基于擾動(dòng)觀測(cè)器 PMSM 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步

中圖分類(lèi)號(hào)：O415.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1671-5489（2025）04-1164-05

Adaptive Sliding Mode Synchronization PMSM Fractional-Order Chaotic System Based on Disturbance Observer

MAO Beixing， MENG Xiaoling， WANG Jianjun， WANG Dongxiao， JIAO Jianfeng，CHEN Car

Abstract： We used disturbance observer to study the adaptive sliding mode synchronization permanent magnet synchronous motor （PMSM） fractional-order chaotic system. We considered uncertainties and unknown external disturbances through the fractional-order disturbance observer and verified the obtained conclusion through numerical simulation. The results show that the master-slave system the PMSM chaotic system achieves sliding mode synchronization under appropriate disturbance observer， sliding mode function，controller and the adaptive law.

Keywords： permanent magnet synchronous motor system； sliding mode； chaos; disturbance

混沌在同步控制領(lǐng)域的研究已取得較多成果[1-2」．隨著計(jì)算方法的改進(jìn)，分?jǐn)?shù)階微積分在工程制造、自動(dòng)化和網(wǎng)絡(luò)與通信等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，由于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行更精確描述并滿(mǎn)足系統(tǒng)建模需要[3-4]，滑動(dòng)模態(tài)控制具有良好的魯棒性和可移植性等優(yōu)點(diǎn)，因此對(duì)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步研究已引起人們廣泛關(guān)注．如文獻(xiàn)[5]將滑模方法融人Rikitake分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步，獲得了同步控制研究方案；文獻(xiàn)[6]研究了Sprot-D混沌分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)[7-9]研究了超混沌金融分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)無(wú)抖振滑模控制器設(shè)計(jì)與轉(zhuǎn)移滑模同步；文獻(xiàn)[1O]研究了Genesio-Tesi分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步，得到系統(tǒng)同步的充分條件；文獻(xiàn)[11]研究了不相稱(chēng)分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)有限時(shí)間自適應(yīng)滑模同步，通過(guò)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)中擾動(dòng)和不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)擾動(dòng)誤差收斂至零，并構(gòu)建分?jǐn)?shù)階滑模面和自適應(yīng)滑模控制器實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步．永磁同步電動(dòng)機(jī)（PMSM）系統(tǒng)具有體積小、運(yùn)行可靠和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，在航空、新能源和自動(dòng)化等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.由于永磁電機(jī)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)時(shí)即會(huì)喪失穩(wěn)定性和一些主要性能，使電機(jī)系統(tǒng)陷于癱瘓狀態(tài)而無(wú)法正常工作，因此需對(duì)PMSM混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步控制研究，當(dāng)系統(tǒng)趨于同步時(shí)，可使系統(tǒng)正常運(yùn)行，從而抑制系統(tǒng)的失穩(wěn)狀態(tài)．文獻(xiàn)[12]研究了PMSM系統(tǒng)的快速終端滑模控制，較好保證了系統(tǒng)的魯棒性；文獻(xiàn)[13-14]研究了PMSM系統(tǒng)的滑模及滑模跟蹤問(wèn)題；文獻(xiàn)[15]研究了分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)[16]研究了分?jǐn)?shù)階受擾動(dòng)電機(jī)混沌系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階函數(shù)矩陣投影同步．基于此，本文研究分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)基于擾動(dòng)觀測(cè)器的自適應(yīng)滑模同步．通過(guò)設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器和滑模函數(shù)及控制器，使主從系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步.

1預(yù)備知識(shí)

定義1[17] Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的主系統(tǒng)[15]為

當(dāng)參數(shù) γ=25 ， σ=5.46 ， q=0，98 ， x₁（0）=1 ， x₂（0）=0.01 ， x₃（0）=-5 時(shí)，系統(tǒng)吸引子相圖如圖1所示.

