以結構化復習促進初中生核心素養發展的路徑探索

在數學復習教學中，學生往往難以運用綜合知識解決問題。其主要原因是：知識習得零散、碎片化，學生不清楚知識內在的關聯性和邏輯性，缺乏對知識整體和研究方法結構化的思考。對此，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“《義教數學課標》\"多次提到的“結構化\"是一種有效的方法。結構化意味著聯系、關聯，結構化教學就是要幫助學生理解知識結構以及學科結構。布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解各門學科的基本結構。”在復習教學中運用結構化這一策略，就是要基于學情，立足數學知識體系，對學習主題下的數學知識重新進行梳理、整合，對數學方法進行歸納和提煉，使學生形成一種新的認知結構和研究思路，并最終指向學生核心素養的發展。下面，筆者以初中數學中的“函數”單元為例具體闡述結構化復習教學的實施。

一、基于教學內容和學情分析制訂分課時教學目標和結構化教學目標

“函數”單元是“數與代數”領域重要的教學內容，是解決數學實際問題重要的數學模型之一。教學內容有函數的概念、一次函數、二次函數、反比例函數，要求了解三類函數的概念，掌握三類函數的圖象和性質以及能用函數知識解決簡單的應用問題。在多年的復習教學實踐中，筆者關注到學生能很容易地利用單類函數知識解決數學問題，但遇到需要綜合運用三類函數知識才能解決的問題時，則不能找到解決問題的切入點。因此，筆者嘗試改變按照教材內容順序分課時復習的方法，將三類函數統整起來設計結構化教學目標，引導學生形成對知識、思想方法的整體觀念。具體做法為：先列出詳細的分課時教學目標，找出三類函數共同的教學目標，再將它們與分課時教學目標進行對比分析，然后根據學情，提煉并優化出能統攝它們的結構化教學目標。結構化教學目標的優勢在于：能讓學生從“函數\"單元整體視角對三類函數進行分析比較，并重新對其進行梳理整合，提煉它們共性的知識和研究方法，實現對“函數”單元知識整體的理解和內化，進而發展核心素養。“函數”單元的分課時教學目標與結構化教學目標具體如表1所示

二、結構化復習教學的實施路徑

結構化復習教學有助于打破傳統分課時復習的局限，幫助學生構建完整的知識網絡與研究思路，從整體視角理解函數知識間的內在邏輯，將知識與方法內化于心，進而提升綜合運用能力，實現核心素養的發展。

（一）梳理、整合單元主題內容的學習路徑，形成結構化的知識整體

一次函數、二次函數、反比例函數在教材中的知識結構，都是按照“從具體的生活情境抽象出函數的概念，然后用描點法畫出函數的圖象并探究其性質，最后是實際的應用”這一方式展開，其編寫路徑可以梳理為“具體實例$$ 抽象概念 $$ 圖象和性質 $$ 實際應用”，教師可由此梳理、整合單元主題內容的學習路徑，引導學生形成結構化的知識整體。

1.設計相關問題串和練習，梳理“函數”單元概念

在課堂引入環節，筆者以“問題串 + 練習”的形式，引導學生對三類函數概念進行梳理

問題1：初中階段，我們學習了哪些函數？請你說一說。

練習：我們把形如 ，叫作一次函數，當 時，為正比例函數；把形如 ，叫作反比例函數，反比例函數也可以表示為 ；把形如叫作二次函數，二次函數的頂點式是交點式是 。拋物線的頂點在原點可設函數表達式為 ；頂點在y軸上（對稱軸為y軸）可設為 ；頂點在 x 軸上的拋物線可設為 ；經過原點的拋物線可設為 。

問題2：我們是如何研究一類函數的，比如一次函數？

間題3：能否把一次函數的學習路徑類比到其他兩類函數？

設計意圖：激活舊知，引導學生縱向梳理三類函數概念的區別和聯系，并橫向梳理函數的學習路徑“概念 $$ 圖象和性質 $$ 應用”，初步形成“函數”單元的結構化知識整體。

