基于CTI教學(xué)模式的公式教學(xué)實(shí)踐探索

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0025-06引用格式：．基于CTI教學(xué)模式的公式教學(xué)實(shí)踐探索：以“貝葉斯公式”為例[J]．中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：25-30.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，需要確定能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，貫徹把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)和重視過程評價，聚焦素養(yǎng)，提高質(zhì)量的基本理念．為實(shí)現(xiàn)深化學(xué)生對知識的理解和促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)目標(biāo)，文獻(xiàn)[2]提出了一種新的教學(xué)模式，即CTI教學(xué)模式.

CTI教學(xué)模式是“建構(gòu)（construct）—遷移（trans-fer）—創(chuàng)新（innovate）”教學(xué)模式的簡稱，該模式下的教學(xué)程序包括：設(shè)計問題情境、知識的探究與建構(gòu)、知識的理解與應(yīng)用、知識的遷移與應(yīng)用、知識的創(chuàng)新與應(yīng)用五個環(huán)節(jié)．與傳統(tǒng)教學(xué)模式相比，CTI教學(xué)模式增加了知識的探究與建構(gòu)、知識的遷移與應(yīng)用、知識的創(chuàng)新與應(yīng)用三個環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)知識的探究建構(gòu)與知識的結(jié)論成果同等重要．傳統(tǒng)的公式教學(xué)往往更注重公式的結(jié)論與運(yùn)算，忽略了公式的生成與意義，不利于學(xué)生對公式的理解和核心素養(yǎng)的發(fā)展．在公式教學(xué)中，教師若能基于CTI教學(xué)模式設(shè)置情境化教學(xué)活動，落實(shí)好公式建構(gòu)、公式應(yīng)用等環(huán)節(jié)，則能更好地幫助學(xué)生理解公式的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對知識和經(jīng)驗(yàn)的理解、遷移，提升學(xué)生的思維能力和推理能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、基于CTI教學(xué)模式的公式教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，基于對CTI教學(xué)模式的理解，高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)可以設(shè)置為五個環(huán)節(jié)，具體如表1所示.

表1

二、教學(xué)探索

貝葉斯公式是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）選擇性必修第三冊第七章“隨機(jī)變量及其分布”第一節(jié)“條件概率與全概率公式”中的內(nèi)容．本節(jié)課先從實(shí)際問題中抽象出條件概率，再利用所得概率的乘法公式計算積事件的概率，通過概率的加法公式和乘法公式求一組兩兩互斥事件的概率歸納出全概率公式．由條件概率和全概率公式所得的貝葉斯公式是“由果溯因”的工具．基于先驗(yàn)概率求得的反向條件概率稱為后驗(yàn)概率，常用于修正先驗(yàn)概率進(jìn)而做出決策．本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）通過創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般地抽象出貝葉斯公式，體會特殊與一般的思想，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng).

（2）通過具體實(shí)例的應(yīng)用，理解先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率的實(shí)際意義與區(qū)別，體會概率思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，提高分析問題和解決問題的能力，進(jìn)而獲得并積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

（3）通過公式的探究與建構(gòu)環(huán)節(jié)，體會單元知識體系的關(guān)聯(lián)性與整體性，進(jìn)一步加深對公式結(jié)構(gòu)特征的理解.

教學(xué)重點(diǎn)為貝葉斯公式的一般化，體會貝葉斯公式中后驗(yàn)概率的應(yīng)用價值.

教學(xué)難點(diǎn)為借助圖形直觀表示條件概率 是樣本空間 B 中積事件 AB 發(fā)生的概率，為貝葉斯公式的推理奠定概率計算的“可視化”基礎(chǔ)．從特殊的對立事件到一般的互斥事件，從具體到抽象，從實(shí)際到理論，經(jīng)過類比抽象得出貝葉斯公式.

1.設(shè)計問題情境

問題1：一個人愛好深空攝影．你覺得以下哪種

可能性比較大？

（1）他是攝影師；

（2）他是教師.

追問1：如何用數(shù)學(xué)語言“翻譯”上述問題情境？學(xué)生研究得出的結(jié)果如表2所示.

表2

追問2：還需要哪些信息才可以算出概率 和 ？

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題并整理信息，將題設(shè)情境“翻譯”為熟悉的數(shù)學(xué)語言，從實(shí)際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，得到解題思路，消除學(xué)生對概率問題的恐懼．同時，讓學(xué)生明確本節(jié)課要解決的問題，為引出貝葉斯公式是“由果溯因”的工具作鋪墊．教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提高學(xué)生分析與解決此類數(shù)學(xué)問題的能力．

2.公式的探究與建構(gòu)

為順利解決問題1，教師提供如下信息.

