關鍵要素為主線的結構化單元復習

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0037-05

單元復習的主要目的不是對單元知識進行簡單羅列，而是在單元大概念的統攝下，對整個單元內容進行分析、重組，設計體現結構化特征的課程內容，進行結構化整合，形成新的單元知識體系．那么，什么是結構化？體現結構化特征的課程內容具有什么特點？如何通過單元復習幫助學生整合知識、形成新的結構？下面以“圓的基本性質”單元復習為例，談談對上面幾個問題的一些淺見.

一、主線式結構化單元復習

1.結構化、結構化教學與教學主線的含義

英國社會學家吉登斯的結構化理論包含三個核心概念，即結構、系統、結構二重性．他認為，在大多數社會研究者眼里，“結構”被理解為社會關系或社會現象中的某種模式化；但在結構主義的概念闡述中，結構的特性是從表面現象推斷潛在符碼．前者強調社會關系在時空里的模式化，包含處于具體情境中的實踐再生產；后者則是指不斷重復體現在這種再生產中的某種結構化方式的虛擬秩序．因此，“結構”的兩重含義：一是模式；二是促成模式持續發展的秩序（即潛在符碼）.這兩重含義賦予結構系統性的形式.結構化的過程，包括把相對模糊的、零散的、不系統的結構，經過對概念的理解和建立要素之間的內在聯系，使之變成清晰的、完整的、系統化的結構的過程.

教育教學是社會構成的一個細分領域．有研究者認為，結構化教學是指基于學科的知識結構和學生的認知結構，焦點定位于課堂時空結構的結構化.結構化教學的二重性：一是知識系統，包含大概念的理解，關鍵要素間的聯系與邏輯等；二是在教學過程中領悟學習知識的一般方法與思路（虛擬秩序）.其首要任務是讓學生理解概念，建立要素之間的內在聯系；其次是讓學生在學習的過程中逐步領悟課本知識中的一般觀念，并嘗試舉一反三，將規則遷移到各類不同內容的學習中.

教學主線，泛指教學活動中依托的主要線索或思路，其可以是課程內容中的某個關鍵要素，也可以是某個知識的自然生長，或者是研究的一般路徑等，對教學活動起著統領、協調的作用．借助教學主線，可以將教學內容進行串聯、取舍，從而更好地厘清數學知識之間的內在聯系，明晰數學方法之間的相互關聯，建立數學思想之間的層次關系．因此，依托主線進行教學，既有利于數學知識結構的形成，又有利于達成教材內容的整體性與一致性；主線式結構化教學，是落實結構化設計理念的重要途徑.

2.以關鍵要素為主線的結構化單元復習

在教學中，教師或多或少地會把單元看成一個整體，在大概念的統攝下進行整體教學，引導學生形成整體觀下的單元結構．單元復習時，如果只是對課程中的知識結構進行羅列再現，課堂氛圍將枯燥乏味，因此，單元復習的主要任務，不是體現對大概念的理解及其統攝性，而是建立要素之間的內在聯系．因此，在理解概念的基礎上，找到各要素之間的關聯，重建以要素為主體的關聯結構，是單元復習的重點，提取單元內部的關鍵要素，以關鍵要素為主線，可以讓要素之間的關系更加清晰，讓授課流程更加有序，更能促進學生知識結構的生長及對大概念的深度理解，培養學生結構化的思考方式.

如何設計以關鍵要素為主線的結構化單元復習呢？

第一，要找準學科單元起始結構及學生對單元內容的初始認知結構，課時教學中形成的知識結構不一定完整、清晰，但能大致包含單元內的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，是單元復習的起始結構第二，要找準單元內容的關鍵要素，用關鍵要素作為教學主線貫穿整個課堂教學，從而有序、清晰地揭示要素間的關聯．第三，要揭示本單元內容蘊含的基本數學思想與規律，幫助學生感悟結構化思考的方式，發展學生的數學核心素養，其設計思路如圖1所示.