2.設計關聯性表格，整合“函數”單元重難點知識

對《義教數學課標》相關內容進行分析后，筆者發現在“函數”單元中，求函數表達式、字母系數的意義、函數的性質與函數的實際應用是重難點知識，其中三類函數的實際應用是難點知識。在解決這些重難點問題時，三類函數有共性之處，教師可據此設計關聯性表格（如表2所示），對“函數”單元相關內容進行深度整合，引導學生進一步形成結構化的知識整體。表格可以提前發給學生，讓學生在課前完成，然后在課堂交流、反饋，最后在課后修正。

設計意圖：將重難點知識進行表格化處理，可清晰地整體呈現三類函數知識之間的關聯性，直觀、易理解，有利于學生形成知識網絡，

3.設計開放性問題，促進數學思維的發展

設計開放性問題，可促使學生從多個角度思考，探索多種可能性，嘗試不同的方法和策略。在此過程中，學生不僅需要對已有的知識進行結構化思考，還要進行分析和推理，這有助于其發展數學思維

開放性問題：某函數滿足當自變量 x=1 時，函數值 y=0 ；當自變量 x=0 時，函數值 y=1 O寫出一個滿足條件的函數表達式 。

設計意圖：引導學生通過分析發現函數可以設為一次函數或二次函數，若為一次函數則是確定的，若為二次函數則是不確定的。在確定和不確定中選擇函數表達式本身就是對單元知識的結構化思考，這有利于培養學生的創新意識。

（二）對解決問題的方法、思路進行歸納、提煉，形成結構化的研究方法

結構化教學設計能幫助學生更好地理解和掌握學科的基本原理，實現知識與方法的遷移[3]。因此，在引導學生解決問題的過程中，教師應該注重對方法、思路的梳理，通過單元結構化的方式來歸納、提煉方法，從而幫助學生更好地理解和掌握知識，促進知識和方法的遷移，提升核心素養。

1.示范典型例題，歸納解題的方法結構

教師示范并引導學生歸納解題的方法結構，既能幫助學生掌握特定知識的解題思路，并為后續開展單元結構化研究奠定堅實基礎，也能為學生探索其他數學問題的解決策略提供思路借鑒，進而助力學生實現知識的遷移與核心素養的發展。在“函數\"單元復習中，待定系數法求函數表達式是重點知識，因此，筆者將三類函數置于一個情境，設計典型例題，引導學生歸納解題步驟和方法，發展運算能力、推理能力。下面以上述開放性問題為例進行分析。

[板書]若為一次函數，可設函數表達式y=kx+b（k≠0） ，代入 x=1，y=0，x=0，y=1 得， {k+b=0，解得 。

若為二次函數，可設函數表達式 y=ax²+ bx+c（a≠0） ，代入 x=1，y=0，x=0，y=1 得，{a+b+c=0，：a+b=-1，若a=-1，則b=0，：函數表達式為： y=-x²+1 。

師：該題求函數表達式的過程為：設函數表達式，代入數據，解方程，寫出函數表示式。這種求函數表達式的方法叫作待定系數法。據此，我們可以這樣歸納解題的方法結構：“代定系數法：設 $$ 代 $$ 解 $$ 寫。”

2.剖析中考真題，揭示解題的方法結構

中考真題具有導向功能。剖析真題，找到試題背后的邏輯關系，并揭示解題的方法結構，對提升學生的學習能力尤為重要。二次函數的三個表達式之間是相互關聯的，一般式通過配方得到頂點式，通過求解函數圖象與 x 軸交點的坐標得到交點式，而頂點式、交點式展開化簡即可得到一般式。下面以2022年杭州市中考數學卷第22題為例進行分析。