（1）攝影師與教師的人數(shù)比例為 1：20

（2）攝影師中愛好符合描述的人數(shù)占比為 40% 教師中愛好符合描述的人數(shù)占比為 10% 業(yè)

問題2：在已知信息都準(zhǔn)確的條件下，如何求此人的職業(yè)是攝影師的概率 ？

解：設(shè) A₁= “此人職業(yè)是攝影師”， A₂= “此人職業(yè)是教師”， B= “愛好符合描述”.

如圖2，用面積為1的矩形表示樣本空間，將其平均分割為210塊格子，其中10塊豎條紋格子表示攝影師，占總體的 ，即 ，剩下的200塊格子表示教師，占總體的 ，即P（A2）=20.

圖2

如圖3，根據(jù)愛好符合描述的占比將格子涂黑，左側(cè)第1列黑色區(qū)域表示職業(yè)是攝影師且愛好符合描述，即事件 A₁B ，其余黑色區(qū)域表示職業(yè)是教師且愛好符合描述，即事件 A₂B ，故事件 B 由事件 A₁B 與事件 A₂B 組成，表示為所有黑色區(qū)域.

圖3

于是，求條件概率 即在縮小的樣本空間 B 中求積事件 A₁B 發(fā)生的概率.

借助圖3，用面積表示乘法公式，有 P（A₁B）= （20

根據(jù)全概率公式有 故 代人數(shù)據(jù)，得 P（A₁|B）≈16.67%

問題3：在已知信息都準(zhǔn)確的條件下，如何求此人的職業(yè)是教師的概率 。

解：求條件概率 P（A₂|B） 即在縮小的樣本空間 B 中求積事件 A₂B 發(fā)生的概率.

易知 代入數(shù)據(jù)，得 P（A₂|B）≈83.33%

問題4：在已知信息都準(zhǔn)確的條件下，如何求概率

由問題2和問題3的分析可知，

追問：比較 與 P（A₂|B） 的值，可以得到什么結(jié)論？

經(jīng)過計算得到 P（A₁|B）2|B） ，說明此人的職業(yè)是攝影師的概率小于是教師的概率，與學(xué)生最初認(rèn)為“此人的職業(yè)是攝影師”這一直覺相悖.

問題5：如果有 n 個兩兩互斥的職業(yè)，在愛好符合描述的前提下，如何求此人是第1種職業(yè)的概率？

解：設(shè) “此人是第 i 種職業(yè)， i=1 ，2，…， n ”，B= “愛好符合描述”.

如圖4，用面積為1的矩形表示樣本空間，用不同的底紋表示不同的職業(yè)，根據(jù)比例將該矩形分成 n 份，用黑色區(qū)域表示所有愛好符合描述的職業(yè).

圖4

求條件概率 即在縮小的樣本空間 B 中求 積事件 A₁B 發(fā)生的概率.

至此，抽象得到貝葉斯公式：設(shè) A₁ ， A₂ ，…， A_n 是一組兩兩互斥的事件， A₁?A₂?…?A_n=Ω ，且P（A_i）gt;0，i=1，2，…，n ，則對任意的事件 P（B）gt;0 ，有 2，…， n

假定 A₁ ， A₂ ，…， A_n 是導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的“原因”，稱 P（A_i） 為先驗(yàn)概率，它反映了各種“原因”發(fā)生的可能性大小，它們在試驗(yàn)之前是已知的.

現(xiàn)在試驗(yàn)結(jié)果是事件 B 發(fā)生了，這個信息將有助于探究事件發(fā)生的“原因”．條件概率 稱為后驗(yàn)概率，它反映了試驗(yàn)之后對各種“原因”發(fā)生的可能性大小的新認(rèn)識.

【設(shè)計意圖】借助圖形表示事件，直觀表示求條件概率 本質(zhì)上是在縮小的新的樣本空間 B 中求積事件 AB 的概率，為貝葉斯公式的推理奠定了概率計算的“可視化”基礎(chǔ)．教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式結(jié)構(gòu)，探索基于先驗(yàn)概率所求的反向條件概率，抽象得到貝葉斯公式．教師引導(dǎo)學(xué)生通過探究“由果溯因”問題發(fā)現(xiàn)直覺未必準(zhǔn)確，為引出先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的區(qū)別與意義作鋪墊，提高學(xué)生分析和解決此類數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)．

3.公式的理解與應(yīng)用

問題6：我校心理健康活動節(jié)“幸福刮刮樂”活動中刮到“彩蛋”的學(xué)生可以進(jìn)行一次抽獎游戲．規(guī)則如下：編號為1，2，3的三個外觀相同的箱子中只有一個有大獎（主持人知道），抽獎人在三個箱子中任選一個，若獎品在此箱子中，則可以獲得獎品，求任選一個箱子中獎的概率.