二、“圓的基本性質”結構化單元復習構思

“圓的基本性質”是浙教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）九年級上冊的一個單元，該單元內容在初中幾何中相對獨立，具備一定的復雜性．筆者對該單元內容的結構化復習構思如下.

1.初始結構

從單元整體的角度來看，“圓的基本性質”單元以圓的定義為起點，衍生了弧、弦、圓心角、圓周角等相關概念，揭示了點與圓的位置關系；從圓具有軸對稱性出發，概括了垂徑定理；從圓具有旋轉不變性出發，歸納了圓心角定理、圓周角定理、圓內接四邊形的性質等；從周長與面積的角度出發，得出了弧長及扇形的面積計算公式；等等．通過單元整體教學，引導學生以圓的軸對稱性和旋轉不變性為主干，以其他定理、定義、公式等為枝干，建構單元初始結構.

2.關鍵要素

初中階段的幾何內容中，圓區別于其他平面圖形的最大差異，是圓由曲的線構成，其他圖形由直的線構成，如角、三角形等．最能體現圓的曲線特征的要素是弧，所以圓中最關鍵、核心的要素就是弧．弧具有長度和度數的雙重屬性，與弦、圓心角、圓周角、弦心距等圓中其他要素有著千絲萬縷的聯系，如同圓或等圓中，“當直徑平分弧時，也會平分弧所對的弦”“等弧所對的圓周角都相等”“弧的度數等于相對應圓心角的度數”等.

因此，“圓的基本性質”單元復習中，可以選擇以關鍵要素弧為主線，以探尋各要素之間的關聯為第一目標，進行結構化教學.

三、以弧為主線的結構化單元復習設計

1.以弧為起點，重組知識結構

問題1：已知一段圓弧 AB 若""的長度是 3π 度數是 90^°"，你能確定""所在圓的哪些要素？

預設：圓心，半徑，圓的周長和面積，弧對應的扇形的面積，弧所對的圓心角的度數，弧所對的圓周角的度數，對應優弧所對圓心角、圓周角的度數，弦AB及其弦心距的長度.

追問1：這些要素是通過什么知識確定的？

預設：過不在同一直線上的三點作圓，弧長、扇形面積公式，垂徑定理，同圓或等圓中圓心角的度數等于所對弧的度數，同圓或等圓中圓周角的度數是所對弧度數的一半，

追問2：如果把該弧的度數改為 180^° ，可以得到哪些新的結論？

預設：直徑所對的圓周角是 90^° ， 90^° 的圓周角所對的弦是直徑.

追問3：綜上，如果一條弧的長度和度數都確定了，你能確定圓中的哪些要素，是通過哪些知識確定的？

預設：可以確定的要素有弦、圓心角、圓周角、扇形等.通過“不在同一直線上的三點確定一個圓”垂徑定理及其推論、圓心角定理及其推論、圓周角定理及其推論等進行確定.

【設計意圖】弧有長度和度數的雙重屬性，其長度與扇形面積、弦長、垂徑定理等知識聯系緊密，其度數與相關的圓心角、圓周角、圓內接四邊形的內角的度數等直接相關．兩者共同確定了弧所在圓的位置及大小，問題1以開放式提問的形式引導學生對與弧相關的要素及知識進行整體回顧，梳理這些要素間的聯系；追問1引導學生追本溯源，找到聯系弧、弦、角之間的相關定理和定義，為這些聯系提供理論依據；追問2從特殊數據得出特殊結論，完善學生的知識結構；追問3引導學生從弧的長度和度數兩個方面進行思考，將與之相關的要素進行重組，并思考相互之間的聯系，建立以弧為核心、以定理為紐帶的單元知識結構．在此環節，可以通過邊畫邊答的形式幫助學生建立如圖2所示的知識結構．

過不在同一 長度直線上的三 弦位置（圓心） 點作圓 垂徑定理大小 （半徑） 弧 度數 圓心角、圓周角、圓內弧長及扇形面積公式 圓心角定理及推論 接四邊形扇形圓周角定理及推論面積

2.以孤為核心，深挖要素間的關聯

題目1已知 CD 是 所在 ?o 的直徑，CD⊥AB ，交于點 E ，點 M ， N 在 上.