設二次函數 y₁=2x²+bx+c（b，c 是常數）的圖象與 x 軸交于 ^A，B 兩點。

（1）若 ^A，B 兩點的坐標分別為（1，0），（2，0），求函數 y₁ 的表達式及其圖象的對稱軸。

（2）若函數 y₁ 的表達式可以寫成 y₁=2（x- h）²-2 （ h 是常數）的形式，求 b+c 的最小值。

（3）設一次函數 是常數），若函數 y₁ 的表達式還可以寫成 y₁=2（x- 的形式，當函數 的圖象經過點 （x₀，0） 時，求 x₀-m 的值。

對第一問，學生很容易解決。對第二問，教師可以引導學生利用公式法或配方法得到 ，消元得到 b+c 關于 h 的表達式， 再利用公式法或配方法求最小值。通過分析，學生可以發現，將頂點式展開化簡，得到 b+c 關于 h 的表達式比較方便。對第三問，教師可以引導學生通過觀察表達式 ，發現存在公因式 ，然后提取公因式將其變形為交點式y=（x-m）[2（x-m-2）-1] ，這樣求解比較方便。由此可以揭示二次函數三個表達式之間的關聯，形成相互轉化的結構化思路（如圖1所示）。

3.運用一題多解，優化解題的方法結構

一題多解，可以拓展學生思維的靈活性和創新性，激發學生學習的主動性和探索精神。例如，函數圖象與坐標軸交點問題是函數應用的難點內容，反映了函數與方程之間的關系，滲透了數形結合數學思想，有利于發展學生幾何直觀、應用意識等核心素養。這類問題往往不止一種解法，教師可以多方拓展，幫助學生優化解題的方法結構。下面以相關問題為例進行分析。

已知關于 x 的二次函數 y=（x-m）²- （x-m） 。求證：函數圖象與 x 軸有兩個交點。

對此類問題，學生的一般解法是：令 y=0 得到一元二次方程，用根的判別式去求解，即：

Δgt;0? 與 x 軸有兩個交點；

Δ=0? 與 x 軸只有1個交點；

Δlt;0? 與x軸無交點。

但該題涉及字母系數的恒等變形，學生很容易出錯。這就需要教師引導學生發散思維，找到其他方法來解決。通過觀察二次函數表達式發現，表達式中有公因式 ，可以對函數表達式進行因式分解得到： y=（x-m）²-（x- m）=（x-m）（x-m-1） 令 ，通過解方程得到 ：x₁=m ， x₁=m+1 。

ｍ≠ｍ＋１

：函數圖象與 x 軸有兩個交點。

由此可知，對于函數圖象與 x 軸交點問題，若能解出交點則優先考慮用交點式，若不能解出交點則優先考慮用一般式，即利用根的判別式解決（如圖2所示）。

一題多解，可以促使學生多角度思考問題，而優化解題的方法結構，對學生發展解決問題的綜合能力和核心素養有重要的促進作用。

（三）對經典問題進行逆向思考，形成問題解決的結構化思路

函數模型思想是發展學生模型觀念素養的重要內容之一，也是中考的重點考查內容。

有些函數問題可以進行逆向思考，并形成問題解決的結構化思路：解決問題 $$ 從結論出發 $$ 構建函數模型 $$ 問題解決。

1.執果索因，逆向進行推理

“函數”單元中，函數的增減性問題比較經典，在問題解決的過程中，從問題的結論出發，逆向進行推理，反而會“柳暗花明又一村”，順利解決數學問題。下面以相關問題為例進行分析。

例1：在平面直角坐標系中，設二次函數 y =（x+a）（x-a-1） ，其中 a≠0 。已知點 P（x₀，m） 和 Q（1，n） 在函數 y 的圖象上。若 m0 的取值范圍。

從結論逆向推理， m 和 得到{m=（xo+a）（xo-a-1），利用作差法得到 （20m-n=x₀（x₀-1）lt;0 ，從而求得范圍：00lt;1 。當然，此題利用圖象法亦能解決。

