例析實際生活中拋物線型的數學問題

例1跳板蹬人是一項難度極高的雜技表演，其中有一個動作是雜技演員從曉蹺板右端點 O 處被彈起，然后在半空中翻轉恰好落在其他演員們舉起的椅子點 A 處，其身體（視作一點）移動的路線可以看作是拋物線的一部分，如圖1所示.假設雜技演員距離地面的高度是 y（m） ，身體距離點 O 的水平距離是 x（m） ，得到了如下的數據：

（1）根據上述數據，試求出該拋物線的表達式和雜技演員距離地面的最大高度；

（2）在已做好防護措施的一次試演過程中，工作人員將蹺曉板向右移動 0.5m ，此時椅子距離點 O 處的水平距離是 3.5m ，椅子的高度是 2m ，那么此次表演能否成功呢？請說明理由.

解題思路 本題考查的知識點是二次函數的應用.

（1）假設該拋物線的表達式是 y=ax²+bx ，從上述表格中任選兩組數據并代人，即可確定二次函數的表達式；然后利用拋物線的對稱軸公式 x= ，便可求出最大高度.

（2）根據已知條件，將新的對應數據代人拋物線的表達式中，即可計算出高度，并將其與椅子的實際高度進行比較，進而判斷出雜技演員能否成功落在椅子上.

解析 （1）假設該拋物線的表達式是 y=ax²+

bx ，將（0.2，1.12），（1，4）代入其中， 0可得 ，進而可解得所以該拋物線的表達式是 y=-2x²+6x ·由此可知，該拋物線的對稱軸是直線

將 代人 y=-2x²+6x 中，可解得 y=

（204號所以，雜技演員距離地面的最大高度是 （2）此次表演不能成功，理由如下：由（1）可知，y=-2x2+6x=-2（x-））所以，將蹺曉板向右移動 0.5m 后，該拋物線的 當x=3.5時，y=-2×（3.5-2）2+9由于 0≠2 ，所以此次表演不能成功.

例2露營是一種休閑活動，各式帳篷已成為該戶外活動的必備裝備.如圖2所示的帳篷支架可近似視作拋物線.已知一款帳篷張開時的寬度和頂部高度會影響其內容納的椅子數量.如圖3所示，此為一頂帳篷搭建完成示意圖，其張開的寬度 AB= 3m ，頂部高度 h=1.8m ，以 AB 的中點 O 作為坐標原點， OB 所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標系.

（1）試求該帳篷支架對應的拋物線的表達式；

（2）圖3為一把椅子擺入該帳篷后的簡易視圖，椅子高度 EC=1m ，寬度 CD=0.6m ，倘若在帳篷內沿 AB 方向擺放一排此類椅子，求最多能擺放的椅子數量；

（3）為了提高帳篷的舒適度和性價比，小亮重新設計了帳篷，其表達式是 y=ax²+2.5 ，要使帳篷一排恰好能容納5把高、寬分別為 1m 和 0.6m 的椅子，求 a 的值.

解題思路 本文主要考查的知識點是二次函數的應用.

（1）利用已知點的坐標和拋物線的標準形式，即可求出拋物線的系數，進而得出該帳篷支架對應的拋物線的表達式.（2）首先將椅子的高度代入拋物線的表達式中，即可計算出椅子擺放的范圍，然后再算出可以擺放的椅子數量.（3）利用拋物線的方程和已知點的坐標，即可計算出拋物線系數 α_a 的值.

解析（1）由于帳篷搭建時張開的寬度是 AB= 3m ，頂部高度是 h=1.8m ，可得知點 A 的坐標為 ，點 B 的坐標為

假設拋物線的表達式是：

因為該拋物線經過點（0，1.8），

所以

可解得 所以，該帳篷支架對應的拋物線的表達式是：

（2）由于椅子的高度是 EC=1m ，寬度是 CD=

0.6m ，然后將 y=1 代人 中，可解得 x₁=1，x₂=-1 ，則 x₁，x₂ 的距離是2，所以 因為椅子的數量為正整數，所以最多能擺放的

椅子數量是3把.（3）如圖4所示，一排能容納5把高、寬分別為

1m 和 0.6m 的椅子，即剛好經過點 D 處，所以 y_D=

，由此可得知拋物線 y=ax²+

2.5經過點 所以 ，可解得 ·

結語

通過對兩道例題的深人探究，不僅幫助學生加深了對拋物線相關知識內容的理解，還讓學生學會了如何將數學的理論知識應用到解決實際問題中，進而培養了學生的審題分析能力和綜合實踐能力.在解決實際生活中拋物線型問題的過程中，除了要對書本上的知識進行熟練掌握，還可通過建立數學模型、求算拋物線的解析式、計算拋物線的參數等步驟，將實際問題轉化為所熟悉的數學問題，這樣就能更快地尋找到對應的解決方法.