圓錐曲線光學性質探秘

1圓錐曲線光學性質的發展史

圓錐曲線光學性質的發展史，本質上是一段數學理論與光學技術相互成就的歷史.古希臘時期，阿波羅尼奧斯對圓錐曲線進行了系統分類，為研究幾何學奠定了基礎.與此同時，歐幾里得設想光線筆直傳播，并用數學方法研究反射定律.相傳，阿基米德利用鏡子拼成拋物面陣列聚焦陽光.這些成就展示了早期科學家對光學性質的幾何直覺.

中世紀，阿拉伯學者海什木系統研究拋物面鏡的反射，提出光從物體反射入眼的路徑問題，為圓錐曲線的光學應用提供了實驗與理論橋梁.

開普勒發現行星軌道呈橢圓形，太陽位于其中一個焦點；伽利略通過實驗證明拋射體軌跡為拋物線，這引發了學者對圓錐曲線在動力學與光學領域共性問題的深人思考.笛卡爾則將曲線代數化，這一方法為光學反射性質的嚴謹證明奠定了基礎，

在17—18世紀，費馬提出的“光程最短原理”為反射定律奠定了變分學基礎，從而使圓錐曲線的反射性質（如橢圓的焦點反射）得到了嚴格的驗證.

圓錐曲線光學性質的發現經歷了幾何猜想 $$ 實驗觀測 $$ 物理應用 $$ 數學證明的演進，這一歷程不僅是數學內在邏輯的演進，更是人類對光與運動本質的探索縮影，彰顯了圓錐曲線光學性質在科學與工程的核心地位.

2圓錐曲線的光學性質

橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線一定會通過另一個焦點，如圖1所示.

雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過另一個焦點，如圖2所示.

拋物線的光學性質：從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，與拋物線的對稱軸平行的光線，經拋物線反射后，匯聚于其焦點，如圖3所示.

3圓錐曲線光學性質的證明

從數學史可以看出，圓錐曲線的光學性質與光學的發展密不可分，要理解圓錐曲線的光學性質，就需要先了解光的反射定律.

3.1 光的平面反射定律

光的反射定律包含三個比較重要的結論：反射時，反射光線、入射光線與法線在同一平面內；反射時，反射光線和入射光線分別位于法線兩側；反射時，反射角等于入射角（如圖4）.

3.2 光的曲面反射規律

從特殊的球面出發，如圖5所示，當光線從球心M 射出，經過球面反射后還會經過球心 M ，說明此時入射光線、反射光線重合，這意味著入射點處的切面相當于鏡面.同樣地，如果光線從球內任意一點出發（如圖6），在人射點處的切面都為鏡面，球心與入射點的連線為法線.

因此，我們可以推導出一般結論：當反射面是曲面時（如圖7），過光線的入射點作曲面的切面，稱該切面為鏡面，即反射平面，此時入射光線、反射光線與反射平面所成夾角相等.

這體現了數學中的“以

曲代直”，于是在圓錐曲線中過焦點的光線照射到圓錐曲面上，再經過圓錐曲面反射時，可以將圓錐曲面在入射點的切面當作反射面.有了以上認識之后就可以證明圓錐曲線的光學性質.

3.3拋物線光學性質的證明

先將光學問題轉化為數學問題：如圖8所示，從拋物線 y²=2px 的焦點 F 發出的光線，經過拋物線上一點 A（x₀，y₀） 反射，求證：反射光線平行于 x 軸.

分析如圖9所示，由反射定律可得 ∠1=∠2 ，要證明反射光線平行于 x 軸，只需證 ∠1=∠3 即可.要證∠1=∠3 ，只需證 |AF|= ∣BF∣ ，其中 ∣AF∣=x₀+" { p } } { 2 }，所以完成本次證明的關鍵是求出 ∣BF∣ ：

設在點 A 處拋物線的切線方程為 y₀y=p（x+ x₀ ），直線 AB 為法線，與切線垂直，所以直線 AB 的方程為 ，則點 B 的坐標為 （x₀+ p，0） ，所以 即 |AF|=|BF| ，故反射

光線與 x 軸平行.

同樣地，結合光在曲面的反射定律，求出在入射點處的切線方程，通過證明入射角與反射角相等就可以證明出橢圓和雙曲線的光學性質.

因此，若問題中出現“從焦點發出的光線經曲面反射”“切線”“角平分線”等關鍵信息時，可以考慮借助圓錐曲線的光學性質求解.

