以推理能力行為指標(biāo)為依據(jù)的理論架構(gòu)與教學(xué)策略

編者按：為了幫助廣大教師深入領(lǐng)會《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）精神，依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求開展教學(xué)活動，中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會于2022年下半年設(shè)立了“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研究（初中）專項課題”．為了及時反映研究成果，本刊設(shè)置“課題研究”專欄，不定期刊登課題研究中生成的論文．本期刊登2篇課題研究文章，相信對廣大教師在教學(xué)中更好地落實《標(biāo)準(zhǔn)》的要求會有所啟發(fā).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；行為指標(biāo)體系；推理能力；教學(xué)策略中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0004-06

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的頒布，標(biāo)志著我國基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)人素養(yǎng)導(dǎo)向的新紀(jì)元.作為本輪課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的突破性創(chuàng)新，核心素養(yǎng)與學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的提出實現(xiàn)了從學(xué)科知識本位向育人本位的范式轉(zhuǎn)型．其中，學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)通過系統(tǒng)整合，形成“四基”“四能”“情感態(tài)度”的三維評價框架，構(gòu)建了核心素養(yǎng)發(fā)展具體的、可觀測的表征體系．與高中階段分級描述不同，義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)聚焦進(jìn)階式整體刻畫，依托課程目標(biāo)分解與內(nèi)容結(jié)構(gòu)化重組，引導(dǎo)和幫助教師把握教學(xué)深度與廣度，為教學(xué)實施提供了依據(jù)．因此，學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)既是素養(yǎng)目標(biāo)的具體化錨點，又是“教—學(xué)一評”一致性的聯(lián)結(jié)紐帶．以推理能力的培養(yǎng)為例，將核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)指標(biāo)與具體的課程內(nèi)容相關(guān)聯(lián)，通過建構(gòu)“數(shù)學(xué)理解一思維過程一問題解決”三維行為指標(biāo)框架，將抽象的素養(yǎng)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為可觀測、可測評的層級行為表征．通過具有系統(tǒng)性的結(jié)構(gòu)化樣例設(shè)計，為“教一學(xué)一評”一致性提供引領(lǐng)示范.

一、推理能力的內(nèi)涵與特點

1．內(nèi)涵

推理作為數(shù)學(xué)思維的核心機(jī)制，滲透在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展過程中.根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論，推理能力的培育呈現(xiàn)顯著的階段性特征，小學(xué)階段通過操作感知建立推理意識，初中階段實現(xiàn)從經(jīng)驗推理向形式推理的思維進(jìn)階，到了高中階段則上升為公理體系下的邏輯推理.推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.推理能力有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，塑造結(jié)構(gòu)化的思維品質(zhì)，為其終身發(fā)展奠定科學(xué)思辨的基礎(chǔ).

2.特點

從小學(xué)階段的“推理意識”到初中階段的“推理能力”，是一個顯著的進(jìn)階過程．通常情況下，推理過程的系統(tǒng)性、全面性和形式化需要到高中階段才能得到較好發(fā)展.

初中階段的數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)運算并駕齊驅(qū)，明確要求學(xué)生能夠在理解概念的基礎(chǔ)上，初步掌握命題及演繹推理的基本形式，并運用數(shù)學(xué)推理解決問題，即從幾何直觀到邏輯推理認(rèn)識圖形，研究圖形的性質(zhì)，并按照“說理一簡單推理一用符號表述推理”的路徑循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，使推理論證成為學(xué)生通過觀察、探究得到數(shù)學(xué)結(jié)論的自然延續(xù)，從而理解歐幾里得平面幾何的基本思想，感悟幾何體系的基本框架．圖1是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七～九年級）對推理能力分步達(dá)成的內(nèi)容設(shè)計，其螺旋式編排構(gòu)建了符合初中生認(rèn)知特點的推理能力發(fā)展框架.

