拱橋數(shù)學模型的探究與優(yōu)化

編者按：為推進中學數(shù)學教育教學改革與發(fā)展，促進教育工作者理論素養(yǎng)和專業(yè)水平的提升，搭建優(yōu)秀教學交流平臺，在中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會的支持下，中國數(shù)學教育雜志社舉辦了“2024年度中國數(shù)學教育論文評選活動”．在此次活動中，多篇選題新穎、內涵豐富的文章脫穎而出．為進一步激發(fā)教育工作者的寫作熱情，并對此次活動中的獲獎者表示祝賀，特將“2024年度中國數(shù)學教育論文評選活動”中的獲獎文章?lián)駜?yōu)刊登．“2025年度中國數(shù)學教育論文評選活動”已經開啟，歡迎各位讀者積極參與.

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0014-05

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在關于初中階段綜合與實踐領域的“學業(yè)要求”中指出，整合數(shù)學與其他學科的知識，完成跨學科實踐活動，發(fā)展學習能力、實踐能力和創(chuàng)新意識．學生在學習完浙教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級上冊第3章“圓的基本性質”后，仍難以把握一些實際應用問題，如“船過拱橋”問題．其中，對于拱橋的模型是圓弧形還是拋物線形，學生容易混淆，教師通過學情分析，設計相關主題的學科實踐活動，通過真實情境讓學生去解決問題．但教師如果通過大量、重復的紙質訓練題讓學生鞏固知識，這對學生數(shù)學思維和綜合能力的提升沒有太多促進作用．在本次學科實踐活動中，根據(jù)《標準》要求、“教一學一評”一致性和學生學情，設計了相關的學習任務，讓學生探究和優(yōu)化拱橋的數(shù)學模型，從而促進學生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

一、教學內容與解析

1．內容要求

《標準》中對于二次函數(shù)和圓的內容要求分別是：通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；探索并證明垂徑定理；了解三角形的外心；能用尺規(guī)作圖過不在同一直線上的三點作圓．在二次函數(shù)的教學過程中，教師要關注數(shù)學知識與實際的結合，讓學生經歷在實際問題中建立數(shù)學模型、驗證模型、歸納反思的過程，從而形成模型觀念，在圓的教學過程中，教師要引導學生通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圓的基本性質及其實際應用.

2.地位作用

函數(shù)是數(shù)形結合思想的重要體現(xiàn)，是連接數(shù)學知識與現(xiàn)實問題的橋梁．從知識結構來看，會運用二次函數(shù)的知識解決實際問題是教學難點．而對于圓的基本性質的學習，在培養(yǎng)學生的抽象能力、幾何直觀、運算能力、推理能力等方面都有重要作用．通過本次學科實踐活動，學生經歷了數(shù)據(jù)收集、模型構建、驗證和優(yōu)化拱橋數(shù)學模型的過程，既促進了學生對數(shù)學知識的理解和數(shù)學思維的提升，又培養(yǎng)了學生解決實際問題的實踐能力和應用能力.這個過程有助于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

二、學情分析和可行性分析

1．學情分析

學生在學習了二次函數(shù)、圓的基本性質內容后，已經了解了二次函數(shù)與圓的相關概念，探究了二次函數(shù)的圖象和性質及垂徑定理等知識，初步具備了利用相關數(shù)學知識解決簡單實際問題的基礎.

2.教學可行性分析

開展“探究拱橋的數(shù)學模型”的學科實踐活動，主要分為課前的實地考察和課上的探究活動．學生在之前的項目式學習“拱橋中的數(shù)學”中積累了有關拱橋的歷史文化和數(shù)據(jù)資料，且這些學習素材和數(shù)據(jù)的查詢、獲取都比較方便．另外，當學生利用信息技術處理測量的數(shù)據(jù)時，都有教師給予指導，如對拱橋進行等比例縮小，以及用函數(shù)擬合工具來優(yōu)化拱橋的數(shù)學模型等.

三、教學目標、教學重點和教學難點分析

“探究拱橋的數(shù)學模型”學科實踐活動的教學目標如下.

（1）通過觀察等比例縮小的拱橋圖片，猜想拱橋的數(shù)學模型，發(fā)展抽象能力和空間觀念.

（2）通過建立平面直角坐標系，測量相關數(shù)據(jù)，求拋物線的表達式和圓的半徑，提升運算能力．

（3）通過經歷“猜想一獲取數(shù)據(jù)一驗證模型一優(yōu)化模型”的數(shù)學建模過程，發(fā)展模型觀念.

（4）通過利用信息技術處理數(shù)據(jù)，感受拱橋數(shù)學模型優(yōu)化的過程，成功修復破損的拱橋及解決“船過拱橋”問題，發(fā)展應用意識和創(chuàng)新意識.

教學重點：如何利用測得的數(shù)據(jù)驗證拱橋的數(shù)學模型.