追問1：若你是抽獎人，不妨假設(shè)你選擇了1號箱．在打開1號箱之前，主持人先打開了另外兩個箱子中的一個空箱子．按游戲規(guī)定，主持人只打開你的選擇之外的空箱子，當(dāng)兩個箱子都是空箱子時，他隨機(jī)選擇其中一個箱子打開．不妨設(shè)主持人打開的箱子是3號箱．現(xiàn)給你一次重新選擇的機(jī)會，你是堅持選1號箱，還是改選2號箱？

對于是否改選2號箱，學(xué)生有以下觀點(diǎn).

（1）三個箱子中有獎品的概率都是 ，所以不必改選2號箱.

（2）獎品在1號箱中的概率是 當(dāng)知道3號箱是空箱時，2號箱中有獎品的概率變?yōu)? ，故應(yīng)該改選2號箱.

學(xué)生利用貝葉斯公式研究是否應(yīng)該改選2號箱的過程如下.

解：設(shè) A_i= “第 i 號箱子中有獎品， i=1 ，2， 3^′′ B= “主持人打開了3號箱”.

由題意，比較 與 的大小即可解決問題.

易知

主持人打開1號箱之外的一個空箱子，有以下三種可能情況.

若獎品在1號箱中，主持人可以打開2號箱、3號箱，則P（B|A）=?；

若獎品在2號箱中，主持人只能打開3號箱，則 ，

若獎品在3號箱中，主持人只能打開2號箱，則

根據(jù)全概率公式，主持人打開3號箱的概率為 （204號

由貝葉斯公式，在打開3號箱的條件下，1號箱和2號箱中有獎品的概率分別為

通過比較后驗(yàn)概率，得 P（A₁|B）2|B） ，故在打開3號箱的條件下，應(yīng)該改選2號箱．此時后驗(yàn)概率修正了先驗(yàn)概率.

追問2：你能否歸納借助貝葉斯公式解決此類問題的一般步驟？

貝葉斯公式解決此類問題的一般步驟如下.

（1）分析題目，假設(shè)事件；

（2）根據(jù)已知信息，得到先驗(yàn)概率 P（A_i） 及條件概率 ：

（3）根據(jù)全概率公式得到 P（B） ;

（4）根據(jù)貝葉斯公式得到后驗(yàn)概率 P（A_i|B） （5）根據(jù)后驗(yàn)概率修正決策.

【設(shè)計意圖】通過改編的“三門問題”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過小組討論是否改選引發(fā)思維碰撞，讓學(xué)生思考問題并嘗試借助貝葉斯公式自行解決問題.教師引導(dǎo)學(xué)生分析問題，厘清事件之間的關(guān)系，利用貝葉斯公式得到后驗(yàn)概率，進(jìn)而修正決策，學(xué)生在做決策時往往基于生活實(shí)際進(jìn)行判斷，忽視了獨(dú)立性與條件概率之間的聯(lián)系，經(jīng)過計算推理的結(jié)果可能與直覺相悖，此過程強(qiáng)調(diào)了先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的區(qū)別與意義，讓學(xué)生體會了貝葉斯公式中后驗(yàn)概率的應(yīng)用價值，提高了學(xué)生分析與解決此類數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

問題7：貝葉斯公式在結(jié)構(gòu)上有什么特征？與本章學(xué)過的其他公式是否有聯(lián)系？

貝葉斯公式在結(jié)構(gòu)上描述了條件概率 和 之間的關(guān)系，其本質(zhì)是條件概率．如圖5，它的分子結(jié)構(gòu)由概率的乘法公式 表示，分母結(jié)構(gòu)由全概率公式 表示．貝葉斯公式的意義在于能夠通過已知信息，計算出后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正，進(jìn)而能夠根據(jù)后驗(yàn)概率進(jìn)行推理和決策.

圖5

【設(shè)計意圖】通過從特殊到一般、從具體到抽象、從實(shí)際到理論，運(yùn)用類比、直觀想象的方法，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注公式結(jié)構(gòu)，抽象出貝葉斯公式．在抽象過程中，學(xué)生能夠體會單元知識體系的關(guān)聯(lián)性與整體性，增強(qiáng)學(xué)生對條件概率、全概率公式和貝葉斯公式的理解，提高學(xué)生的推理能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

4.公式的遷移與應(yīng)用

練習(xí)1：在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.

