例1跳板蹬人是一項難度極高的雜技表演,其中有一個動作是雜技演員從曉蹺板右端點 O 處被彈起,然后在半空中翻轉恰好落在其他演員們舉起的椅子點 A 處,其身體(視作一點)移動的路線可以看作是拋物線的一部分,如圖1所示.假設雜技演員距離地面的高度是 y(m) ,身體距離點 O 的水平距離是 x(m) ,得到了如下的數據:

(1)根據上述數據,試求出該拋物線的表達式和雜技演員距離地面的最大高度;
(2)在已做好防護措施的一次試演過程中,工作人員將蹺曉板向右移動 0.5m ,此時椅子距離點 O 處的水平距離是 3.5m ,椅子的高度是 2m ,那么此次表演能否成功呢?請說明理由.

解題思路 本題考查的知識點是二次函數的應用.
(1)假設該拋物線的表達式是 y=ax2+bx ,從上述表格中任選兩組數據并代人,即可確定二次函數的表達式;然后利用拋物線的對稱軸公式 x=
,便可求出最大高度.
(2)根據已知條件,將新的對應數據代人拋物線的表達式中,即可計算出高度,并將其與椅子的實際高度進行比較,進而判斷出雜技演員能否成功落在椅子上.
解析 (1)假設該拋物線的表達式是 y=ax2+
bx ,將(0.2,1.12),(1,4)代入其中,
0可得
,進而可解得所以該拋物線的表達式是 y=-2x2+6x ·由此可知,該拋物線的對稱軸是直線 
將
代人 y=-2x2+6x 中,可解得 y=
(204號所以,雜技演員距離地面的最大高度是
(2)此次表演不能成功,理由如下:由(1)可知,y=-2x2+6x=-2(x-))所以,將蹺曉板向右移動 0.5m 后,該拋物線的
當x=3.5時,y=-2×(3.5-2)2+9由于 0≠2 ,所以此次表演不能成功.
例2露營是一種休閑活動,各式帳篷已成為該戶外活動的必備裝備.如圖2所示的帳篷支架可近似視作拋物線.已知一款帳篷張開時的寬度和頂部高度會影響其內容納的椅子數量.如圖3所示,此為一頂帳篷搭建完成示意圖,其張開的寬度 AB= 3m ,頂部高度 h=1.8m ,以 AB 的中點 O 作為坐標原點, OB 所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標系.
(1)試求該帳篷支架對應的拋物線的表達式;
(2)圖3為一把椅子擺入該帳篷后的簡易視圖,椅子高度 EC=1m ,寬度 CD=0.6m ,倘若在帳篷內沿 AB 方向擺放一排此類椅子,求最多能擺放的椅子數量;
(3)為了提高帳篷的舒適度和性價比,小亮重新設計了帳篷,其表達式是 y=ax2+2.5 ,要使帳篷一排恰好能容納5把高、寬分別為 1m 和 0.6m 的椅子,求 a 的值.


解題思路 本文主要考查的知識點是二次函數的應用.
(1)利用已知點的坐標和拋物線的標準形式,即可求出拋物線的系數,進而得出該帳篷支架對應的拋物線的表達式.(2)首先將椅子的高度代入拋物線的表達式中,即可計算出椅子擺放的范圍,然后再算出可以擺放的椅子數量.(3)利用拋物線的方程和已知點的坐標,即可計算出拋物線系數 αa 的值.
解析(1)由于帳篷搭建時張開的寬度是 AB= 3m ,頂部高度是 h=1.8m ,可得知點 A 的坐標為
,點 B 的坐標為 
假設拋物線的表達式是:

因為該拋物線經過點(0,1.8),
所以 
可解得
所以,該帳篷支架對應的拋物線的表達式是:
(2)由于椅子的高度是 EC=1m ,寬度是 CD=
0.6m ,然后將 y=1 代人
中,可解得 x1=1,x2=-1 ,則 x1,x2 的距離是2,所以
因為椅子的數量為正整數,所以最多能擺放的
椅子數量是3把.(3)如圖4所示,一排能容納5把高、寬分別為
1m 和 0.6m 的椅子,即剛好經過點 D 處,所以 yD=
,由此可得知拋物線 y=ax2+
2.5經過點
所以
,可解得
·

結語
通過對兩道例題的深人探究,不僅幫助學生加深了對拋物線相關知識內容的理解,還讓學生學會了如何將數學的理論知識應用到解決實際問題中,進而培養了學生的審題分析能力和綜合實踐能力.在解決實際生活中拋物線型問題的過程中,除了要對書本上的知識進行熟練掌握,還可通過建立數學模型、求算拋物線的解析式、計算拋物線的參數等步驟,將實際問題轉化為所熟悉的數學問題,這樣就能更快地尋找到對應的解決方法.