初中數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)模式的構(gòu)建與實施探研

學(xué)習(xí)是一項對主觀能動性要求較高的活動，學(xué)生只有學(xué)會主動分析、思考、實踐，才能真正理解和掌握知識本質(zhì).不過，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師為了追求進(jìn)度，依然采用傳統(tǒng)教學(xué)模式，影響了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，限制了學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展.因此，教師應(yīng)改變教學(xué)觀念，給予學(xué)生更多自主學(xué)習(xí)的機會，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，逐步提升學(xué)生獨立思考和合作探究的能力.在“平方差公式”的教學(xué)中，筆者從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，為學(xué)生搭建起平等的、探究的平臺，在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面取得了較好的效果.現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計過程與大家分享，以供參考．

教學(xué)分析

1.教材分析

本節(jié)課緊接多項式乘法，自然延伸到具有特定形式的多項式乘法公式的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了從一般到特殊的認(rèn)知過渡.學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅體會到平方差公式有簡化運算的作用，而且為學(xué)習(xí)因式分解、分式化簡等相關(guān)內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時也為學(xué)習(xí)完全平方公式提供了依據(jù).

2.學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式乘法，具備了一定的邏輯推理能力.不過，學(xué)生初次學(xué)習(xí)多項式乘法公式，要想認(rèn)清公式結(jié)構(gòu)并不容易.教學(xué)中，教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多項式乘法公式的探索過程，通過探究過程幫助學(xué)生真正理解多項式乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，并能運用多項式乘法公式進(jìn)行簡單運算，逐步提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力、邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；

（2）會推導(dǎo)平方差公式，并能運用平方差公式進(jìn)行簡單運算；

（3）經(jīng)歷平方差公式的探索過程，能運用不同數(shù)學(xué)語言表達(dá)及轉(zhuǎn)化平方差公式，通過平方差公式進(jìn)行多項式乘法運算，體會平方差公式有簡化運算的作用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和歸納總結(jié)能力.

4.教學(xué)重難點

（1）理解平方差公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征；（2）平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用；（3）能用自己的語言描述平方差公式及其特點.

教學(xué)實錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

問題1之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式的乘法法則，請利用多項式乘法法則計算下列多項式的積：

（1） （20（2） （a+2）（b-1）; （3） （4） （n+3）（n-3）; （5） （y+1）（y-3） （6） （2m+1）（2m-1）.

學(xué)生獨立完成，然后小組討論計算結(jié)果.教師展示學(xué)生的計算結(jié)果，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察.教師提問：觀察上述多項式的乘積的結(jié)果，分別得出了四項、三項及兩項的結(jié)果，例如第（1）題是四項，第（5）題是三項，第（1）題、第（3）題、第（4）題、第（6）題是兩項.那么，你們認(rèn)為哪種情況是最特別且值得深入分析的呢？

學(xué)生認(rèn)為，最終結(jié)果是兩項的最特別，也是最值得深入分析的問題.如果能夠發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，就可以直接寫出結(jié)果，從而簡化運算過程.

師：非常棒的發(fā)現(xiàn)，這就是我們本節(jié)課研究的主題.

設(shè)計意圖多項式乘法法則是研究平方差公式的基礎(chǔ)和依據(jù)，教師從學(xué)生熟悉的多項式乘法入手，讓學(xué)生通過對比，發(fā)現(xiàn)其中的特殊情況，從而自然地引出本節(jié)課的研究主題.

2.合作探究，揭示規(guī)律

問題2認(rèn)真觀察第（1）題、第（3）題、第（4）題、第（6）題的計算結(jié)果，并闡述它們在形式上具有怎樣的共同特征．（教師投影展示計算結(jié)果，讓學(xué)生觀察、思考、交流、歸納）生2：式子左邊的兩項式中，前面的項相同，后面的項也相同，但符號相反.師：如果這兩項式中的符號分別用 a ， b 代替，你能得到怎樣的計算結(jié)果？生3： 師：你能進(jìn)一步證明（ ?+b ） （a-b）=a²-b² 嗎？生4： （a+b）（a-b）=a²-ab+ab-b²=a²-b². （204

師：很好，利用多項式乘法證明了結(jié)論.結(jié)合以上證明過程可知，（a+b）（a-b）=a²-b² 只是多項式乘法中的一種特殊形式，以后遇到相同的多項式相乘時，可以直接利用上述公式快速得出結(jié)果.根據(jù)這些式子的結(jié)構(gòu)特征，你能為這個公式命名嗎？

學(xué)生通過觀察、對比、交流，最終達(dá)成共識：因為計算結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差，所以可以將這個公式命名為平方差公式.

