源于教材習題 關注核心素養

1試題展示

如圖1，二次函數 y=-x²+ bx+c 的圖象與 Ψ_x 軸交于 A ，B（2，0） 兩點，與 軸交于點 C（0，6） AP 為該圖象上一動點，連接AC，BC

（1）求二次函數解析式；

（2）直接寫出 ∠ACB 的度數；

（3）當 ∠ABP=∠ACB 時，求點 P 坐標；

（4）如圖2，在（3）的條件下，平行于 BP 的動直線 ξ_l 與該圖象交于 D，E 兩點（直線 l 與 BP 不重合），連接 PD，BE ，直線 PD 與 BE 是否在 軸上交于同一點，請說明理由.

2解法探究

本題前三問都是常規問題，亮點在探索第（4）問，限于文章的篇幅，前三問直接寫出答案：

（1）二次函數解析式為 y=-x²-x+6 ： （ 2）∠ACB=45^° . （3）點 P 坐標為 （-2，4） 或 （-4，-6） ： 我們重點探索第（4）問的解法.

方法一：順著題意自然求解.

本問是在拋物線背景下探討直線 PD 與 BE 是否在 y 軸上交于同一點.要討論兩個一次函數圖象與 y 軸上是否交于同一點，自然是求出兩個一次函數的表達式，看它們表達式中的 b 是否相同，相同則交于同一點，不相同則不交于同一點.

題目條件首先提出“如圖2”，圖2中的點 P 坐標為（一2，4），在第二象限.

接著題目條件是“在（3）的條件下，平行于 BP 的 動直線l”，而直線 BP 解析式為 y=-x+2 ，所以設直

線 ξ_l 解析式為 y=-x+t

再讀題目“動直線 ξ_l 與該圖象交于 D，E 兩點”，聯立方程組{y=-x+t， 解方程組得，

所以點 D 的坐標 ，點 E 的坐標

由點 P，D 的坐標可得直線 PD 的表達式為

則直線 PD 交 y 軸于點

由點 B，E 的坐標可得直線 BE 的表達式為

則直線 BE 交 y 軸于點

故直線 PD 與 BE 在 軸上交于同一點.

方法一順著題意，步步為營，對基本的運算能力要求非常高.

方法二：換個角度簡化運算.

設 D（m，-m²-m+6），E（n，-n²-n+6）

易知直線 BP 解析式為 y=-x+2 ，設直線 DE 解析式為 y=-x+t ，則由 -x²-x+6=-x+t 得 x²+t-6=0 ，所以 m+n=0 ，即 n=-m

所以 E（-m，-m²+m+6）

由點 P（-2，4），D（m，-m²-m+6） ，得直線PD 的表達式為 y=（1-m）x+6-2m ：

由點 B（2，0），E（-m，-m²+m+6） ，得直線BE的表達式為 y=（m-3）x+6-2m

所以，直線 PD 與直線 BE 在 軸上交于同一點，

即交于點 （0，6-2m） ：

方法二換了個角度，從拋物線上的點入手，綜合運用二次函數與一元二次方程之間的關系等核心知

識解決問題.此題的圖形讓我們

聯想到蘇科版教材九年級下冊

第65頁習題6.4的第3題：如圖 E G

3，在 ΔABC 中，點 D，E，F 分別 B（ D

在 BC，AB AC 上， EF//BC ，交 圖3

AD 于點 G_?（1） 圖中有幾對相似

三角形？是哪幾對？ 相等嗎？為什么？

這個命題的逆命題：如圖4，點 D，G 分別在 BC，EF 上，EF//BC ，若 ，問射線BE，CF 與射線 DG 的交點是否是同一點？

我們能否從相似三角形、比例的性質等幾何角度探索一下解決問題的方法？

方法三：幾何角度回歸本質.

由方法一或方法二知，點 B ，P 的橫坐標互為相反數，點 D，E 的橫坐標互為相反數，因此線段BP 與 軸的交點 N 是線段BP的中點，線段 DE 與 軸的交點 M 是線段 DE 的中點，即 PN=BN ，DM=EM ，如圖5，設直線 PD 與y 軸交于點 F，BE 與 y 軸交于點 G

由 DE//BP ，得 ∠FDM=∠FPN ， ∠FMD= ∠FNP ，所以 ΔFDM～ΔFPN ，則 （20 =

由 DE//BP ，得 ∠GEM=∠GBN . ∠GME= ∠GNB ，所以 ΔGEM～ΔGBN ，則 （20 = （204號 因為 PN=BN，DM=EM ，所以 ： 所以 即 （204號 1 所以 FN=GN ，則 F 和 G 為同一點. 故直線 PD 與 BE 在 y 軸上交于同一點.

3教學思考

3.1以教材為導向，提品質增實效

本題以教材題目為源頭改編而成.教材是數學學習的重要組成部分，對于教材習題不能簡單就題論題，教材習題是學習、理解數學知識的保障，也是探究數學問題的源泉.對于教材上的典型習題要基于“2022新課標\"視角對習題進行理性重構，如改變條件、交換條件與結論、拓展命題等，這樣的學習往往可以起到事半功倍的效果.著名數學家波利亞說過：“好問題如同某種蘑菇，有些相似，它們大都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍再找找，很可能在附近就有幾個.”雙減背景下，教師要充分認識通過變式拓展，注重運用“一題多變\"“一題多用\"“多題歸一\"等方式，幫助學生舉一反三、觸類旁通，培養學生解決問題的能力，提高學習效率.

3.2以課標為抓手，重創新強素養

學科育人是教學的核心價值.雙減背景下，教師要注重研究課標、研究教材、研究學生，要注重用好、用足課本，做到既鞏固知識，發展技能，同時也為培養學生的創新精神和關鍵能力打下扎實基礎.要重視緊扣“問題本質”，通過變式拓展引導學生開展多角度、多層次的問題探究，讓學生在探究中學會觀察、比較、分析、總結，理解和掌握解決問題的通性通法，提高思維能力，發展核心素養.

3.3理解題目隱語“如圖”

本題第（4）問條件首先提出“如圖2”，如果沒有“如圖2”，則要考慮當點 P 坐標為 （-4，-6） 時，直線PD 與 BE 在 軸上不交于同一點.

理由：當點 P 坐標為 （-4，-6） 時，直線 BP 解析式為 y=x-2 ，所以設直線 ξ_l 解析式為 y=x+t ：

再讀題目“動直線 ξ_l 與該圖象交于 _D，E 兩點”，聯立方程組 解方程組得，

所以點 D 的坐標為 點 E 的坐標為 ：

再讀題目“連接 PD，BE ，直線 PD 與 BE 是否在y 軸上交于同一點”，由點 P，D 的坐標可得直線 PD 的表達式為

則直線 PD 交 y 軸于點

由點 B，E 的坐標可得直線 BE 的表達式為

則直線 BE 交 y 軸于點

此時直線 PD 與 BE 在 y 軸上不交于同一點.