由此，該階段推理能力的特點有以下幾個方面.一是從幾何直觀到邏輯推理進(jìn)階，體現(xiàn)思維方式的過渡性；二是數(shù)學(xué)運算的程序性思維與邏輯推理的批判性思維的交互作用，體現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的雙重性；三是從經(jīng)驗說理到形式化表達(dá)，體現(xiàn)表達(dá)形式的符號化.

二、推理能力行為表現(xiàn)的行為指標(biāo)與水平劃分

1.行為指標(biāo)

根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》對推理能力的培養(yǎng)要求，為有效促進(jìn)發(fā)展推理能力的教學(xué)和評價，梳理、提煉其一級行為指標(biāo)（如表1），明確其具體的行為指標(biāo)，形成“概念建構(gòu)一思維過程一素養(yǎng)養(yǎng)成”的邏輯主線，將抽象的素養(yǎng)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為可觀測、可操作的教學(xué)實踐框架.通過對每一個行為指標(biāo)的具體描述來理解其含義．例如，T2為理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，即能選擇恰當(dāng)?shù)耐评硇问浇o出概念的定義，能利用概念的定義進(jìn)行簡單的推理．由此，可以從概念的內(nèi)涵和外延兩個視角進(jìn)行概念教學(xué)．

表1推理能力一級行為指標(biāo)

以“圖形的變化”主題為例，將表1中的推理能力行為指標(biāo)進(jìn)一步具體化，構(gòu)建基于幾何變換的二級行為指標(biāo)（如表2），通過“現(xiàn)象觀察一抽象建模一邏輯論證”的認(rèn)知路徑實現(xiàn)推理能力培養(yǎng)．這對促進(jìn)推理能力的教學(xué)設(shè)計與評價設(shè)計具有重要的導(dǎo)向作用.

表2圖形的變化中推理能力的行為指標(biāo)（部分）

2.水平劃分

基于義務(wù)教育階段學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展要求，從課程目標(biāo)體系、學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和推理能力的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律出發(fā)，構(gòu)建了三級推理能力評價指標(biāo)體系．水平一為概念辨析，即能準(zhǔn)確辨析核心概念，通過直觀感知得出結(jié)論；水平二為命題理解，即能理解知識體系的邏輯結(jié)構(gòu)，建立學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系，完善知識結(jié)構(gòu)；水平三為問題解決，即能運用條件分析解決問題，形成研究問題的視角或習(xí)慣，形成系統(tǒng)性思維.

該層級體系的構(gòu)建，既規(guī)定了學(xué)習(xí)過程的階段性目標(biāo)，明確在知識發(fā)生發(fā)展的過程中能做什么，又界定了學(xué)業(yè)質(zhì)量的評價基準(zhǔn)，明確做到什么程度才算達(dá)標(biāo)和優(yōu)秀．這為構(gòu)建核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“教一學(xué)一評”一體化體系提供了理論框架和實踐路徑.

案例1：軸對稱.

在學(xué)習(xí)軸對稱的相關(guān)概念時，教師可以設(shè)計如下問題引導(dǎo)教學(xué).

問題1：觀察圖2中的各個圖案，它們是軸對稱圖形嗎？若是，畫出其對稱軸.你能用幾何語言描述軸對稱圖形的特征嗎？

圖2

問題2：如圖3，在透明膠片上繪制 ΔABC ，沿直線 m 折疊后描摹 ΔA^′B^′C^′ ．類比圖形平移的概念，你能說出兩個圖形成軸對稱的概念嗎？

圖3

問題3：兩個圖形成軸對稱與軸對稱圖形有什么聯(lián)系與區(qū)別？嘗試用思維導(dǎo)圖畫出這兩種圖形的種屬關(guān)系.

上述三個問題的設(shè)計，旨在通過“實物觀察激活已有經(jīng)驗一實驗操作對比形成概念一系統(tǒng)論證構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)”的路徑，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)知到理性建構(gòu)軸對稱概念的全過程，體會概念獲得的一般方法，形成可遷移的幾何概念學(xué)習(xí)范式.