設(shè)計意圖教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)幾個式子的共同特征，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的一般規(guī)律，為發(fā)現(xiàn)公式作好鋪墊.學(xué)生結(jié)合式子的共同特征，歸納得出公式后，教師預(yù)留足夠時間讓他們加以證明.在經(jīng)歷觀察、猜想、證明等過程后，學(xué)生加深了對平方差公式的理解，領(lǐng)悟到平方差公式與多項式乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系．將新舊知識相結(jié)合，體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系．將所學(xué)內(nèi)容融入原有知識結(jié)構(gòu)中，幫助學(xué)生建構(gòu)起知識體系，提升知識遷移能力．

問題3以上我們得到了平方差公式的符號表示，你能用文字語言加以描述嗎？ （學(xué)生一時不知如何說起）

師： （a+b） 是什么？生：兩個數(shù)的和.師： 是什么？生：兩個數(shù)的差.師： （a+b）（a-b） 呢？生4：兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的

差的積.師：非常好！ a²-b² 呢？生5：兩個數(shù)的平方差.師： 呢？生6：兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的

差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

設(shè)計意圖教師引導(dǎo)學(xué)生運用文字語言來描述平方差公式，進(jìn)一步加深了學(xué)生對平方差公式的理解，鍛煉了學(xué)生的語言表達(dá)能力，培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.用文字語言表達(dá)平方差公式是本節(jié)課教學(xué)的一個難點，為了幫助學(xué)生突破這一難點，教師通過創(chuàng)設(shè)層層遞進(jìn)的問題進(jìn)行引導(dǎo)，從而順利地實現(xiàn)了從符號語言到文字語言的轉(zhuǎn)化.

問題4如圖1，在邊長為 Ψ_a 的大正方形紙板上裁掉一個邊長為b的小正方形（ Φ_agt;bgt;0 ）.結(jié)合已有知識經(jīng)驗，你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系？談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).

學(xué)生獨立思考后，教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，然后呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程.

師：誰來說說，你有怎樣的發(fā)現(xiàn).

生7：如圖2，當(dāng)我們把下方小長方形剪下并移至右側(cè)后，形成了如圖3所示的新長方形.這個新長方形的長變?yōu)?（a+b） ，寬變?yōu)椋?Φ_a- ^b） ，因此其面積為 （a+b） 乘以 .原圖面積可以看出是 α_a 平方減去b平方，即 a²-b². 由此得出等式 （a+b） （a-b）=a²-b²

圖3

師：非常好，利用幾何圖形驗證了平方差公式.還有其他方法嗎？

生8：如圖4，也可以將不規(guī)則圖形切割成兩個面積相等的梯形，根據(jù)梯形的面積公式得 a+ b） ，即 （a+b） 1 （a- b）=a²-b²

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生運用圖形語言來表示平方差公式，可使學(xué)生更加直觀地理解平方差公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.在這一過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生運用不同方法解決這一問題，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，

3.運用規(guī)律，解決問題

問題5下列多項式能用平方差公式化簡嗎？如果可以，說說公式中的字母 α_a ， b 分別對應(yīng)題目中的哪些數(shù)？其化簡結(jié)果是什么？（教師用PPT呈現(xiàn)題目）

（1） （-3+a）（-3-a） （2） （0.5x-1）（1+0.5x） （3） （204號

題目給出后，把時間留給學(xué)生，讓他們自主思考.

師：第（1）題，有誰愿意說說？

生9：可以用平方差公式，這里-3對應(yīng)平方差公式中的 α_a ， α_a 對應(yīng)平方差公式中的 ∣b∣ ，所以 （-3+ a ） （-3-a）=（-3）²-a²=9-a²

師：很好！第（2）題呢？

生10：這里 0.5x 對應(yīng)平方差公式中的 a ，1對應(yīng)平方差公式中的 b ，所以（ 0.5x-1 ） （ 1+0.5x）=（ 0.5x）²-1²= 0.25x²-1

師：非常好！最后一題誰來說一說？

生11： x+1 對應(yīng)平方差公式中的 Ψ_a ， y 對應(yīng)平方差公式中的 b ，所以 x²+2x+1-y²

師：很好！通過以上問題，說說平方差公式中的字母可以代表什么.

生12：既可以代表數(shù)，又可以代表單項式，還可以代表多項式.

師：在運用平方差公式時，我們一定要清楚問題中的 Ψ_a 和 b 分別指代什么，這是正確運用平方差公式的關(guān)鍵.

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)教師并未直接讓學(xué)生給出計算結(jié)果，而是明確這兩個字母分別指代什么，讓學(xué)生理解平方差公式的本質(zhì)，并靈活應(yīng)用該公式來解決問題.

例1運用平方差公式計算：

（1） （1+a）（-1+a） （2） （-5x+3y）（-5x-3y）. （204例2計算：（1） 102×98 （2） 52²-48². 教師點名學(xué)生上臺板書演示，然后生生互評.從解題反饋來看，學(xué)生可以靈活運用平方差公式解決問題.

設(shè)計意圖例1是平方差公式的直接應(yīng)用，例2是平方差公式的逆應(yīng)用.通過正、逆應(yīng)用，學(xué)生可以加深對平方差公式的理解，深刻體會平方差公式在簡化運算中的作用，有效地訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、推理能力等核心素養(yǎng).另外，學(xué)生通過對平方差公式的逆應(yīng)用，為后續(xù)因式分解的學(xué)習(xí)埋下了伏筆.

