一道圓錐曲線解答題的解析與思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

拋物線作為圓錐曲線之一，因為其形式的特殊性，上下開口的拋物線可以轉化為函數，因此這類拋物線試題往往和導數緊密結合，使得試題難度顯著上升.等價轉化思想是解決此類問題的關鍵策略.現以一道聯考題作為研究范例.

1 試題呈現

題目（2025年湖北省新八校教科研協作體數學第17題）已知拋物線 C：x²=2py（pgt;0） 的焦點到準線的距離為1，過 x 軸下方的一動點 P 作拋物線 c 的兩切線，切點分別為 A，B ，且直線 AB 剛好與圓x²+y²=1 相切.設點 P 的軌跡為曲線 E ，過點 T（0 -2）的直線 ξ_l 與曲線 E 相交于 M，N 兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求點 P 的軌跡方程;

（3）設曲線 E 與 y 軸交點為 A₁ ，點 A₁ 關于原點

文章編號：1008-0333（2025）16-0014-04的對稱點為 A₂ ，記直線 A₁M，A₂N 的斜率分別為 k₁ ，k₂ ，證明 是定值.

2 總體分析

本題是一道綜合性較強的解析幾何題，第（1）問主要考查拋物線的定義、性質，屬于基礎題；第（2）問首先利用導數的幾何意義得出切線方程，結合條件進一步求出軌跡方程;第（3）問證明兩直線斜率比值為定值，需要將非對稱韋達定理轉化為對稱韋達定理求解.后兩問處理方法多樣，筆者結合自己的深度思考與探討，現分析與解答如下.

3 試題解答

3.1 第（1）問解析

因為拋物線的焦點到準線的距離為 p ，所以 pε=1 ，因此拋物線的方程為 x²=2y

評注此問是拋物線的定義及相關概念的考查，在當下的學習中，一直強調要回歸課本，重視對基礎知識和基本概念的考查.因此，在今后的課堂教學及解題訓練中，老師們也要提醒學生重視基本概念的學習與鞏固.

3.2 第（2）問解析

解法1設 P（x₀，y₀）（y₀lt;0），A（x₁，y₁），B（x₂， y₂ ），由 x²=2y 得樂 ，求導得 y^′=x

由導數的幾何意義知 k_PA=x₁

所以直線 PA：y-y₁=x₁（x-x₁）=x₁x-x₁². （20號將 x₁²=2y₁ 代人整理，得 x₁x-y-y₁=0

同理可得 PB：x₂x-y-y₂=0.

而點 P（x₀，y₀） 是 PA 與 PB 的交點，所以滿足

x₁x₀-y₀-y₁=0，x₂x₀-y₀-y₂=0. （20

所以直線 AB 的方程為 x₀x-y-y₀=0.

又直線 AB 與圓 相切，

所以圓心 O（0，0） 到直線 AB 的距離

解得

故點 P 的軌跡方程為 y²-x²=1（ylt;0）

評注此法先設點，根據導數的幾何意義寫出拋物線在點 A 處的切線方程，結合條件整理得到切線 PA：x₁x-y-y₁=0 ，同理得出切線 PB：x₂x --2=0，而點P（o，y）同時滿足以上兩方程，代入后通過分析可得出直線 AB 的方程為 x₀x-y -y₀=0 ，再結合直線 AB 與圓相切導出 x₀ 與 y₀ 的關系式，進而得出點 P 的軌跡方程.解法看起來水到渠成，但對于學生來說理解起來有難度，需要老師們在講解時分解剖析，講清其中的原理，厘清問題的本質，再輔以適當的練習，讓學生逐步理解與掌握.

解法2 由解法1可知

PA：y-y₁=x₁（x-x₁）=x₁x-x₁².

將 代人整理，得 2y=2x₁x-x₁²

同理 2y=2x₂x-x₂²

點 P（x₀，y₀） 同時滿足以上兩方程，

即 2y₀=2x₁x₀-x₁² ，

（2 2y₀=2x₂x₀-x₂². （20

故 x₁，x₂ 是方程 x²-2x₀x+2y₀=0 的兩實根.由根與系數的關系得

x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=2y₀. ①

聯合 ① 及 化簡求解可得

x0x -y -yo =0.

下同解法1.

評注解法2 結合解法1由同一法得出 x₁，x₂ 是方程 x²-2x₀x+2y₀=0 的兩實根，借助于根與系數的關系進行轉化，根據 ^A，B 兩點坐標寫出直線方程，在此基礎上聯合轉化與求解，得出 x₀x-y-y₀ =0 ，再根據直線與圓相切也就水到渠成了.

解法3 根據解法2知 2y₀=2x₁x₀-x₁² 與 2y₀ =2x₂x₀-x₂².