問題1驅(qū)動學(xué)生聯(lián)系已有經(jīng)驗，通過操作感知判斷圖案是不是軸對稱圖形，建立數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實世界的錨點，屬于水平一．問題2為學(xué)生提供了思維的“腳手架”，類比平移的三要素（方向、距離、對應(yīng)點），提煉軸對稱概念的核心要素，歸納并表述軸對稱的概念，屬于水平二．問題3引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖4所示的結(jié)構(gòu)圖，構(gòu)建局部知識結(jié)構(gòu)體系，生成概念體系，形成研究圖形成軸對稱的方法與路徑，屬于水平三.

圖4

三、發(fā)展推理能力的教學(xué)策略

素養(yǎng)的形成和發(fā)展是一個緩慢而漸進(jìn)的過程．?dāng)?shù)學(xué)推理能力的培育需遵循經(jīng)驗具象化、思維結(jié)構(gòu)化、素養(yǎng)自覺化的發(fā)展規(guī)律．通過理解推理能力的行為特征，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察猜想、實驗驗證、邏輯證明、遷移創(chuàng)新等數(shù)學(xué)活動過程，構(gòu)建進(jìn)階式教學(xué)體系.

1.創(chuàng)設(shè)漸進(jìn)式問題情境，激活推理思維動力

漸進(jìn)式問題情境是指依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解為具有邏輯關(guān)聯(lián)、認(rèn)知梯度的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“直觀感知一歸納類比一演繹證明”的完整思維過程，在完成階段性目標(biāo)的過程中自然發(fā)展推理能力.其本質(zhì)是通過問題鏈的螺旋上升，實現(xiàn)從直觀經(jīng)驗到抽象思維的跨越.

案例2：圖形的旋轉(zhuǎn)概念的生成.

問題1：觀察風(fēng)車的葉片及鐘表的指針、鐘擺在轉(zhuǎn)動過程中有什么特點？哪些量變了？哪些量保持不變？

問題2：回顧平移的研究框架，你將如何研究圖形的旋轉(zhuǎn)？

問題3：觀察圖5中的鐘擺運動，從哪些要素獲得旋轉(zhuǎn)的共同特點，并概括其概念？

圖5

問題4：圖6是一對小松鼠的剪紙作品，能否經(jīng)過軸對稱，使得左右兩只松鼠圖片互相重合？經(jīng)過旋轉(zhuǎn)呢？

問題1通過具象觀察，感知旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，錨定認(rèn)知起點，為后續(xù)類比遷移奠定基礎(chǔ)，屬于水平一．問題2通過結(jié)構(gòu)化類比，形成旋轉(zhuǎn)研究路徑（如圖7），實現(xiàn)研究范式的遷移，屬于水平二．問題3引導(dǎo)學(xué)生探索旋轉(zhuǎn)要素的關(guān)系，對旋轉(zhuǎn)特征進(jìn)行本質(zhì)抽象，促進(jìn)對旋轉(zhuǎn)本質(zhì)的理解，屬于水平二．問題4既能讓學(xué)生感受軸對稱與旋轉(zhuǎn)變換在改變圖形方向上的本質(zhì)區(qū)別，又在概念精致過程中促進(jìn)概念的系統(tǒng)化建構(gòu)，屬于水平三.

圖7

2.構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識網(wǎng)絡(luò)，培育系統(tǒng)推理能力

結(jié)構(gòu)化知識網(wǎng)絡(luò)是指基于奧蘇貝爾提出的認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論，將離散的數(shù)學(xué)概念、定理、方法等通過一定的邏輯關(guān)系和結(jié)構(gòu)組織起來，形成具有概念層級化、關(guān)系顯性化、應(yīng)用條件化等特征的知識生態(tài)系統(tǒng)．為了突破碎片化的學(xué)習(xí)困境，開展“單元一課時”整體教學(xué).