4.自主改編，提高能力

問題6若（3b-a）可以用平方差公式計算，那么括號中可能是個怎樣的式子呢？

該題具有一定的開放性，教師預(yù)留時間讓學(xué)生獨立思考.接下來，呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程.

師：誰來說一說，括號內(nèi)可以填入什么式子呢？

生13： 3b+a

師：說說你的理由.生13：這里3b對應(yīng)平方差公式中的 α_a ， Ψ_a 對應(yīng)平方差公式中的 b ，所以（3b-a） （3b+a）=（3b）². 1a²=9b²-a² ：師：很好，只能是 3b+a 嗎？

還有其他填法嗎？生14：也可以是 -3b-a 師：說說你的想法.生14：可以把 -a 看成平方差公式中的 Ψ_a ，則3b對應(yīng)平方差公式中的 b ，所以有（3b-a） （-3b-a）=（-a）²-（3b）²=a²-9b². 師：還有嗎？生15：也可以是 6b+2a ，即2（3b+a） ，這樣只要提出2，也可以利用平方差公式進(jìn)行計算.生15這一思路給出后，其他學(xué)生又衍生了多種填法，課堂氛圍十分活躍.師：非常棒！接下來，開展一項你出題我挑戰(zhàn)的活動.規(guī)則如下：

參與者兩人組成一個隊伍，各自設(shè)計一道利用平方差公式計算的題目，雙方交換進(jìn)行回答．（學(xué)生積極參與，呈現(xiàn)出許多精彩案例）師：誰愿意分享一下自己的設(shè)計成果？生16：我設(shè)計的題目是：（ ?+y+1） ，答案是： x²+2xy+y²-1 ，師：大家動手做一做，生16的設(shè)計符合要求嗎？計算結(jié)果正確嗎？

（教師預(yù)留時間讓學(xué)生驗證）生17：可以利用平方差公式計算.這里 x+y 對應(yīng)平方差公式中的（204號 a ，1對應(yīng)平方差公式中的 b ，所以（204號 （?_x+y-1）=（?_x+y?）²-1=x²+2xy+y²-1. 師：很好，還有誰愿意分享呢？生18： ，答案是： x²-4x+3.

生19：不能用，如果將第一個括號中的“-1”改成“ +3^\""，或?qū)⒌诙€括號中的“-3”改成“1”，就能用平方差公式了.

師：你們贊成生19的觀點嗎？（大多數(shù)學(xué)生點頭表示贊成）

師：生18設(shè)計的題目能否應(yīng)用平方差公式呢？（只有生18認(rèn)為能用平方差公式，其他學(xué)生表示不能用平方差公式）

師：現(xiàn)在請生18給出你的解題 過程.

生18：這里的""可以看成（204號 （x-2+1） ， （x-3） 可以看成（ χ_x-"2-1），其中 x-2 對應(yīng)公式中的 Ψ_a"1對應(yīng)公式中的 b ，所以有（ ?- 1）""2）""x²-4x+3

生18的解題過程給出后，其他學(xué)生才恍然大悟，原來公式還可以這么用.

師：生18的解法非常新奇，值得表揚.但是，需要注意的是，我們運用平方差公式的目的是簡化運算過程，提高運算效率，而以上解題過程并未實現(xiàn)簡化目的，所以該題應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算并非最優(yōu)解法．

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)，教師設(shè)計的是一道開放題，通過問題的解決不僅可以進(jìn)一步加深學(xué)生對平方差公式的理解，而且可以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生挖掘?qū)W習(xí)潛力，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.順利解決問題6后，教師又設(shè)計了一個“你出題，我挑戰(zhàn)”活動，讓學(xué)生以主角身份參與課堂教學(xué)實踐，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生敢于提問、勇于實踐的良好思維品質(zhì).

5.課堂小結(jié)，升華認(rèn)知

問題7通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？還有哪些困惑？

教師鼓勵學(xué)生從知識、技能、思想、方法等方面對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié).學(xué)生積極回顧，主動交流，逐步完善知識體系．

設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，這一舉措旨在幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，熟練掌握解題基本技能，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，提升解題關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)思考

教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，精心設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平方差公式發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用等過程，幫助學(xué)生理解并掌握平方差公式，提高可持續(xù)學(xué)習(xí)能力.同時，教師還需充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，提供充足的時間和空間讓學(xué)生思考、交流、歸納、總結(jié)，弄清問題的來龍去脈，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.另外，教師還引導(dǎo)學(xué)生自主創(chuàng)作題目，利用學(xué)生間的差異為課堂增添多樣的教學(xué)材料，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的熱情，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，進(jìn)一步提高教師的教學(xué)質(zhì)量與學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

總之，教師要相信、尊重學(xué)生，合理創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，發(fā)展學(xué)生的可持續(xù)學(xué)習(xí)能力.