教學難點：如何優(yōu)化拱橋的數(shù)學模型，

四、教學過程設計

本節(jié)課的教學設計旨在通過對破損拱橋的數(shù)學模型探究，引導學生深入理解和應用二次函數(shù)和圓等數(shù)學知識，進一步提升學生解決實際問題的能力．該教學過程設計分為五個環(huán)節(jié)，分別為回顧舊知、分組探究、模型優(yōu)化、方法歸納和作業(yè)布置.

環(huán)節(jié)1：回顧舊知.

在上一節(jié)課，學生分組對如何用數(shù)學的方法修復學校附近一座破損的拱橋提出了一些問題，且為了確定拱橋的形狀進行了實地考察和網絡查詢．許多學生獲取了一些該拱橋的相關數(shù)據(jù)和資料，并利用計算機軟件對拱橋原圖進行了等比例縮小.這節(jié)課我們主要探究該拱橋的數(shù)學模型，

如圖1所示的衣錦橋位于杭州半山下，又名半山橋，南北向橫跨上塘河，距今已有1000多年．橋通長29.5米，寬4.48米，幾經破損和修復．現(xiàn)查詢資料得該橋的跨徑約為12.6米，拱高約為5.2米.

圖1

【設計意圖】通過完成前置性的學習任務，學生觀察、猜想拱橋的數(shù)學模型可能是拋物線形或圓弧形，然后利用信息技術對拱橋原圖進行等比例縮小，并用A4紙打印圖片供學生進行探究，發(fā)展學生的抽象能力和空間觀念.

環(huán)節(jié)2：分組探究.

學生被分成不同的探究小組，每組根據(jù)測量獲得的數(shù)據(jù)，分別選擇一個假設（拱橋的數(shù)學模型是圓弧形或拋物線形）進行探究.各小組內成員之間需要共同討論，選定測量方案并進行驗證，最終確定拱橋的數(shù)學模型.

小組A代表：我們小組猜想該拱橋的數(shù)學模型為圓弧形，先在拱橋的圓弧形上任取三個點，利用尺規(guī)作出其圓心，并測量點到圓心的距離，即半徑的長，然后建立平面直角坐標系，擬定圓心的坐標，在圓弧上等距分別取不同的點（0.5，2），（1，2.4），（1.5，3.3），（2，3.7），計算出各點與圓心的距離，最后將所得距離與半徑進行比較，發(fā)現(xiàn)它們比較接近.

小組B代表：我們小組也猜想該拱橋為圓弧形，但我們發(fā)現(xiàn)根據(jù)橋的跨徑為12.6米，拱高為5.2米，可以先計算出拱橋的半徑．如圖2，設圓弧的圓心為點 o 半徑為 r ，連接 OA ， ，拱高 MN=5.2 ，由垂徑定理，得 r²=6.3²+（r-5.2）² ，解得 r≈6.42 ．以拱橋跨徑的一個端點A為原點，跨徑所在直線為 x 軸建立平面直角坐標系，確定圓心 o 的坐標為（6.3，-1.22）．驗證測得的幾組數(shù)據(jù)（0.5，2），（1，2.4），（1.5，3.3），（2，3.7）是否在圓弧形線上，運用兩點之間距離公式計算測得點到圓心的距離，并比較該距離與半徑的差值，最后得出破損拱橋的數(shù)學模型與圓弧形比較接近.

圖2

小組C代表：我們小組猜想該拱橋為拋物線形，以破損拱橋的一端為原點建立平面直角坐標系．此時，可設拋物線的函數(shù)表達式為 ．將頂點坐標（6.3，5.2）代入函數(shù)表達式，得 a≈-0.131 所以拋物線的表達式為 y=-0.131x²+1.650 6x ，然后驗證測得的幾組數(shù)據(jù)（0.5，2），（1，2.4），（1.5，3.3），（2，3.7）是否在拋物線上，發(fā)現(xiàn) x 越大， y 越大，點偏離拋物線越遠.

【設計意圖】通過對拱橋不同數(shù)學模型的假設和驗證，以及小組派代表進行匯報并對有關數(shù)據(jù)糾錯，提升學生的運算能力．小組合作的形式促進了學生之間的交流與協(xié)作，培養(yǎng)了他們探究數(shù)學問題的實踐能力，發(fā)展了學生的模型觀念.

環(huán)節(jié)3：模型優(yōu)化.

教師指導學生將之前測量得到的數(shù)據(jù)輸人電子表格（如表1）進行數(shù)據(jù)分析，并利用Excel對拱橋數(shù)學模型進行擬合和優(yōu)化．若拱橋為拋物線形，如圖3，擬合和優(yōu)化后的函數(shù)表達式為 y=-0.1263x²+1.517x+ 0.8763；若拱橋為圓弧形，如圖4，優(yōu)化后的半徑 r 取值為6.3703.

表1

圖3擬合、優(yōu)化后的函數(shù)表達式

圖4點到圓心的距離

【設計意圖】學生運用信息技術對拱橋的數(shù)學模型進行擬合和優(yōu)化，了解驗證和修正數(shù)學模型的重要性，從而提升問題解決能力，發(fā)展批判性思維，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展．

環(huán)節(jié)4：方法歸納.

