聚焦“一題”精研，賦能“一課”素養

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2025）23-0050-04

【作者簡介】，江蘇省蘇州市第六中學校（江蘇蘇州，215001）教師，高級教師，蘇州市數學學科帶頭人。

近年來，高考命題堅持素養立意，注重數學的通性通法，綜合考查學生的“四基”“四能”。高三復習課往往采用專題復習模式，如何在專題復習中減輕學生的學習負擔，更有效地提升學生的“四基\"和\"四能”，顯得尤為重要。因此，筆者嘗試探究“一題一課\"教學方式，以期更有效地提升學生學習效率，發展學生的數學學科核心素養。

“一題一課\"是指通過對一個思維含量比較豐富的典型問題進行深入研究，挖掘其內在的本質，科學、合理、有效地開展數學探究教學活動。這種探究教學，強調在“一課\"中完成“一題”，以一道經典高考題或教材例題為母題，逐層深人開展一題多解、一題多變、一題多編、多題歸一等環節，由淺入深、由此及彼，提升學生思維的深度、廣度及靈活度，讓學生在主動探索中掌握數學思想方法，達到\"學一題、會一類、通一片\"的學習效果。“一題一課\"以教師、學生、課堂為對象，可以從以下四個環節進行組織教學探究（見圖1）。

橢圓中三角形的面積問題是解析幾何與代數相結合的經典題型，是高考解析幾何大題的常見考點，在天文學、光學設計等領域也有著廣泛的應用價值。解決橢圓中三角形面積的最值問題，能夠幫助學生掌握轉化與化歸、數形結合等教學思想，發展學生數學運算、邏輯推理和直觀想象等數學學科核心素養。下面，筆者，詳細闡釋基于一題一課的高中數學復習課教學。

一、一題多解，構建知識網絡

“一題一課\"教學設計的關鍵是精選母題，母題應具有基礎性（筑牢知識根基）通用性（題型模板，可衍生多種變式）典型性（聚焦高頻考點）和綜合性（培養綜合能力），因此教師可精選一道包含多個關鍵知識點的教材例題、例題改編題或高考題為母題。教學中，教師可以以母題為核心，通過一題多解，充分挖掘題目的多元價值，將不同章節、不同層面的知識點串聯起來，從而幫助學生形成完整的知識體系，構建知識網絡。

【母題（教材改編）】如圖2，已知橢圓 E y²=1 ，過左焦點 F 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點，若點 P 是橢圓上任意一點，直線 l 的斜率為1，求ΔPAB 面積的最大值。

（圖2）

師：該問題有幾種處理方法？

生：可從兩個角度分析，圖形的角度和計算的角度。

法一（幾何法）：以 AB 為底，將直線 AB 平移后與橢圓相切，切線到直線 AB 的距離即為高的最大值，將 ΔPAB 面積問題轉化成直線與橢圓相切的問題。

法二（代數法）：以 AB 為底，點 P 到直線 AB 的距離為高，設點 P（x₀，y₀） ，利用柯西不等式求最值。

法三（代數法）：以 AB 為底，點 P 到直線 AB 的距離為高，設點 P（acosθ，bsinθ） ，借助三角函數有界性，利用橢圓參數方程求解。

【設計意圖本題是對教材例題的改編，是定直線與動點構成三角形的面積問題。該題涉及多個模塊的核心知識點，包括橢圓標準方程與參數方程、三角形面積公式、三角函數、不等式的性質等。通過一題多解，可以將不同方法與橢圓核心知識點、解題策略相關聯，從而幫助學生構建結構化的知識體系，加深對該類問題的理解。

二、一題多變，促進思維進階

在學生掌握母題本質的基礎上，教師可以進一步適當改變母題的條件，引導學生從不同角度分析與解決問題。通過對母題的不斷變式，可以幫助學生突破思維的局限性，提升思維的深度和廣度，促進學生思維不斷進階。

【變題1】如圖3，已知橢圓 ，過左焦點 F 的直線 l 交橢圓于 ^A，B 兩點，若點 o 是坐標原點，求 ΔOAB 面積的最大值。

（圖3）

師：母題與變題1有什么區別？

生：母題是定直線與動點構成的三角形的面積問題，本題是動直線與定點構成的三角形的面積問題。

法一（代數法）：由于點 F 的特殊性，首先要考慮直線AB斜率為0的情況，再設 AB：x=my-1 ，利用弦長公式和點到直線距離公式即可求解。

法二（幾何法）：設線方法與法一一致，利用三角形面積公式一一水平寬乘鉛錘高的一半，即可求解。

【變題2】已知橢圓 ，過定點 C 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點，若點 o 是坐標原點，求 ΔOAB 面積的最大值。

分析：變題2在變題1的基礎上，將定點由焦點變為橢圓內一般的點，同樣可通過代數法與幾何法求解。

【設計意圖】在母題的基礎上，把“定直線”變成“動直線”，把“動點\"變成“定點”，引導學生比較兩題的差異，歸納出“定直線與動點\"\"動直線與定點\"這兩種模型，并針對兩大模型總結不同的解題策略，從而促進學生思維進階。