教師應(yīng)當(dāng)突破傳統(tǒng)以課時為單位的割裂式教學(xué)設(shè)計，開展“主題一單元一課時”三位一體的整體性教學(xué)設(shè)計，從而有效突破知識碎片化局面．當(dāng)面對復(fù)雜問題時，學(xué)生能夠從多維度關(guān)聯(lián)知識，動態(tài)調(diào)整推理路徑，整體全面驗證結(jié)論，提升推理能力.

例如，針對特殊三角形知識碎片化問題，結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》對幾何直觀、推理能力的培養(yǎng)要求，本單元以大概念統(tǒng)領(lǐng)（幾何圖形研究范式）、認(rèn)知進(jìn)階（從具體到抽象）、思想方法滲透（從特殊到一般）為設(shè)計內(nèi)核，借助一般三角形的研究思路、方法和路徑，構(gòu)建如圖8所示的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知體系.

案例3：等腰三角形的性質(zhì).

在等腰三角形性質(zhì)的課時教學(xué)中，教師可以設(shè)計如下問題引導(dǎo)教學(xué).

問題1：什么是等腰三角形？你能列舉實例嗎？從哪些角度探究其性質(zhì)？如何探究？

問題2：任意畫一個等腰三角形，通過折疊能驗證并獲得哪些性質(zhì)？

問題3：利用GeoGebra軟件，畫出等腰三角形底邊的中線、高線及頂角平分線，拖動等腰三角形的頂點，觀察并思考：（1）三線位置關(guān)系有何特點？（2）該特征只有等腰三角形有嗎？（3）有沒有更特殊的等腰三角形？

問題4：你能提煉等腰三角形的知識結(jié)構(gòu)嗎？進(jìn)一步學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

類比一般三角形的學(xué)習(xí)路徑，構(gòu)建等腰三角形的研究框架，把概念、命題組成連貫的邏輯體系，通過推理獲得等腰三角形的性質(zhì)，通過問題1感悟等腰三角形的特殊性，自然生成概念（T2），聯(lián)系幾何圖形的學(xué)習(xí)路徑“定義一要素分析一性質(zhì)發(fā)現(xiàn)一判定建立一特殊化”，實現(xiàn)范式遷移，屬于水平一．通過問題2的折紙實驗和問題3的操作GeoGebra軟件，從邊、角、三線等要素分析、識別對稱性，凸顯推理過程，特別是等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的動態(tài)探究過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的過程，發(fā)展歸納推理能力（T4），屬于水平二.通過問題4的引導(dǎo)反思，歸納形成等腰三角形性質(zhì)探究的課時結(jié)構(gòu)和推理路徑（如圖9），體現(xiàn)研究范式結(jié)構(gòu)化（T5），屬于水平三.

圖9等腰三角形性質(zhì)探究的課時結(jié)構(gòu)

3.實施跨學(xué)科項目學(xué)習(xí)，促進(jìn)推理能力遷移

項目學(xué)習(xí)中以某一真實問題解決為導(dǎo)向，打破學(xué)科壁壘，整合數(shù)學(xué)、科學(xué)、藝術(shù)等多領(lǐng)域知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會生活，以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力．通過項目探究活動，將圖形與幾何領(lǐng)域?qū)W習(xí)中形成的邏輯推理范式（如演繹法、反證法）遷移至新領(lǐng)域，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的跨界融合．這種基于真實情境的深度學(xué)習(xí)模式，強(qiáng)調(diào)在完成具體項目的過程中自然貫通學(xué)科思維方法，培養(yǎng)可遷移的高階思維能力，

案例4：測量學(xué)校旗桿的高度.

提出問題：在實際生活中，常常需要測量物體的高度．如果無法直接測量，你會怎么做？如圖10，學(xué)校旗桿 AB 在墻上的影子為 CD ，綜合運用所學(xué)知識，試設(shè)計一個能測量旗桿高度的方案，并實地測量.