例2：已知二次函數 y₁=-x²+bx+c 與一次函數 y₂=kx+c 若 k+b=3 ，當 x?2 時， y₁2° 求 k 的取值范圍。

該題也可從結論 y₁2 出發，逆向對不等式進行推理，利用作差法求解。所以，函數的增減性問題解決的結構化思路是：增減性問題 $$ 逆向推理 $$ 作差法或圖象法 $$ 解決問題。

2.觀案問題特征，逆向構建函數模型

有些數學問題，特征比較明顯，如求最值的問題。解決此類問題，可優先考慮從代數的角度將其轉化為二次函數的最值問題來解決。如對2022年杭州市中考數學卷第22題第二問，也可通過觀察問題特征，逆向構建二次函數模型解決。我們可以把 b+c 看作一個二次函數 W ，把 y₁=2（x-h）²-2 展開，利用消元得到 W=b+c=h²-2h-1 ，然后利用配方法得到 W=b+c=h²-2h-1=（h-1）²-2 ，求得最小值。再舉兩例如下。

例3：在直角坐標系中，設函數 y=x²-x+ 1，當 x=p 或 q 時，該函數對應的函數值分別為P，Q 。若 p+q=4 時，求證： P+Qgt;6 。

觀察該題特征，可以把 P+Q 看作一個二次函數W，進而分析條件，代入數據，利用消元法得到 W=P+Q=2（q-2）²+6 ，然后利用配方法求得范圍。

例4：把一根長為1米的鉛絲折成一個矩形，并使矩形的面積最大，應怎樣折？最大面積是多少？

該題也可逆向思考，通過構建二次函數模型來解決問題。教師可以引導學生把解決問題的思路遷移到利潤類、距離類等最值問題中來。

事實上，在利用函數知識解決實際問題的各種情況中，構建函數模型求最值問題最為典型。對于函數求最值或范圍問題，教師可以引導學生逆向構建二次函數模型：求最值或范圍$$ 構建二次函數模型 $$ 配方法或公式法 $$ 解決問題。

三、實踐反思

在初中數學結構化復習教學的實踐中，筆者有如下思考。

（一）結構化復習是發展學生核心素養的有效途徑，要積極落實到數學課堂

學生核心素養的發展難以在單個的知識點上表現出來，它往往隱藏在知識及方法結構之中。對教學內容進行結構化復習，不僅可以幫助學生梳理、整合知識，找到知識之間的內在邏輯關聯，還可以培養學生歸納、提煉研究數學問題的方法的能力，使其形成解決問題的結構化思路。筆者經過教學實踐發現，在面向初三學生的復習課中，利用單元知識采用結構化復習顯著提高了學生學習的效率，促進了學生對知識的理解和方法的生成。因此，教師應將其積極落實到數學課堂，并不斷探索實踐路徑，從而充分培育學生的核心素養。

（二）結構化教學需要教師具備扎實的基本功，并不斷選代更新

如果對數學知識體系不明了，對問題的研究方法不清晰，那么，教師就無法進行結構化教學。因此，教師需要具備扎實的專業知識，無論是對《義教數學課標》的解讀，還是對教材的分析，都要進行深度的思考和研究。同時，教師還要根據學生的學習反饋和變化，不斷地調整教學策略，對結構化教學進行迭代更新，確保教學設計符合學生的學習需求，并能夠引領他們實現知識和能力的提升。

綜上，基于學習主題進行結構化復習，為核心素養導向的教學提供了一種新的思路和模式。教師要始終把發展學生的核心素養放在首位。對于如何幫助學生更好地學習數學并理解數學的本質，培育學生適應未來發展所需的關鍵能力和學科素養，一線教師還要不斷反思和實踐。

參考文獻：

[1]布魯納.教育過程[M].邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982：37.

[2]趙紅琴.“生長數學”理念下的結構化教學：“反比例函數單元復習課”的教學設計與思考[J].中學數學，2023（4）：3-5.

[3]何君青.數學“結構化”教學設計的實踐與思考：以“二元一次方程組”為例[J].教學月刊·中學版（教學參考），2023（5）：8-13.