三、一題多編，激發創新思維

為了讓學生更好地把握問題的本質，調動其學習的積極性與主動性，教師可以鼓勵學生嘗試以母題為模板自主編題。這樣，學生從知識的接收者轉變成知識的創造者，不僅能有效提升思維的靈活度，更能激發創新思維。

師：以變題1的“動直線與定點”為模型，能否設計一個新的問題，并試著求解？

生：以“動直線與定點\"為模型，可從“變點”與“變線”兩個方面入手進行變題。

1.從變“點”入手

【學生自編題1】如圖4，已知橢圓 過左焦點 F 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點，若點 C 是右頂點，求 ΔABC 面積的最大值。

（圖4）

關于原點的對稱點是 C ，求 ΔABC 面積的最大值。

（圖5）

【學生自編題3】如圖6，已知橢圓 過左焦點 F 的直線交橢圓于 ^A，B 兩點，若原點是 ΔABC 的重心，求 ΔABC 面積的最大值。

（圖6）

2.從變“線”入手

【學生自編題4】已知橢圓 E ，點 A ，B 是橢圓上的任意兩點，設 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 求 ΔOAB 面積的最大值。

【學生自編題2】如圖5，已知橢圓 過左焦點 F 的直線 l 交橢圓于 A，B 兩點，若點 A

【設計意圖通過實際操作和解決問題，引導學生在已有母題的基礎上進行自主創新。通過變“點”與變“線”，學生設計的問題層層遞進，在此過程中他們的思維也不斷進階。學生自編題是一個有趣且高效的過程，有助于加深他們對知識的理解，不僅增強了學生學習的自覺性和主動性，更激發了其創新思維。

四、多題歸一，培養高階思維

在教學的最后，教師可以通過再次聚焦母題，引導學生從對單一問題具體解法的關注，轉向對一類問題的通性通法的掌握，建立策略模型。同時，鏈接高考，讓學生在主動探索中慢慢實現知識的內化與能力的躍遷，逐漸達到“學一題、會一類、通一片\"的效果，進而培養學生的高階思維。

師：根據前面總結的兩大模型，能否歸納整理出對應的解題策略思維導圖？

學生通過交流討論，總結的解題策略如下（見圖7、圖8）。

聯立直線與橢圓方程 |?| 弦長公式求弦AB長 ? 求點P到AB距離的最值，即可求出三角形面積的最值√ ↓ T法一：線線距離 法二：設點 P（x₀，y₀） +柯西不等式 法三：設點P（acosθ，bsinθ）+三角函數基礎上，引導學生總結方法模型，形成思維導圖，并將其遷移應用到高考題中。這樣的復習教學，能夠鍛煉學生根據不同的問題情境選擇合適方法模型的能力，培養其分析問題和解決問題的能力，促進高階思維的形成，發展數學學科核心素養。

圖8“動直線與定點”問題模型的解題策略

在“一題一課”課堂教學中，教師的引導至關重要。面對學生思維的局限性，教師應通過巧妙的提問，引導學生從不同角度分析已知條件，尋找（1）求 C 的方程;

（2）點 N 為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值。

【練習1（2020年新高考海南卷21題）】已知橢圓 過點 M（2，3） ，點 A 為其左頂點，且 AM 的斜率為

分析：本題是“動點與定直線\"的問題，可用解題策略中的三種方法來求解。

【練習2（2024年新高考I卷16題）】已知A（0，3）和 為橢圓 上兩點。

（1）求 C 的離心率；

（2）若過 P 的直線 l 交 C 于另一點 B ，且 Δ ABP 的面積為9，求 l 的方程。

分析：本題可轉化為\"動點與定直線\"的問題，再來求解。

【設計意圖】多題歸一的核心在于抓本質、建模型、重遷移。通過多題歸一，高考復習可實現從“盲目刷題\"轉向“精準建模”，能用最少的時間抓住最核心的考點邏輯。教師在前面一題多解、一題多變、一題多編等教學環節的不同的解題方法，激發學生思維活力。例如，在講母題時，教師引導學生從幾何和代數的角度分析問題，不斷探索新的方法。“一題一課”從母題出發，不斷延伸，引導學生舉一反三、觸類旁通，進而使學生的思維得到拓展。從學生角度看，“一題一課\"探究教學模式，更好地讓學生參與其中，充分調動其積極性和主動性。

總之，“一題一課\"探究活動在教師的不斷提問和引導下，可以有效提升學生學習的主動性，促使其充分挖掘問題的本質，在實踐中更好地掌握數學知識，提升數學學科核心素養。國

【參考文獻】

[1]張文海.“一題一課”：讓高三數學復習走向素養落實[J].數學通報，2021，59（7）：30-34.

[2]李衛星.例談“一題一課”型復習課的六種設計類型[J].中學數學教學參考，2020（1-2）：29-32.

[3]陳丹.“一課一題”教學方法研究[J].中學教學參考，2020（20）：21-22.

助理編輯：王一民