4圓錐曲線光學性質的應用

例1 如圖10所示，橢圓 T Φ₀），F₁，F₂ 分別為其左、右焦點，若從右焦點 F₂ 發出的光線經橢圓上的點 A 和點 B 反射后，滿足 .tan 則該橢圓的離心率為

分析根據橢圓的光學性質，從右焦點 F₂ 發出的光線經橢圓上的點 A 和點 B 反射后會經過另一個焦點 F₁ ，由此可以補全光的反射路徑（如圖11）.在ΔABF₁ tan 4，于是可以得到△ABF，三邊長度的比值.設 |AF₁|=3k ， |AB∣=4k ，則 |BF₁|=5k .結合橢圓的定義有

則 a=3k，∣AF₂∣=3k ，所以

故橢圓的離心率為

本題的解題思路圍繞橢圓的光學性質展開：從焦點發出的光線經橢圓反射后必經過另一焦點，利用這一特性將復雜的幾何條件轉化為焦點間的路徑關系，實現問題的轉化.

例2 已知橢圓 c 的左焦點為 F₁ ，設 M 是坐標平面上的動點，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，證明點 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

分析如圖12所示，根據題意可知線段 F₁M 的垂直平分線 l 與 C 恰有一個公共點（設為點 P ），則線段 F₁M 的垂直平分線 ξ_l 為橢圓的切線，而過點 P 恰好有兩條射線分別經過橢圓的兩個焦點，可以將其看作是入射光線與反射光線.設橢圓的右焦點為

F₂ ，根據光的反射定律可知 ∠F₁PE=∠F₂PN

再結合垂直平分線的性質可知 ∣PM∣=∣PF₁∣ ，且直線 ξ_l 平分 ∠F₁PM ，即 ∠F₁PE=∠MPE ，于是∠F₂PN=∠EPM. 因為 E，P，N 三點均在直線 ξ_l 上，所以 M，P，F₂ 三點共線

因為點 P 在橢圓上，由橢圓的定義可得 ∣PF₁∣+ ∣PF₂∣=4 ，所以 ∣PM∣+∣PF₂∣=∣MF₂∣=4 ，即點 M 到定點 F₂ 的距離是定值，故點 M 的軌跡為圓，軌跡方程為 （x-1）²+y²=16

例3如圖13所示，設拋物線 C：y=x² 的焦點為 F ，點 P 在直線 ξ_l ：x-y-2=0 上運動，過點 P 作拋物線 C 的兩條切線 PA，PB ，與拋物線C 分別相切于 A，B 兩點.證明： ∠PFA=∠PFB

分析題干出現了過拋物線上點 A，B 的切線，所以考慮借助拋物線的光學性質解決問題.因為題干中恰有兩條拋物線的焦半徑 FA，FB ，所以將 FA ，FB看作從焦點發出的入射光線，經過拋物面反射后，反射光線應與拋物線的對稱軸平行，即與 y 軸平行，

如圖14所示.接下來觀察圖形，因為 ∠PFA 與∠PFB 在圖中沒有直接聯系，且分別在△AFP和ΔBFP 中，所以不妨先探究這兩個三角形.

觀察發現此時若反向延長反射光線，則延長線

與準線 相交，設交點分別為點 A^′，B^′ .由拋物線的光學性質可知入射光線、反射光線與切線夾角相等，即 ∠MAH=∠PAF. 又對頂角相等，即∠MAH=∠PAA^′ ，所以 ∠PAF=∠PAA^′ ，同理可得 ∠PBF=∠PBB^′ .由拋物線的定義可知 ∣AF∣= |AA^′|，|BF|=|BB^′| .又公共邊相等，所以 ΔAA^′P? ΔAFP，ΔBFP?ΔBB^′P ，則 ∠PFA=∠PA^′A ∠PFB=∠PB^′B，|PA^′|=|PF|，|PB^′|=|PF|

接下來觀察 ∠PA^′A 和 ∠PB^′B ，發現這兩個角均由兩部分組成，即

（20所以只需證 ∠PA^′B^′=∠PB^′A^′ .在 ΔPA^′B^′ 中，|PA^′|=|PF|，|PB^′|=|PF| ，則 |PA^′|=|PB^′| 所以 ΔPA^′B^′ 為等腰三角形，故 ∠PA^′B^′=∠PB^′A^′ 則 ∠PFA=∠PFB

本題由拋物線的切線聯想到光學性質，核心在于以光學性質為切入點，通過構造輔助線與幾何變換，將抽象的角度問題轉化為直觀的對稱關系.通過反向延長反射光線至準線，將角度關系轉化為幾何對稱性，再利用拋物線的定義，結合全等三角形與等腰三角形的性質，證明 ∠PA^′A=∠PB^′B ，體現拋物線幾何性質與光學規律的內在統一.

