高中階段簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是高中物理中一種重要的運(yùn)動(dòng)形式，廣泛存在于自然界和日常生活中，如單擺的擺動(dòng)、彈簧振子的振動(dòng)等.周期作為描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵物理量，反映了運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性和規(guī)律性.掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，對(duì)于學(xué)生理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，解決相關(guān)物理問(wèn)題具有重要意義.

1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的推導(dǎo)

1. 1 單擺周期公式的推導(dǎo)

一根不可伸長(zhǎng)、質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線，一端固定于懸點(diǎn) O ，另一端系一個(gè)質(zhì)量為 ψ_m 的小球，小球在豎直平面內(nèi)做小角度擺動(dòng)（擺角 θlt;5^°. ，構(gòu)成單擺模型，

當(dāng)擺球偏離平衡位置的角度為 θ 時(shí)，對(duì)擺球進(jìn)

行受力分析，擺球受到重力 mg 和細(xì)線的拉力 T .將

重力沿切線方向和法線方向分解，切線方向的分力

F_#=-mgsinθ ，負(fù)號(hào)表示該力方向與擺球偏離平

衡位置的方向相反，并始終指向平衡位置.在小角度

情況下， sinθ≈θ ，設(shè)擺長(zhǎng)為 ξ_l ，則切線方向的分力可

近似表示為 ，其中 x=lθ 為擺球偏離

平衡位置的弧長(zhǎng)，在小角度擺動(dòng)時(shí)可近似看作直線位

移.由牛頓第二定律，此時(shí)切線方向加速度 d，可 對(duì) x=Acos（ωt+φ） 求二階導(dǎo)

數(shù). ，代人mg 中，整理可得 0，因?yàn)锳cos（ωt+φ）不恒為0，所以mg ，解得 ，而 2，代人得到單擺的周期公式

1. 2 彈簧振子周期公式的推導(dǎo)

設(shè)一水平放置的勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧一端固定，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為 Ψ_m 的物體，物體在光滑水平面上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成彈簧振子模型.

以彈簧原長(zhǎng)時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn) O ，建立坐標(biāo)系，當(dāng)物體偏離平衡位置的位移為 x 時(shí)，根據(jù)胡克定律，彈簧對(duì)物體的彈力 F=-kx ，負(fù)號(hào)表示彈力方向與位移方向相反，始終指向平衡位置.由牛頓第二定律可得 -kx=ma .又因?yàn)榧铀俣? ，所以方程可寫為

假設(shè)其解的形式為 x=Acos（ωt+φ） ，求一階導(dǎo)數(shù) ，再求二階導(dǎo)數(shù) a=

將 代人 kx=0 中，整理可得 （k-mω²）Acos（ωt+φ）=0 因?yàn)?Acos（ωt+φ） 不恒為0，所以 k-mω²=0 ，解得 （204號(hào).所以，彈簧振子的周期

公式

2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的應(yīng)用

2. 1 單擺周期公式的應(yīng)用

例1如圖1所示是一個(gè)單擺做小偏角振動(dòng)的情形， O 是它的平衡位置， ^B，C 是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，周期為0.8s.若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s² ，取 π²=10 求：

（1）單擺振動(dòng)的頻率是多大？

（2）若該單擺在另一星球表面擺動(dòng)時(shí)，測(cè)得完成50次全振動(dòng)所用的時(shí)間為100s，則該星球表面的重力加速度是多少？

解析 （1）由題意可知 T=0.8s ，則 1.25Hz

（2）若該單擺在地球表面擺動(dòng)時(shí)，根據(jù) T= ，代人數(shù)據(jù)解得l=gT2 ，若該單擺在另一星球表面擺動(dòng)時(shí)，完成50次全振動(dòng)所用的時(shí)間為100s，則周期 ，根據(jù)單擺周期公式 T= ，代人數(shù)據(jù)解得g星=1.6m/s2，

點(diǎn)評(píng)本題要求解星球表面的重力加速度，可利用單擺的周期公式進(jìn)行求解.只要根據(jù)題目給定的信息找到擺長(zhǎng)，求出周期，即可根據(jù)公式求出星球表面的重力加速度.

2.2彈簧振子周期公式的應(yīng)用

例2一個(gè)水平彈簧振子的固有頻率是 3Hz ，要使它在振動(dòng)中產(chǎn)生的最大加速度能達(dá)到 5m/s² ，它振動(dòng)的振幅 A=cm

解析 根據(jù)題意 ，水平彈簧振子最大的伸長(zhǎng)量為 A ，此時(shí)有 kA=ma ，解得 A= a，聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得A=1.4cm.

點(diǎn)評(píng)本題可根據(jù)彈簧振子的固有頻率，結(jié)合彈簧振子的周期公式，找到振子質(zhì)量和彈簧勁度系數(shù)之間的關(guān)系，再運(yùn)用牛頓第二定律，在振子具有最大加速度時(shí)列出方程，即可聯(lián)立求解振幅.

3結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)彈簧振子和單擺這兩種典型簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式推導(dǎo)，深入理解了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期與系統(tǒng)參數(shù)（質(zhì)量、勁度系數(shù)、擺長(zhǎng)、重力加速度等）之間的內(nèi)在聯(lián)系.在應(yīng)用方面，通過(guò)具體實(shí)例展示了如何運(yùn)用周期公式解決各種與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，包括求解周期、分析特定環(huán)境下周期的變化以及根據(jù)周期變化調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)等.這不僅有助于學(xué)生掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的核心知識(shí)，更能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用物理知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和思維方法.在教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生理解公式推導(dǎo)過(guò)程中的物理思想和數(shù)學(xué)方法，通過(guò)多樣化的應(yīng)用實(shí)例鞏固知識(shí)，提升學(xué)生的物理學(xué)科素養(yǎng).在今后的教學(xué)中，對(duì)于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式的研究，教師可以將其進(jìn)一步拓展到更復(fù)雜的物理情境中，如考慮阻尼對(duì)周期的影響、多個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的耦合等，以滿足不同層次學(xué)生對(duì)知識(shí)探索的需求，推動(dòng)物理教學(xué)向更高水平發(fā)展，

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