圖10

制訂方案：聯(lián)系已學(xué)知識，設(shè)計多種測量方法并在實地測量過程中不斷調(diào)整、優(yōu)化.

方案1：影子度量法，整合數(shù)學(xué)（相似三角形）與科學(xué)（太陽光線的平行性）等學(xué)科知識，

方案2：鏡子反射法，整合數(shù)學(xué)（相似三角形）與物理（光學(xué)反射定理）等學(xué)科知識.

方案3：三角函數(shù)測角法，整合數(shù)學(xué)（三角函數(shù)）與技術(shù)（使用測角工具）等學(xué)科知識.

問題解決：記錄測量的數(shù)據(jù)， BC=12m，CD=2m 建立數(shù)學(xué)模型，并計算旗桿的高度．

方法1：如圖11，在旗桿上取一點 E ，使得 BE=2m ，測得 BE 影長 BF=3m 根據(jù) ΔAED～ΔEBF ，得

（20 求得 AE=8m ，所以旗桿 _AB 的高為 10m 業(yè)（2號

圖11

方法2：如圖12，在線段 BC 上的點 N 處，放置一根垂直于地面的竹竿．當(dāng) NC=1.5m 時，旗桿落在該竹竿上的影子MN長為 3m ，根據(jù) ΔAED～ΔMFD ，得 求得 AE=8m ，所以旗桿 AB 的高為 10m 業(yè)

圖12

方法3：如圖13，在墻上點 D 處，垂直于地面放一面鏡子，太陽光線經(jīng)過點 D 處反射落在 BC 上的點 G 測得GC=3m.根據(jù)△AED△DCG，得AE=ED. 求得 AE=8m ，所以旗桿 AB 的高為 10m

圖13

在設(shè)計方案、解決問題的過程中，以真實問題為驅(qū)動，運用相似三角形建立數(shù)學(xué)模型，演繹推理求得旗桿高度，體現(xiàn)邏輯推理；結(jié)合光學(xué)反射定律與太陽光線的特性，分析誤差來源，體現(xiàn)科學(xué)探究；設(shè)計可操作的測量流程，優(yōu)化工具使用，體現(xiàn)實踐創(chuàng)新．這樣融合數(shù)學(xué)推理、科學(xué)原理與實踐技能的方案設(shè)計，促進(jìn)了學(xué)生推理能力的遷移.

四、結(jié)束語

立足核心素養(yǎng)發(fā)展視域，系統(tǒng)解構(gòu)初中數(shù)學(xué)推理能力的內(nèi)涵特征與生成機(jī)制，提出可觀測的行為指標(biāo)體系與水平劃分標(biāo)準(zhǔn)，形成推理能力的培養(yǎng)路徑．依據(jù)推理能力的培育發(fā)展規(guī)律，以圖形與幾何領(lǐng)域知識為載體，設(shè)計“觀察猜想一實驗驗證一邏輯證明一遷移創(chuàng)新”的進(jìn)階活動，將推理能力培養(yǎng)融入數(shù)學(xué)知識建構(gòu)全過程，通過創(chuàng)設(shè)漸進(jìn)式問題情境，構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識網(wǎng)絡(luò)和整合跨學(xué)科項目學(xué)習(xí)的方法，構(gòu)建“知識一能力一素養(yǎng)”三位一體的教學(xué)策略體系，助力學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)、靈活、創(chuàng)新的高階思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2」張宗余，潘小梅.初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)及教學(xué)案例研究·推理能力[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2024.

[3」鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之五：推理能力[J」．中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2022（10）：3-11.

[4]亞歷山大洛夫.數(shù)學(xué)—它的內(nèi)容，方法和意義[M].孫小禮，趙孟養(yǎng)，等譯.北京：科學(xué)出版社，2000.

[5]章建躍.《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》“單元—課時教學(xué)設(shè)計”體例與要求[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2019（8）：14-16.