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初中數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)模式的構(gòu)建與實施探研

2025-07-21 00:00:00潘虎明
關(guān)鍵詞:平方差乘法公式

學(xué)習(xí)是一項對主觀能動性要求較高的活動,學(xué)生只有學(xué)會主動分析、思考、實踐,才能真正理解和掌握知識本質(zhì).不過,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,部分教師為了追求進(jìn)度,依然采用傳統(tǒng)教學(xué)模式,影響了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng),限制了學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展.因此,教師應(yīng)改變教學(xué)觀念,給予學(xué)生更多自主學(xué)習(xí)的機會,充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性,逐步提升學(xué)生獨立思考和合作探究的能力.在“平方差公式”的教學(xué)中,筆者從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),為學(xué)生搭建起平等的、探究的平臺,在培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面取得了較好的效果.現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計過程與大家分享,以供參考.

教學(xué)分析

1.教材分析

本節(jié)課緊接多項式乘法,自然延伸到具有特定形式的多項式乘法公式的學(xué)習(xí),體現(xiàn)了從一般到特殊的認(rèn)知過渡.學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),不僅體會到平方差公式有簡化運算的作用,而且為學(xué)習(xí)因式分解、分式化簡等相關(guān)內(nèi)容奠定了基礎(chǔ),同時也為學(xué)習(xí)完全平方公式提供了依據(jù).

2.學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式乘法,具備了一定的邏輯推理能力.不過,學(xué)生初次學(xué)習(xí)多項式乘法公式,要想認(rèn)清公式結(jié)構(gòu)并不容易.教學(xué)中,教師應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多項式乘法公式的探索過程,通過探究過程幫助學(xué)生真正理解多項式乘法公式的結(jié)構(gòu)特征,并能運用多項式乘法公式進(jìn)行簡單運算,逐步提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力、邏輯推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征;

(2)會推導(dǎo)平方差公式,并能運用平方差公式進(jìn)行簡單運算;

(3)經(jīng)歷平方差公式的探索過程,能運用不同數(shù)學(xué)語言表達(dá)及轉(zhuǎn)化平方差公式,通過平方差公式進(jìn)行多項式乘法運算,體會平方差公式有簡化運算的作用,培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和歸納總結(jié)能力.

4.教學(xué)重難點

(1)理解平方差公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征;(2)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用;(3)能用自己的語言描述平方差公式及其特點.

教學(xué)實錄

1.創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入課題

問題1之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式的乘法法則,請利用多項式乘法法則計算下列多項式的積:

(1) (20(2) (a+2)(b-1); (3) (4) (n+3)(n-3); (5) (y+1)(y-3) (6) (2m+1)(2m-1).

學(xué)生獨立完成,然后小組討論計算結(jié)果.教師展示學(xué)生的計算結(jié)果,并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察.教師提問:觀察上述多項式的乘積的結(jié)果,分別得出了四項、三項及兩項的結(jié)果,例如第(1)題是四項,第(5)題是三項,第(1)題、第(3)題、第(4)題、第(6)題是兩項.那么,你們認(rèn)為哪種情況是最特別且值得深入分析的呢?

學(xué)生認(rèn)為,最終結(jié)果是兩項的最特別,也是最值得深入分析的問題.如果能夠發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,就可以直接寫出結(jié)果,從而簡化運算過程.

師:非常棒的發(fā)現(xiàn),這就是我們本節(jié)課研究的主題.

設(shè)計意圖多項式乘法法則是研究平方差公式的基礎(chǔ)和依據(jù),教師從學(xué)生熟悉的多項式乘法入手,讓學(xué)生通過對比,發(fā)現(xiàn)其中的特殊情況,從而自然地引出本節(jié)課的研究主題.

2.合作探究,揭示規(guī)律

問題2認(rèn)真觀察第(1)題、第(3)題、第(4)題、第(6)題的計算結(jié)果,并闡述它們在形式上具有怎樣的共同特征.(教師投影展示計算結(jié)果,讓學(xué)生觀察、思考、交流、歸納)生2:式子左邊的兩項式中,前面的項相同,后面的項也相同,但符號相反.師:如果這兩項式中的符號分別用 a , b 代替,你能得到怎樣的計算結(jié)果?生3: 師:你能進(jìn)一步證明( ?+b ) (a-b)=a2-b2 嗎?生4: (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. (204

師:很好,利用多項式乘法證明了結(jié)論.結(jié)合以上證明過程可知,(a+b)(a-b)=a2-b2 只是多項式乘法中的一種特殊形式,以后遇到相同的多項式相乘時,可以直接利用上述公式快速得出結(jié)果.根據(jù)這些式子的結(jié)構(gòu)特征,你能為這個公式命名嗎?

學(xué)生通過觀察、對比、交流,最終達(dá)成共識:因為計算結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差,所以可以將這個公式命名為平方差公式.