（1）分別求接收的信號為0和1的概率；

（2）已知接收的信號為0，求發(fā)送的信號是1的概率.

練習(xí)2：在A，B，C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有 6% ， 5% ， 4% 的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為 5：7：8 ，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人.

（1）求這個人患流感的概率；

（2）如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.

【設(shè)計意圖】結(jié)合單元知識設(shè)置練習(xí)題應(yīng)用公式，考查條件概率、全概率公式和貝葉斯公式等知識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，練習(xí)1為人教A版教材選擇性必修第三冊第51頁的例6，背景為信息技術(shù)，與本節(jié)課中貝葉斯公式的應(yīng)用息息相關(guān)，學(xué)生解答時需要用數(shù)學(xué)概念翻譯題設(shè)，找到事件之間的關(guān)系，信號是數(shù)字0和1這兩個事件為對立事件，可以借助樹狀圖來厘清思路．練習(xí)2為人教A版教材選擇性必修第三冊第53頁習(xí)題7.1第5題.與練習(xí)1相比，練習(xí)2的樣本空間中包括三個兩兩互斥的事件，進(jìn)一步考查了學(xué)生用簡單事件表示復(fù)雜事件的能力，通過練習(xí)題進(jìn)行公式的遷移與應(yīng)用有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，提高學(xué)生分析與解決此類數(shù)學(xué)問題的能力．

5.公式的創(chuàng)新與應(yīng)用

練習(xí)3：若 Ω_n 個事件 A₁ ， A₂ ，…， A_n 滿足 A₁ ，

A₂ ， … ， A_n 兩兩互斥，且 A₁?A₂?…?A_n=Ω，P（A_i）gt;0 i=1 ，2，…， n ，則稱這 n 個事件 A₁ ， A₂ ，…， A_n 構(gòu)成樣本空間 的一個劃分．若 A₁ ， A₂ ，…， A_n 與 B₁ B₂ ，…， B_?m 是樣本空間 的兩個劃分，則對任意的事件 i=1 ，2，…， n ， j=1 ，2，…， m 時，試證明：

2，…， n ;

2，…，m；

（4） 2，…， n ， j=1 ，2，…， m

練習(xí)4：春秋時期齊魯兩國對戰(zhàn)，齊國三度擂響戰(zhàn)鼓，魯國堅守不戰(zhàn)，齊國士氣大減后魯國以弱勝強(qiáng)，曹劌道：“夫戰(zhàn)，勇氣也．一鼓作氣，再而衰，三而竭.彼竭我盈，故克之.”同學(xué)們分小組自行假定數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想和方法，應(yīng)用貝葉斯公式探究擂鼓拒戰(zhàn)后魯國勝率增加的原因，并提交小組研究報告.

【設(shè)計意圖】結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識設(shè)置公式的創(chuàng)新與應(yīng)用，練習(xí)3為全概率公式和貝葉斯公式的推廣結(jié)論．練習(xí)4對歷史故事進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析，既能讓學(xué)生體會策略的重要性，又能讓學(xué)生體會如何運(yùn)用貝葉斯公式來解決實(shí)際問題．通過練習(xí)題進(jìn)行公式的創(chuàng)新與應(yīng)用有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

三、教學(xué)反思

貝葉斯公式是概率論中的重要內(nèi)容，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要橋梁.在高中數(shù)學(xué)中，貝葉斯公式是選學(xué)內(nèi)容，從人教A版教材選擇性必修第三冊第50頁例5的第（2）小題中抽象出公式，學(xué)生對貝葉斯公式怎么來、如何用、有何用的理解存在一定的困難，“三新”背景下，在公式教學(xué)中，公式的探究建構(gòu)過程和公式的應(yīng)用意義也應(yīng)該被重視．因此，本課例基于CTI教學(xué)模式優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高了學(xué)生的綜合能力.在設(shè)置問題情境環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從有趣的情境問題中抽象出數(shù)學(xué)概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，提升學(xué)生分析與解決數(shù)學(xué)問題的能力，在公式的探究與建構(gòu)環(huán)節(jié)中，教師借助圖形表示事件，利用概率計算的“可視化”幫助學(xué)生理解抽象的過程，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)．在公式的理解與應(yīng)用環(huán)節(jié)中，教師將著名的“三門問題”改編成現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生更好地理解先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的實(shí)際意義與區(qū)別，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)計算和數(shù)學(xué)思維能力．在公式的遷移與應(yīng)用、公式的創(chuàng)新與應(yīng)用環(huán)節(jié)中，教師通過設(shè)置綜合性問題和探究性問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力.

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