設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

定義誤差 e_i（t）=y_i（t）-x_i（t） ， i=1，2，3 ， y=（y₁，y₂，y₃）^T ，其中 Δf（y） 為不確定項(xiàng)， 為未知外部擾動(dòng)，總擾動(dòng) ．將式（2）與式（1）相減可得

假設(shè)1 ∣D_t^qM∣?ω ， ω 為已知的正常數(shù)，定義滑模擾動(dòng)觀測(cè)器

φ（t）=D_t^q（y₂（t）-z（t）），

其中 z（t） 為輔助變量，滿(mǎn)足如下關(guān)系式

為 M 的估計(jì)，滿(mǎn)足分?jǐn)?shù)階方程

引理1[17] 若 x（t） 為連續(xù)可微函數(shù)，則對(duì) ?q∈（0，1） ，有

2^[18] kgt;0 D_t^qV（Ψ_t）?-ky₁²（Ψ_t） y₁²（t）?2V（0）E_q，1（-2kt^q） ，即 ，其中 E_α，β（Ω?Ω） 表示雙參數(shù)Mittag-Leffler 函數(shù).

引理 3^[19] 若存在常數(shù) 00 ， 0lt;ηlt;1 ，使得 D_t^qV（t）?-λV^η（t） ， V（t）∈R₊ ，則對(duì)所有t?t^* ，有 V（t）=0 業(yè)

2 主要結(jié)果

定理1若滿(mǎn)足假設(shè)1，根據(jù)設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器（4），則總擾動(dòng)誤差 將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零.

證明：將從系統(tǒng)（2），（5）代人擾動(dòng)觀測(cè)器（4）中可得 ，設(shè)計(jì) （t），求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

9根據(jù)引理3，可得

假設(shè)2 存在未知正常數(shù) k ，滿(mǎn)足

定理2若滿(mǎn)足假設(shè)1和假設(shè)2，構(gòu)造滑模函數(shù) s（t）=e₂+e₃ ，控制器

u（ 自適應(yīng)律 ，則主系統(tǒng)（1）與從系統(tǒng)（2）取得自適應(yīng)滑模同步.

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù) 2+k2（t），由引理1，求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

構(gòu)造函數(shù) V₂=s²/2 ，假設(shè) ，由引理2，求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

D_t^qV₂?sD_t^qs=s[-e₂-y₁y₃+x₁x₃+γe₃+M+u+σ（e₂-e₃）]?

根據(jù)引理3可得

當(dāng)在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足 ，將 代人式（3）第三個(gè)方程中可得D_t^qe₃=-2σe₃?e₃0?e₂0 ，代入式（3）第一個(gè)方程中可得

D_t^qe₁=-e₁+y₂y₃-x₂x₃?e₁0.

3 數(shù)值仿真

用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真，設(shè)置分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)參數(shù) γ=25 ， σ=5.46 ， q=0，98 ．選取外部擾動(dòng) d（t）=1.5cost ，不確定項(xiàng) Δf（y）=0 . 6sin y₂ ，其他各項(xiàng)參數(shù)分別為

擾動(dòng)觀測(cè)器為式（4），滑模函數(shù) s（t）=e₂+e₃ ，控制器為式（7），自適應(yīng)律為

定理2的系統(tǒng)誤差曲線(xiàn)如圖2所示．由圖2可見(jiàn)，PMSM混沌系統(tǒng)在初始時(shí)表現(xiàn)出混沌特性，系統(tǒng)誤差相差較大，一段時(shí)間后系統(tǒng)的誤差曲線(xiàn)逐漸靠近并最終趨近于坐標(biāo)原點(diǎn)，表明混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)取得了滑模同步，參數(shù) k 的觀測(cè)值 的變化曲線(xiàn)如圖3所示.

由圖3可見(jiàn)， 的變化曲線(xiàn)逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)．由于三階PMSM不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)無(wú)需設(shè)計(jì)3個(gè)控制器，只需1個(gè)控制器即可將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動(dòng)到滑模面并沿滑模面趨近于原點(diǎn)，因此大幅度降低了控制器的運(yùn)行成本，更易被系統(tǒng)移植和操作.

綜上，本文根據(jù)自適應(yīng)滑模同步理論研究了分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，利用分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)未知擾動(dòng)和不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，得到了分?jǐn)?shù)階PMSM混沌系統(tǒng)基于擾動(dòng)觀測(cè)器滑模同步的充分條件，并利用數(shù)值仿真對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證.

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（責(zé)任編輯：王 健）