聯立解得

所以點 設直線 AB：y=kx+b ，與 x²=2y 聯立可得x²-2kx-2b=0. （2所以 x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b 比較可得 x₀=k，y₀=-b 又圓心 O（0，0） 到直線 AB：kx-y+b=0 的距離 解得 b²=k²+1

所以 y₀²=x₀²+1（y₀lt;0）

下同解法1.

評注解法3是在解法2的基礎上衍生出來的一種思考與處理方式，在解決問題的過程中，我們只有不斷思考與探索，解題思路才能越來越開闊，思維能力才能得到不斷提升.

3.3 第（3）問解析

由題意可得點 A₁（0，-1），A₂（0，1）

設直線 y=kx-2，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄） ，

聯立 消 y 得

（1-k²）x²+4kx-3=0，

顯然 k²≠1 ，且 Δ=4k²+12gt;0

所以x+χ4=

且

所以

將 y₃=kx₃-2，y₄=kx₄-2 代人整理，得

② 式通常稱為非對稱韋達定理，如何轉化為部分韋達定理來完成解答是問題的關鍵所在.詳細解答如下：

證法1 將 代 人 ② 式，化簡，得

評注證法1是將兩根之積部分用韋達定理替換，同時將分子中的 x₄ 用兩根之和的變形式替換成 ，進行整理后發現比值為定值.其實只要明確變形的方向，將計算進行到底就可以達成目標，這些要訣需要老師們在解題中引導學生去發現，去嘗試，體驗成功的喜悅.當然，相信大家也會想到，將兩根之積部分用韋達定理替換后，也可以將分母中第二項的 x₃ 替換成 x₃ 三 ?1-2?4，分子中的第二項x4保持不變，同樣可以得出結果

證法2 由 得

代人 ② 式，得

所以 是定值 （2號

評注證法2是根據韋達定理中兩根之和與兩根之積的內在線性關系，即 ，從而實現直接代換，這樣分子分母的關系更直觀，堪稱“秒殺”了.

證法3 部分轉化為對稱韋達定理1.

（20所以 是定值

證法4 部分轉化為對稱韋達定理2.

評注證法3及證法4是實現部分配湊，結合證法2將兩根之和用兩根之積表示，并沒有將含 k 的式子代入，也能輕松解決問題，這兩種解法的關鍵在于式子的變形，考查了學生的轉化與化歸、運算求解的能力.

4高考鏈接

題1 （2021年全國乙卷理科第21題）已知拋物線 C：x²=2py（pgt;0） 的焦點為 F ，且 F 與圓 M ：x²+（y+4）²=1 上點的距離的最小值為4.

（1）求 p 的值;

（2）若點 P 在 M 上， PA，PB 是 C 的兩條切線，^A，B 是切點，求 ΔPAB 面積的最大值]

題2 （2024年高考甲卷理20文21）已知橢圓 的右焦點為 F ，點 在橢圓 C 上，且 MF⊥x 軸

（1）求橢圓 C 的方程;

（2）已知 P（4，0） ，過點 P 的直線與橢圓 C 交于^A，B 兩點， N 為 FP 的中點，直線 NB 與 MF 交于點

Q ，證明： AQ⊥y 軸

簡析 2021年的高考題中，第（1）問考查的是拋物線的概念及性質，第（2）問中涉及拋物線的切線問題，用本文中第（2）問的解法均可以解決.而2024年甲卷的高考題中第（1）問同樣是基礎概念的考查，第（2）問可用到本文中第（3）問的非韋達定理部分轉化為韋達定理的處理方法，大家可以自己解答和查閱相關資料.

5 結束語

在教學過程中，務必注重教學的有效性.從基本概念出發進行引導，先讓學生回顧拋物線的基本概念與性質，然后引導學生求出拋物線的方程，接下來通過回顧導數的幾何意義等知識，求出切線方程，再進而求出點 P 的軌跡方程[2.在證明第（3）問時，需要計算斜率的比值并化簡，變形后部分代入韋達定理求解，最終得出比值為定值，充分培養了學生的運算求解能力與邏輯推理能力.

在解題教學中發現，不少學生在求切線方程時不知如何切人，尤其是求出直線AB方程時存在困惑，另外，點到直線的距離公式的運用也不夠熟練.在今后的教學中，需要不斷加強基礎知識的訓練與鞏固，提高學生運用知識解決問題的能力，不能僅僅停留在聽懂的淺層次.同時，針對復雜的計算，需要進行一定的強化訓練，讓學生克服畏難情緒，增強學生解決數學問題的自信心，真正做到提效增分.

參考文獻：

[1］賀鳳梅.利用導數突破高考圓錐曲線壓軸題[J].數理化解題研究，2022（01）：5-7.

[2］王亞奎.對拋物線切線問題的思考[J].理科考試研究，2020，27（21）：15-16.

[責任編輯：李慧嬌]