（1）如圖3，若 ，連接 AM ，BN，求證：AM=BN.

（2）如圖4，連接 BD ， ND ，求證： ∠BND=∠ABD

圖3

圖4

解：（1）如圖3，因為 CD⊥AB ，由垂徑定理，得 ．又因為 ，所以 ，由圓心角定理，得 AM=BN.

（2）如圖4，由垂徑定理，得 ．再由圓周 角定理的推論，得 ∠BND=∠ABD

問題2：證明這兩道小題的關鍵依據是什么？

預設：關鍵依據是垂徑定理、圓心角定理、圓周 角定理及其推論.

追問：定理中涉及哪些要素？關鍵要素是什么？與其他要素有怎樣的聯系？

預設：主要涉及弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距這些要素．關鍵要素是弧，弧與另外三個要素都有聯系，分別用垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理進行聯系.

【設計意圖】弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距是圓中重要的要素．這幾個要素相互依存，聯系緊密，如弧與弦通過垂徑定理產生關聯，圓心角和圓周角除了本身直接相關外，還和弧聯系在一起．該題改編自浙教版教材九年級上冊第93頁第6題．該題難度不大，旨在讓學生鞏固垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理，以低起點問題體會弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距之間的緊密聯系，感悟新的要素關聯結構.

題目2對于“如圖5，已知 CD 是 所在 ?o 的直徑，連接 AC ， AB ， OB ， BD ，若 OB//AC ，求證：AB=BD ”你有幾種方法進行證明？證明的關鍵依據分別是什么？

圖5

方法1：如圖6，連接 OA ，因為 OB//AC ，所以∠OAC=∠BOA ， ∠ACO=∠BOD. 又因為 ∠OCA=∠OAC 所以 ∠AOB=∠BOD ，由圓心角定理，得 AB=BD

此法證明的關鍵依據是“平行線 + 角平分線 + 等腰三角形”圖形結構（以下統稱“雙平等腰”）和圓心角定理.

圖6

圖7

方法2：如圖7，連接 BC ，因為 OB//AC ，所以∠ACB=∠OBC. ，又因為 ∠OCB=∠OBC ，所以 ∠ACB= ∠OCB 由圓周角定理的推論得 ．再由圓心角定理，得 AB=BD

此法證明的關鍵依據同方法1.

方法3：如圖8，連接 AD ，因為 cD 是 ?o 的直徑，由圓周角定理的推論，得 ∠CAD=90^° ．又因為OB//AC ，所以 OB⊥AD ：由垂徑定理，得 .再由圓心角定理得 AB=BD

圖8

此法證明的關鍵依據是垂徑定理、圓周角定理、 圓心角定理.

方法4：如圖9，延長 BO 交 ?o 于點 E_? ，因為OB//AC ，所以 ．又因為 ∠COE=∠BOD ，所以 ，即 ．由圓心角定理，得 AB=BD

圖9

此法證明的關鍵依據是平行弦所夾的弧相等、圓 心角定理.

問題3：還可以得到哪些結論？如果已知 AB= BD ，能得到 OB//AC 嗎？根據這些解題過程，你是否對弧、弦、角（圓心角和圓周角）、弦心距之間的聯系有了更深的認識？試將自己的想法表述出來.

【設計意圖】該題改編自浙教版教材九年級上冊第93頁第2題，綜合應用了垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理，以及半徑相等、平行弦所夾的弧相等、雙平等腰圖形結構等知識，將“弧等”“弦等”“圓心角等”“圓周角等”相互結合，幫助學生體會以弧為核心的各要素間的關聯．同時，幫助學生梳理了部分解決圓中有關問題的方法，如“可以通過弧相等、角相等來證明弦相等”“若已知直徑，則可以連接弦構造直角三角形”“已知或求證弧的中點，可以連接直徑”等.因此，此環節旨在幫助學生感受結構化的思考方式，建立如圖10所示的要素關聯結構.

