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問題引入梳理模型,解題探究策略強化

2025-08-11 00:00:00王嘉煒
數(shù)理天地(初中版) 2025年13期
關鍵詞:共線交點情形

1 問題引入

例1如圖 1-(a) 所示,拋物線 (204號 x+2 的頂點為 A ,與 y 軸交于點 B :

(1)求點 A 點 B 的坐標;

(2)若點 P 是 x 軸上任意一點,求證: PA-PB ?AB ;

(3)當 PA-PB 最大時,求點 P 的坐標.

過程解析:(1)關注點 A 和 B 的位置特性,點 A 為拋物線的頂點,點 B 為拋物線與 y 軸的交點,結合拋物線的解析式,可求得點 A(-2,3),B(0,2) L

圖1

(2)證明 PA-PB?AB ,可分兩種情形進行 討論.

當點 P 為 AB 延長線上與 x 軸的交點時, PA- PB=AB .

當點 P 在 x 軸上又異于 AB 的延長線與 x 軸的交點時,在點 P?A 和 B 構成的三角形中, PA-PB

綜上可知, PA-PB?AB :

(3)求 PA-PB 最大時點 P 的坐標,作直線AB 交 x 軸的交點 P ,作 AH⊥OP ,設垂足為點 H ,如圖 1-(b) 所示,分析可知此時點 P 即為所求點.

因為 BO⊥OP,ΔBOP?ΔAHP ,由相似性質可得 ,由(1)可知, AH=3,OH=2,OB =2 ,則 OP=4 ,則點 P(4,0)

解后思考上述為以拋物線為背景的綜合題,其中后兩問為核心之問,可視為是與線段和差相關的最值問題,解析過程中采用了數(shù)形結合的方法策略,充分利用三角形的三邊關系,以及共線定理來確定最值情形.教學中,需要教師把握問題特點,梳理解題模型,指導學生靈活運用.

2模型講解

線段最值問題在初中數(shù)學中十分常見,即求解|PB-PA| 的最值,主要有兩種情形,即求解最大值或者最小值.教學中建議結合實例來講解模型,及最值求解思路.

圖形:已知點 A 和 B 為定點,點 P 為直線 ξl 上的一個動點,試求 |PB-PA| 的最大值和最小值.

最大值模型:結合三角形的三邊關系,即兩邊之差小于第三邊,則有 |PB-PA|?AB ,分析可知當點 P?A 和 B 共線時可取得等號.建模作圖如圖2,連接 BA 并延長,與 l 的交點即為所求點.

圖2

最小值模型:根據(jù)絕對值的非負性可知,∣PB-PA∣?0 ,當 AP=PB 時成立.建模作圖如圖3,點 P 為 AB 的中垂線與直線 ξl 的交點.

圖3

思考總結:對于線段差的最值問題,主要利用三角形的三邊關系、共線定理,以及中垂線性質來構建模型.具體解析時建議梳理問題條件,建立最值模型,再計算求解.可按照“條件梳理 $$ 模型構建 $$ 計算求解”來構建思路.

3解題指導

上述梳理了線段最值解析模型的構建方式,教學中可結合實例進一步指導學生解題強化,靈活運用模型來分析計算.

例2已知拋物線 y1=a(x-2)2-4(a≠0) 經(jīng)過點 (0,-3) ,頂點為 M ,將拋物線 y1 向上平移 b 個單位可使平移后得到的拋物線 y2 經(jīng)過坐標原點,拋物線 y2 的頂點為 A ,與 x 軸的另一個交點為 B

(1)求 Ωa 和 b 的值;

(2)求拋物線 y2 的函數(shù)表達式;

(3)點 P 是 y 軸上一點,當 ∣PA-PB∣ 的值最大時,求點 P 的坐標.

思路分析 上述為與平移相結合的拋物線綜合題,題設三問,需要利用平移特性來推導拋物線解析式,后續(xù)結合上述構建的最值模型來解析最值.

過程構建(1)簡答,拋物線經(jīng)過點 (0,-3) .將其代人拋物線解析式,可得 ;把握拋物線的平移過程,分析可知其向上平移了3個單位,即 b =3 :

(2)簡答,根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”,可求得拋物線的解析式為

(3)求解線段最值中的點坐標,根據(jù)總結的模型來分析.

當 P?A?B 三點不在同一直線上時,可構成ΔPAB ,由三角形的三邊關系定理可推知「PA一PB|

當 P?A?B 三點共線時,如圖4所示,則 ∣PA- PB|=AB :

圖4

顯然當 |PA-PB 」的值最大時,即為共線時的情形,設出直線 AB 的解析式 y=kx+b ,將點A(2,-1) 和 B(4,0) 的坐標分別代入解析式中,可求得 2α-2,則點P的坐標為(0,-2).

教學建議對于上述與平移相關的綜合問題,教學中注意兩點:一是梳理平移規(guī)律,構建平移與解析式的關系;二是總結線段最值模型,分情形討論.具體教學時采用數(shù)形結合的方法策略,直觀呈現(xiàn)問題情形,引導學生充分思考.

4結語

線段差最值問題的教學重點是指導學生構建最值模型,包括最小值和最大值兩種情形,并結合性質定理來詳細解讀.上述教學思路有一定的參考價值,具體教學時注意結合實例問題來梳理方法策略,指導學生靈活運用解題.同時合理滲透數(shù)形結合、分類討論、模型構建等思想方法,培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

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