設(shè)計意圖教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)幾個式子的共同特征,發(fā)現(xiàn)其中蘊含的一般規(guī)律,為發(fā)現(xiàn)公式作好鋪墊.學(xué)生結(jié)合式子的共同特征,歸納得出公式后,教師預(yù)留足夠時間讓他們加以證明.在經(jīng)歷觀察、猜想、證明等過程后,學(xué)生加深了對平方差公式的理解,領(lǐng)悟到平方差公式與多項式乘法之間的內(nèi)在聯(lián)系.將新舊知識相結(jié)合,體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系.將所學(xué)內(nèi)容融入原有知識結(jié)構(gòu)中,幫助學(xué)生建構(gòu)起知識體系,提升知識遷移能力.

問題3以上我們得到了平方差公式的符號表示,你能用文字語言加以描述嗎? (學(xué)生一時不知如何說起)

師: (a+b) 是什么?生:兩個數(shù)的和.師: 是什么?生:兩個數(shù)的差.師: (a+b)(a-b) 呢?生4:兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的

差的積.師:非常好! a2-b2 呢?生5:兩個數(shù)的平方差.師: 呢?生6:兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的

差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

設(shè)計意圖教師引導(dǎo)學(xué)生運用文字語言來描述平方差公式,進(jìn)一步加深了學(xué)生對平方差公式的理解,鍛煉了學(xué)生的語言表達(dá)能力,培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.用文字語言表達(dá)平方差公式是本節(jié)課教學(xué)的一個難點,為了幫助學(xué)生突破這一難點,教師通過創(chuàng)設(shè)層層遞進(jìn)的問題進(jìn)行引導(dǎo),從而順利地實現(xiàn)了從符號語言到文字語言的轉(zhuǎn)化.

問題4如圖1,在邊長為 Ψa 的大正方形紙板上裁掉一個邊長為b的小正方形( Φagt;bgt;0 ).結(jié)合已有知識經(jīng)驗,你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系?談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).

圖1

學(xué)生獨立思考后,教師組織學(xué)生進(jìn)行小組討論,然后呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程.

師:誰來說說,你有怎樣的發(fā)現(xiàn).

生7:如圖2,當(dāng)我們把下方小長方形剪下并移至右側(cè)后,形成了如圖3所示的新長方形.這個新長方形的長變?yōu)?(a+b) ,寬變?yōu)椋?Φa- b) ,因此其面積為 (a+b) 乘以 .原圖面積可以看出是 αa 平方減去b平方,即 a2-b2. 由此得出等式 (a+b) (a-b)=a2-b2

圖2

圖3

師:非常好,利用幾何圖形驗證了平方差公式.還有其他方法嗎?

生8:如圖4,也可以將不規(guī)則圖形切割成兩個面積相等的梯形,根據(jù)梯形的面積公式得 a+ b) ,即 (a+b) 1 (a- b)=a2-b2

圖4

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生運用圖形語言來表示平方差公式,可使學(xué)生更加直觀地理解平方差公式,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.在這一過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生運用不同方法解決這一問題,培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性,提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,

3.運用規(guī)律,解決問題

問題5下列多項式能用平方差公式化簡嗎?如果可以,說說公式中的字母 αa , b 分別對應(yīng)題目中的哪些數(shù)?其化簡結(jié)果是什么?(教師用PPT呈現(xiàn)題目)

(1) (-3+a)(-3-a) (2) (0.5x-1)(1+0.5x) (3) (204號

題目給出后,把時間留給學(xué)生,讓他們自主思考.

師:第(1)題,有誰愿意說說?

生9:可以用平方差公式,這里-3對應(yīng)平方差公式中的 αa , αa 對應(yīng)平方差公式中的 ∣b∣ ,所以 (-3+ a ) (-3-a)=(-3)2-a2=9-a2

師:很好!第(2)題呢?

生10:這里 0.5x 對應(yīng)平方差公式中的 a ,1對應(yīng)平方差公式中的 b ,所以( 0.5x-1 ) ( 1+0.5x)=( 0.5x)2-12= 0.25x2-1

師:非常好!最后一題誰來說一說?

生11: x+1 對應(yīng)平方差公式中的 Ψa , y 對應(yīng)平方差公式中的 b ,所以 x2+2x+1-y2

師:很好!通過以上問題,說說平方差公式中的字母可以代表什么.

生12:既可以代表數(shù),又可以代表單項式,還可以代表多項式.

師:在運用平方差公式時,我們一定要清楚問題中的 Ψa 和 b 分別指代什么,這是正確運用平方差公式的關(guān)鍵.

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)教師并未直接讓學(xué)生給出計算結(jié)果,而是明確這兩個字母分別指代什么,讓學(xué)生理解平方差公式的本質(zhì),并靈活應(yīng)用該公式來解決問題.

例1運用平方差公式計算:

(1) (1+a)(-1+a) (2) (-5x+3y)(-5x-3y). (204例2計算:(1) 102×98 (2) 522-482. 教師點名學(xué)生上臺板書演示,然后生生互評.從解題反饋來看,學(xué)生可以靈活運用平方差公式解決問題.

設(shè)計意圖例1是平方差公式的直接應(yīng)用,例2是平方差公式的逆應(yīng)用.通過正、逆應(yīng)用,學(xué)生可以加深對平方差公式的理解,深刻體會平方差公式在簡化運算中的作用,有效地訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、推理能力等核心素養(yǎng).另外,學(xué)生通過對平方差公式的逆應(yīng)用,為后續(xù)因式分解的學(xué)習(xí)埋下了伏筆.

