借助轉化思想 發展核心素養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0061-04引用格式：．借助轉化思想發展核心素養：[J].中國數學教育（初中版），2025（7）：61-64.

數學學習應使學生感受到解題策略的多樣性，應培養學生掌握解決問題的數學思想方法.數學思想方法是對數學知識的抽象概括.將數學思想方法融入數學教學過程，有助于學生感悟數學思想．在教學中，教師應深入挖掘蘊含在具體教學內容中的數學思想方法，思考如何將數學思想方法融入日常數學教學，從而引導學生通過數學學習提升思維品質.

一、對一節公開課的教學診斷

日前，筆者在聽一節七年級下學期期中數學試卷講評課時，授課教師向學生講解了如下題目.

題目將一副三角尺按如圖1所示擺放，直線GH//MN ，現將三角尺ABC繞點A以每秒 2^° 的速度順時針旋轉，同時三角尺DEF繞點 D 以每秒 3^° 的速度逆時針旋轉．如圖2，設時間為 t 秒，當 0?t?75 時，若BC//EF ，則所有滿足條件的 t 的值為

從學生課堂上的實際答題表現來看，他們在解決“雙線旋轉問題”時舉步維艱．分析發現，學生主要存在以下三個方面的困難.

困難1：無法確定不同旋轉中心的線段BC與線段EF旋轉后的位置.

困難2：無法理解不同旋轉方向和旋轉角度的兩條線段之間的聯系.

困難3：無法找到旋轉一定時間后兩條線段平行時的等量關系.

二、還原題目原型，鋪設轉化臺階

由于“雙線旋轉問題”的轉化具有復雜性、隱蔽性和層次性，在大單元教學策略的指導下，通過為學生鋪設不同層次的臺階，還原題目的原型，細化轉化過程，化繁為簡，化難為易，培養良好的解題習慣，這是發展學生核心素養的有效途徑.

1.遵循熟悉化原則，將任意線段轉化為特定線段

出現困難1的主要原因是教師認為平面內的“任意線段”旋轉后的位置很容易畫出，忽視了學生當前的認知水平，沒有讓學生經歷旋轉知識完整的形成過程．關于旋轉中心不在端點的線段旋轉問題，對學生來說是陌生的，要解決這個困難，就需要回到學生熟悉的題型.

如圖3，線段 AB ， CD 分別繞點 E ， F 旋轉，什么時候滿足 AB//CD ？

教師在旋轉定義的基礎上引導學生思考：如何用熟悉的題型替代這個陌生的問題？

同一平面內的兩個直角，如果它們一邊互相平 行，那么另一邊也互相平行或共線．如圖4，過點 E ， F 分別作 EG⊥AB 于點 G ， FH⊥CD 于點 H. 將“何時滿 足 AB//CD ”轉化為“何時滿足 EG//FH ”.

通過作垂線段，把平面內的“任意線段”的平行，轉化為學生熟悉的旋轉中心在線段端點的“特定線段”的平行，將原問題轉化為一個比較熟悉的問題，讓學生運用已有的知識、經驗和方法解決問題，

2.遵循簡單化原則，將雙線旋轉轉化為單線旋轉

出現困難2主要有以下兩個方面的原因：其一，旋轉的線段有2條；其二，2條線段的旋轉方向可能相同也可能相反．旋轉對象的不唯一和旋轉方向的不確定，增加了學生作圖的難度.

如圖5，線段 ΔEG ， FH 分別繞點 E ， F 旋轉，速度分別為每秒 x^° 和每秒 y^°（xgt;y） ，什么時候滿足EG//FH ？

解決這個困難，需要減少旋轉對象的數量，把雙線旋轉轉化為單線旋轉，同時把兩個旋轉速度疊加或轉化到一個旋轉對象上.

情況1：雙線旋轉，方向相同.

