一道北大強基試題的解法探究與背景思考

在2024年北京大學強基計劃筆試數學試題中有一道要求，考查熟練掌握三角公式，尤其是不太常用的三倍角公式，應該引起備考者關注.

1 試題呈現

題目 求 sin³6^°-sin³114^°+sin³126^° 的值.

2 解法探究

解法1（代數運算強攻）由題設 sin³6^° 1 （204號 4sin³6^° .又由 3sinα-4sin³α 得 sin³6^°-sin³114^°+sin³126^°=

再由 sin36^°=cos54^° ，得 2sin18^°cos18^°=

cos36^°cos18^°-sin36^°sin18^°=4cos³18^°-3cos18^° 則 2sin18^°=4cos²18^°-3=1-4sin²18^° ，即 4sin218°+2sin18°-1 =0，解得 sin18°=√5-1.

解法2（幾何助力破局）由 sin3α= 3sinα- 4sin³α 得 4sin³α= 3sinα-sin3α. 則 4（sin³6°- sin³114^°+sin³126^°）=4（sin³6^°-sin³66^°+ + 3sin54°-sin162°=3（sin6°-sin18°+sin54°- sin（60°+6°）]=-3sin18°.

如圖1，構造兩個底角為72^° ，頂角為 36^° 的等腰ΔABC （也稱黃金三角形），以BC 為腰在 ΔABC 內構造與ΔABC 相似的 ΔBCM. 設 AB= m，BC=n ，則 AC=m，BM= n，AM=n，MC=m-n ，由相似關系知 即 于是

圖1

0，解得m=√5+1 因此 5-1，故sin26-sin114°+ sin2126 sin18°

解法3（換元合理引入）設 -sin114°，c=sin126° ，則 a+b+c=sin6^°- sin（120^°-6^°）+sin（120^°+6^°）=0.

于是 a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²- ab-ac-bc）+3abc=3abc=-3sin6°sin（120°- ： 又sinasi

4sin18°令x = sin18°∈（0，1），由sin18。=cos72^°=2cos²36^°-1=2（1-2sin²18^°）²-1 ，有（204號 x=2（1-2x²）²-1 ，即 8x⁴-8x²-x+1=0 ，分解因式 （x-1）（2x+1）（4x²+2x-1）=0 ，解得 x=

解法4（構造三次方程）由 sin3α= 3sinα- 4sin³α 得 ，又 sin18^°= ，構造三次方 程 4x³-3x+sin18^°=0 ，則 x₁=sin6^°，x₂= （20號 -sin114°，x₃=sin126° 為其三個不相等實根，于是 有 ，故 sin³6^°-sin³114^°+sin³126^°=x₁³+ x₂³+x₃³=（x₁+x₂+x₃）（x₁²+x₂²+x₃²-x₁x₂-x₁x₃

由 sin90^°=sin（54^°+36^°）=sin54^°cos36^°+ cos54°sin36°= 16sin⁵18°-20sin³18°+5sin18°= 1，令 x=sin18^°∈（0，1） ，則有 16x⁵-20x³+5x-1 =（x-1）（16x⁴+16x³-4x²-4x+1）=0 又 16x⁴ +16x³-4x²-4x+1=16x⁴+16x³+4x²-8x²-4x +1=（2x）²（2x+1）²-2（2x）（2x+1）+1=0， 即 （20 （4x²+2x-1）²=0 ，解得 ，故 sin³6^°-

評注“想清楚再動手”不是空話.一般高質量試題中的條件、結論都有較精細的設計，以此考查思維的靈活性、創新性和批判性，只要方向選擇得當，往往可以建立起快速的解題路徑.

3背景探究

事實上，這道題其實是由以下一般結論和求sin18^° 的值組合而成

結論

證明 由 sin3α=3sinα-4sin³α 得 sin³α= ，則

4進一步思考

除此之外還可以推導出類似結論：

根據三角學發展的歷史邏輯，三角學首先是幾何的，然后才是函數與代數的．通過剖析試題，要學會從不同視角靈活處理遇到的三角問題，以此構建知識體系、提升思維能力、發展核心素養.