4.自主改編,提高能力

問題6若(3b-a)可以用平方差公式計算,那么括號中可能是個怎樣的式子呢?

該題具有一定的開放性,教師預(yù)留時間讓學(xué)生獨立思考.接下來,呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程.

師:誰來說一說,括號內(nèi)可以填入什么式子呢?

生13: 3b+a

師:說說你的理由.生13:這里3b對應(yīng)平方差公式中的 αa , Ψa 對應(yīng)平方差公式中的 b ,所以(3b-a) (3b+a)=(3b)2. 1a2=9b2-a2 :師:很好,只能是 3b+a 嗎?

還有其他填法嗎?生14:也可以是 -3b-a 師:說說你的想法.生14:可以把 -a 看成平方差公式中的 Ψa ,則3b對應(yīng)平方差公式中的 b ,所以有(3b-a) (-3b-a)=(-a)2-(3b)2=a2-9b2. 師:還有嗎?生15:也可以是 6b+2a ,即2(3b+a) ,這樣只要提出2,也可以利用平方差公式進(jìn)行計算.生15這一思路給出后,其他學(xué)生又衍生了多種填法,課堂氛圍十分活躍.師:非常棒!接下來,開展一項你出題我挑戰(zhàn)的活動.規(guī)則如下:

參與者兩人組成一個隊伍,各自設(shè)計一道利用平方差公式計算的題目,雙方交換進(jìn)行回答.(學(xué)生積極參與,呈現(xiàn)出許多精彩案例)師:誰愿意分享一下自己的設(shè)計成果?生16:我設(shè)計的題目是:( ?+y+1) ,答案是: x2+2xy+y2-1 ,師:大家動手做一做,生16的設(shè)計符合要求嗎?計算結(jié)果正確嗎?

(教師預(yù)留時間讓學(xué)生驗證)生17:可以利用平方差公式計算.這里 x+y 對應(yīng)平方差公式中的(204號 a ,1對應(yīng)平方差公式中的 b ,所以(204號 (?x+y-1)=(?x+y?)2-1=x2+2xy+y2-1. 師:很好,還有誰愿意分享呢?生18: ,答案是: x2-4x+3.

生19:不能用,如果將第一個括號中的“-1”改成“ +3\"",或?qū)⒌诙€括號中的“-3”改成“1”,就能用平方差公式了.

師:你們贊成生19的觀點嗎?(大多數(shù)學(xué)生點頭表示贊成)

師:生18設(shè)計的題目能否應(yīng)用平方差公式呢?(只有生18認(rèn)為能用平方差公式,其他學(xué)生表示不能用平方差公式)

師:現(xiàn)在請生18給出你的解題 過程.

生18:這里的""可以看成(204號 (x-2+1) , (x-3) 可以看成( χx-"2-1),其中 x-2 對應(yīng)公式中的 Ψa"1對應(yīng)公式中的 b ,所以有( ?- 1)""2)""x2-4x+3

生18的解題過程給出后,其他學(xué)生才恍然大悟,原來公式還可以這么用.

師:生18的解法非常新奇,值得表揚.但是,需要注意的是,我們運用平方差公式的目的是簡化運算過程,提高運算效率,而以上解題過程并未實現(xiàn)簡化目的,所以該題應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算并非最優(yōu)解法.

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié),教師設(shè)計的是一道開放題,通過問題的解決不僅可以進(jìn)一步加深學(xué)生對平方差公式的理解,而且可以發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,幫助學(xué)生挖掘?qū)W習(xí)潛力,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.順利解決問題6后,教師又設(shè)計了一個“你出題,我挑戰(zhàn)”活動,讓學(xué)生以主角身份參與課堂教學(xué)實踐,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生敢于提問、勇于實踐的良好思維品質(zhì).

5.課堂小結(jié),升華認(rèn)知

問題7通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?還有哪些困惑?

教師鼓勵學(xué)生從知識、技能、思想、方法等方面對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié).學(xué)生積極回顧,主動交流,逐步完善知識體系.

設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié),這一舉措旨在幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,熟練掌握解題基本技能,積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗,提升解題關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)思考

教學(xué)中,教師應(yīng)從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā),精心設(shè)計問題,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷平方差公式發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用等過程,幫助學(xué)生理解并掌握平方差公式,提高可持續(xù)學(xué)習(xí)能力.同時,教師還需充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性,提供充足的時間和空間讓學(xué)生思考、交流、歸納、總結(jié),弄清問題的來龍去脈,提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.另外,教師還引導(dǎo)學(xué)生自主創(chuàng)作題目,利用學(xué)生間的差異為課堂增添多樣的教學(xué)材料,激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的熱情,目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性,進(jìn)一步提高教師的教學(xué)質(zhì)量與學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

總之,教師要相信、尊重學(xué)生,合理創(chuàng)設(shè)問題情境,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,發(fā)展學(xué)生的可持續(xù)學(xué)習(xí)能力.

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