例4如圖15所示，已知拋物線 E：x²=4y ，拋物線的焦點為點 P ，過點（0，7）且斜率為 的直線交拋物線 E 于 A，B 兩點，在 A，B 處的切線交于點 C，ΔABC 的外心為點D ，求 ΔABD 的面積.

分析 觀察題干條

件，此處 AC，BC 均為拋物線的切線.由拋物線的光學性質可將切面視作鏡面，下一步需要尋找過焦點的直線作為人射光線，如圖16所示，很快可以找到PA和PB.確定人射光線后，根據反射光線平行于拋物線的對稱軸，也即 軸，則不妨來觀察點 A 處的反射.設入射光線與切線的夾角 ∠PAC=α ，則反射光線 AQ//y 軸，故反射光線與切線的夾角也等于 α .反向延長反射

光線與 x 軸交于點 s ，由對頂角相等得 ∠CAS=α ，則 ∠PAS=2α .因為 2S// y 軸，所以 ∠APM=2α ：

觀察 CA 與 y 軸正方向的夾角，由平行關系可知該夾角為 α ，不妨設CB與 y 軸正方向的夾角為 β 同理可得 ∠BPM=2β ，故∠BPA=2（α+β）.

下面進一步通過幾何關系來計算 ∠BPA 的大小.

由題意可知直線 AB 的方程為 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） ，聯立直線和拋物線的方程可得 ，則 -28. 又 P（0，1） ，所以

故 ，則 ∠BCA=α+ 是一個定值.

又 ΔABC 的外心為點 D ，所以 ∠BDA= ，則 ΔABD 是等腰直角三角形，故

本題以拋物線的切線為切入點，巧妙運用入射角等于反射角的光學原理，借助幾何圖形的變化將一個未知的角轉化為一個好求的角，進而判斷出 ∠BDA 是個直角，在這一背景下計算ABD的面積就十分輕松了.

例5 如圖17所示，已知橢圓 T 點 M（m，n） 在 T 上，且mlt;0，ngt;0 ，直線 l：mx+ 2ny=0 與 T 在第一象限的交點為 N ，點 R 在線段

ON上，且 ，則直線 MR 過定點分析橢圓 T 在點 M（m，n） 處的切線方程為

mx+2ny=6. 由于 ξ_l ：mx+2ny=0 ，可以發現點 M 處的切線與 l 平行，這一發現引導我們從橢圓的光學性質入手嘗試解決問題.如圖18所示，不妨記橢圓的

左、右焦點分別為 F₁，F₂ ，則將 F₁M，MF₂ 分別看作入射光線和反射光線，所以 ∠GMF₁=∠HMF₂ .延長NO與 MF₁ 交于點 T ，與 MF₂ 交于點 Q ，由點 M 處的切線與 l 平行可得 ∠MTQ=∠MQT ，故 ∣MT∣= ∣MQ∣ ：

因為點 M 在橢圓上，所以 ∣MF₁∣+∣MF₂∣= ，而

∣MF₁∣+∣MF₂∣=（∣MT∣-∣TF₁∣）+ （|MQ|+|QF₂|）=2|MQ|+|QF₂|-|TF₁|， 那么 ∣QF₂∣ 與 ∣TF₁ |又有怎樣的關系呢？

不妨過點 F_i 作 F₁S//MF₂ 交 NT 于點 s ，則∠F₁TS=∠F₁ST ，故 ∣TF₁∣=∣SF₁ .又 ΔQOF₂? ΔSOF₁ ，所以 ∣QF₂∣=∣SF₁∣ ，則 ，故|MF₁|+|MF₂|=2|MQ| ，即

又 ，點 R 在線段 ON 上，所以點 Q 與點 R 重合，故點 R 也在線段 MF₂ 上，即直線 MR 過右焦點

在本題中，觀察到 ξ_l 與橢圓在點 M 處的切線平行，從光學性質視角入手，將切面視作鏡面，進而找到入射光線和反射光線，再借助光的反射原理和橢圓的定義，確定線段ON上的點 Q 滿足 ，以此判斷出點 Q 與點 R 重合，即確定直線MR的位置.

圓錐曲線的光學性質蘊含深刻的幾何原理，它展現了數學家們對幾何與光學關系的卓越洞察力.通過深入理解“以曲代直\"的核心思想，不僅能掌握用切面作鏡面、用焦點定光路的關鍵方法，更能將這一原理靈活運用于各類幾何問題的求解中.這一性質生動詮釋了數學中化歸與轉化思想的精髓一一通過幾何學與光學的聯系，將復雜的曲線反射問題轉化為直觀的角平分線問題.它啟示學生，在解決數學難題時要善于發現不同學科領域間的內在聯系，用跨學科的視角尋找問題的突破口，這正是數學思維的魅力所在.

（完）