如果線段 EG ，FH分別繞點 E ， F 順時針旋轉，由于旋轉方向相同，那么可以理解成環形跑道的追及問題.由于線段EG的旋轉速度大于線段 FH 的旋轉速度，因此可以想象成線段 FH 不動，線段 EG 以每秒（x-y）^° 的速度順時針旋轉.

情況2：雙線旋轉，方向相反.

如果線段 EG 繞點 E 逆時針旋轉，線段 FH 繞點 F 順時針旋轉，由于旋轉方向相反，那么可以理解成環形跑道的相遇問題，可以想象成線段 FH 不動，線段EG以每秒 （x+y）^° 的速度逆時針旋轉.

相比兩條線段旋轉，一條線段旋轉更加簡單些，符合學生當前的認知水平，易于學生接受并理解，也為將復雜問題轉化為簡單問題累積活動經驗.

3.遵循等價化原則，將平行轉化為重合

出現困難3的主要原因是由于判定兩條直線平行的方法有很多，學生不知道利用什么等量關系建立方程.

理解這個問題，需要把 EG//FH 等價轉化，即將線段 EG 轉化為與線段 FH 方向相同.如圖6，過點 E 作HF 的平行線 H₁F₁ ，線段 EG 只要旋轉至與 H₁F₁ 重合的位置就能滿足 EG 與 FH 平行.

這樣的等價轉化，把題目還原到教材中的習題上來，即將線段旋轉至指定位置，經過轉化后的問題目標指向更明確，便于學生找到等量關系.

三、變式拓展問題，滲透轉化思想

1.理解轉化原則后，輕松解決雙線旋轉問題當學生理解轉化原則后，就可以輕松解決前面的題目了.

如圖7，過點 D 作 DK⊥EF 于點 K ，過點 D 作A₁C₁//AC ，如果線段 DK 旋轉至與直線 A₁C₁ 重合的位置，那么 BC//EF

解析：因為旋轉方向相反，所以速度疊加，即 2+3=5 （度/秒）.所以可以理解為 A₁C₁ 靜止，線段 DK 以每秒 5^° 的速度逆時針旋轉.因為 ∠A₁DM=30^° ， ∠KDM=45^° 所以 ∠KDA₁=∠KDM-∠A₁DM=15^° 所以 綜上所述， χ_t 的值為3或39或75.

2.變式拓展問題，進一步提升轉化層次

如圖8，已知 AB//CD ， P 是直線 AB ， CD 間的一點， PF⊥CD 于點 F ， PE 交直線 AB 于點 E ，射線 PN 從 PF 出發，繞點 P 以每秒 45^° 的速度按逆時針方向旋轉，當 PN⊥AB 時，立刻按原速返回至 PF 后停止運動.射線EM從 EA 出發，繞點 E 以每秒 20^° 的速度按逆時針方向旋轉至 EB 后停止運動.若射線 PN 、射線EM同時開始運動，設運動時間為 Φ_t 秒，當 EM//PN 時，則所有滿足條件的 χ_t 的值為

解析：當射線 PN 旋轉至與直線 AB 垂直時， t= （秒）；當射線 PN 繼續旋轉返回至 PF 時， t= （秒）.當射線EM旋轉至 EB 時， （秒）.

情況1：如圖9，當 t=0 時，射線 PN 從 PF 出發，繞點 P 以每秒 45^° 的速度按逆時針方向旋轉；射線EM從 EA 出發，繞點 E 以每秒 20^° 的速度按逆時針方向旋轉.

如圖10，過點 P 作直線 E₁M₁//EM ，如果 PN 旋轉至與 E₁M₁ 重合的位置，那么PN//EM.

因為旋轉方向相同，

所以速度抵消，即 45-20=25 （度 1 秒）.

所以可以理解為 E₁M₁ 靜止， PN 繞點 P 以每秒 25^° 的速度逆時針旋轉.

因為 ∠NPE₁=90^° ，所以 （秒）.

