小學高級教師；榮獲“江蘇省模范教師”“江蘇省教科研先進個人”“伊犁州優秀援疆教師”“蘇州中小學學科帶頭人”等稱號；主要從事數學教育教學研究.

吳曉紅（1966—），女，江蘇徐州人，博士，教授;主要從事數學課程與教學、數學教育哲學研究.