圖10

3.以弧為突破，感受方法結構

題目3如圖11，已知 CD ， BE 是 所在 ?o 的直徑，連接 AC ， AB ， BD ， BE//AC ，作 AF⊥CD 交 ?o 于點 F ，連接 BF 交 CD 于點 G ，連接 DF

（1）求證： ∠DBF=2∠AFB 業（2）若 AB=AF ，求證： BG=BD

圖11

證明：（1）由 AF⊥CD 及垂徑定理，得 ·又由題目2的證明可得 所以 所以 ∠DBF=2∠AFB （2）因為 AB=AF ，所以 所以 ∠DFG=36^°，∠GDF=18^°. 可得 ∠BGD=54^° ， 所以 ∠BGD=∠BDG 所以 BG=BD 問題4：該題主要考查了圓中的哪些要素？包含什么基本圖形？預設：主要考查弧和角之間的轉化，包含垂徑定理的基本圖形結構，圓中平行弦的基本圖形結構，雙平等腰圖形結構.師：第（2）小題中，除了需要求證的結論以外，還有很多等量關系．如果給定直徑長度，可以求解出其他線段長度，有興趣的學生可以課后討論.

【設計意圖】此題是題目1和題目2的結合，主要圖形結構是垂徑定理和雙平等腰，需要經過弧、弦、角的多次轉化才能得以證明．題目3的線索繁多．第（1）小題中，從結論著手分析，需要求證角之間的倍數關系，經過要素關聯分析，學生選擇將角度問題轉化為弧度問題，從弧入手考慮，以弧為突破口，結合垂徑定理和雙平等腰這兩個圖形結構解決問題，第（2）小題中，給定弦相等的條件，需要求證圓中其他線段相等，而其他線段的相等需要用角的相等去論證，所以解決問題的關鍵在于弦向角的轉變，而轉變的媒介就是弧．因此，此題依然是以弧為突破口，考查弧、弦、角的要素關聯，該題旨在讓學生進一步熟悉以弧為主線的知識結構與要素關聯結構，同時體會基本圖形結構在解決問題中的重要性，進而形成解決問題的方法結構.

4.課堂小結，體會經驗結構

問題5：本節課圍繞什么關鍵要素回顧了圓的基本性質？復習的順序是什么？你有什么獨特的體會嗎？如果復習有理數的運算，你認為可以圍繞什么要素復習？

預設：本節課從弧出發，回顧了圓的基本性質的相關知識，講了弧、弦、角、弦心距的關系．復習順序是先回顧知識，再總結關系，最后運用關系解決問題.有理數的運算可以圍繞含負數參與的運算展開復習.

【設計意圖】引導學生對本節課的內容進行小結，回顧以弧為起點的認知結構、以弧為主線的關聯結構、以弧為突破口的方法結構，以及一些常見的基本圖形結構，讓學生體會由表及里、逐步深入的研究過程，并從中感悟、體會研究的一般路徑與方法，引導學生類比、遷移、應用到其他單元復習和生活場景，期望引導學生感悟如圖12所示的經驗結構.

四、結束語

單元復習教學時，如果教師能摒棄對原有知識的重復操練，改變成以“關鍵要素”為抓手、以“結構化”為目標的教學，課堂將會大不一樣，既會讓學生的認知結構得到填補、擴充、重組，又會讓學生的知識結構得到生長．如果能將研究方式進一步升華，幫助學生總結應用經驗結構，那么有助于發展學生的數學核心素養，增強其思考問題和解決問題的能力.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）M]：北京：北京師范大學出版社，2022.

[2」王力爭.結構化教學模型建構與分析[J]．當代教育與文化，2020，12（3）：45-51.

[3」吳光潮，吳和貴，李小兵．新課程理念下的結構化教學設計策略：以“圓周角（1）”教學為例[J]：中學數學研究（華南師范大學版），2023（8）：33-37.

[4」王衛東.數學結構化教學中教學主線的價值及設計路徑[J].教學與管理，2023（8）：48-52.