情況2：如圖11，當 t=4 時，射線 PN 從垂直于直線 AB 的位置出發，繞點 P 以每秒 45^° 的速度順時針方向旋轉；射線EM從與 EA 夾角為 80^° 的位置出發，繞點 E 以每秒 20^° 的速度逆時針旋轉.

如圖12，過點 P 作直線 E₂M₂//EM ，如果 PN 旋轉至與 E₂M₂ 重合的位置，那么PN//EM.

因為旋轉方向相反，

所以速度疊加，即 45+20=65 （度 1 秒）.

所以可以理解為 E₂M₂ 靜止， PN 以每秒 65^° 的速度順時針旋轉.

因為 ∠PM₂F=∠AEM=80^° ， ∠PFM₂=90^° ，所以 ∠NPE₂=∠M₂PF=90^°-80^°=10^°

所以t=4+10=54 （秒）或t=4+10+180 （秒）.

情況3：如圖13，當 t=8 時，射線 PN 與 PF 重合停止旋轉；射線 EM 從與 EA 夾角為 160^° 的位置出發，繞點 E 以每秒 20^° 的速度逆時針旋轉.

此后EM不可能平行于 PN ，舍去.綜上所述， χ_t 的值為 或 或

四、素養立意，教學價值思考

1.回歸題目本源，重視轉化過程

匈牙利著名數學家路莎·彼得在《無窮的玩藝：數學的探索和旅行》一書中曾對“轉化”做過生動而風趣的描述．她指出，他們（數學家）往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將其變形，直至轉化成能夠得到解決的問題，這是對轉化思想的精辟論斷.將陌生的問題通過演繹、整合、變換等轉化為熟悉的問題，這一思想貫穿整個數學解題過程之中，被視為數學解題最基礎、最關鍵、最通用的原則，

在數學教學中，教師要注重分析問題的知識架構，回顧教材中的相關習題，這是培養學生產生轉化意識的重要手段；引導學生直觀感知、思辨確認，經歷轉化的探究過程，這是提高學生轉化能力的關鍵；加強學生間的互動，讓他們在交流中發生思維碰撞，這是強化學生轉化表達能力的根本途徑；總結轉化活動的基本路徑，讓學生感受轉化思想的巧妙和優勢，這是建立學生自信．幫助他們克服畏難情緒的有效方法.

2.注重整體設計，提升轉化層次

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中明確提出：“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養.”學生通過解答題目，順利把握這個題目轉化的內在聯系，通過總結、回顧等串聯式的思考，進一步注重轉化路徑的整體設計．教師可以引導學生構建解決雙線旋轉問題的基本步驟（如圖14）.

在關于滲透轉化思想的數學教學中，教師應當注重對教學內容的整體分析，培養學生形成體現數學學科本質，并能為其后續學習提供堅實支撐的思維模式．轉化思想常常以一種隱性的方式蘊含在問題解決過程中，教師需要在教學中有層次地串聯問題，引導學生明晰回到原點、回歸根本是解決問題的重要策略.

3.研究轉化思想，關注人的發展

日本數學教育家米山國藏曾指出，學生所學到的數學知識，在進人社會后不到一兩年就忘掉了，然而那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用．轉化思想就是設法把遇到的問題轉化為另一個簡單的、容易的、熟悉的問題．研究轉化思想就是研究解題的本質，從而有效地提升學生的解題能力．長此以往，學生會形成一種解決問題的思維習慣.

轉化思想的形成并非短時間內可以達成，它要求教師持續聚焦轉化素材，在教學過程中引導學生逐步分析轉化過程，掌握轉化原則，并通過各類活動幫助學生積累轉化經驗.作為數學學習中不可或缺的基本思想之一，轉化思想對于培育學生的數學思維品質至關重要．因此，在數學教學中，教師應該逐步滲透轉化思想，讓學生逐步領會轉化過程，發展數學核心素養.

參考文獻：

[1]他保祖．數學解題最根本的指導思想：轉化與化歸[J].中學數學，2024（17）：79-81.

[2」米山國藏.數學的精神、思想和方法M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.