在完成拱橋數(shù)學模型的優(yōu)化后，教師引導學生共同討論并歸納在本次活動中使用的數(shù)學建模方法.

（1）若拱橋為拋物線形.

先建立平面直角坐標系，再通過測量獲取點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，最后驗證其他的點是否符合函數(shù)表達式.

（2）若拱橋為圓弧形.

先作出圓弧的圓心，求出半徑，然后計算點到圓心的距離，最后驗證這些距離是否相等.

（3）優(yōu)化模型.

在Excel中輸入點的坐標數(shù)據(jù)，擬合函數(shù)的表達式和圓的半徑，從而優(yōu)化拱橋的數(shù)學模型，

【設計意圖】通過引導學生歸納拱橋中的數(shù)學建模方法，提升學生的反思、歸納能力，讓學生找到優(yōu)化數(shù)學建模過程的學習路徑，提高學生學習的元認知水平，促進其解決問題能力的提升.

環(huán)節(jié)5：作業(yè)布置.

在該教學活動中，學生經歷了探究和實踐的過程，深入了解了拱橋的數(shù)學模型，通過小組合作，不僅提高了學生解決實際問題的能力，而且加深了學生對二次函數(shù)和圓的相關知識的理解．為了體現(xiàn)“教一學一評”的一致性，課后作業(yè)布置如下.

（1）完善驗證拱橋數(shù)學模型的方案.

基于在小組探究活動中的發(fā)現(xiàn)和討論，每個小組需要完善自己的方案，明確說明選擇的模型（拱橋是圓弧形或拋物線形），并且給出驗證該模型正確性的詳細步驟和理由，要求方案中包含必要的數(shù)學計算和邏輯推理過程.

（2）提交設計作品.

每個小組根據(jù)自己的探究結果設計一份關于如何修復破損拱橋的方案設計作品，提交的作品需包含設計圖及其計算過程.

（3）解決相關實際應用問題.

選擇一類實際問題，如“船過拱橋”問題，應用拱橋的數(shù)學模型來解決，需要詳細描述問題背景、數(shù)學模型的應用過程、計算步驟和最終解決方案，要求提供問題解決的圖示和相關計算過程，確保解答過程清晰、邏輯嚴密.

五、教學延伸

對拱橋數(shù)學模型的深人探究，不僅促進了學生對相關數(shù)學知識的理解，而且培養(yǎng)了學生解決問題的關鍵能力．學生從拱橋的現(xiàn)實原型抽象出拱橋的數(shù)學模型，發(fā)展了抽象能力和空間觀念，經歷了從問題發(fā)現(xiàn)到問題解決的全過程．這對于學生未來的學習和生活具有重要意義．為了進一步鞏固和拓展該次教學實踐活動的學習成果，我們可以考慮以下幾個方面的教學延伸.

一是跨學科學習．探索數(shù)學與其他學科的結合，如物理學中的拱橋受力問題、橋梁的歷史文化等，讓學生在跨學科的學習過程中深化對知識的理解，促進核心素養(yǎng)的發(fā)展.

二是數(shù)學建模競賽.鼓勵學生參加數(shù)學建模競賽，可以將拱橋模型作為研究對象之一．通過設計模型競賽，提升學生的數(shù)學建模能力和團隊合作精神.

三是參加專家講座.組織學生參加相關的公開課或聆聽專家的學術報告，聽取專家對于橋梁設計、數(shù)學建模的深人講解，拓寬學生的視野.

六、教學反思

本次“探究拱橋的數(shù)學模型”是一次富有成效的學科實踐教學嘗試，它深刻體現(xiàn)了“做中學”的教學理念，通過本次活動，學生親身參與到實際問題的探究中，通過實地考察、數(shù)據(jù)收集和模型構建等一系列實踐活動，將學生所學知識與現(xiàn)實問題相結合，并在課堂進行數(shù)學模型的探究和優(yōu)化．這種課堂內外結合探究知識的學習方式極大地提高了學生的學習興趣和積極性，以下是對本次教學活動的幾點反思.

1．學科實踐的有效性

從實地考察、數(shù)據(jù)收集到拱橋數(shù)學模型的探究和優(yōu)化，深化了學生對二次函數(shù)和圓的相關知識的理解．從后續(xù)作業(yè)的提交和檢測情況來看，大多數(shù)學生能夠區(qū)分拱橋的不同數(shù)學模型，并能解決相關的實際應用問題，從而證實了此次學科實踐教學活動的有效性.

2.存在的問題

本次學科實踐教學活動是項目式學習“拱橋中的數(shù)學”的一部分．如何把學科實踐和項目式學習有機結合，并確定相關的學習主題，需要教師進行梳理和思考．另外，本次學科實踐活動中存在部分學生對信息技術應用不熟練，以及小組合作學習中分工不均、作業(yè)應付等問題．后續(xù)，教師要對學科實踐的主題內容進行遴選，合理設計教學活動，要提前對學生進行相關的指導，充分激發(fā)學生的學習興趣，提高學習效率，從而促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

綜上，通過本次學科實踐教學活動，筆者深刻認識到實踐教學在培養(yǎng)學生綜合能力、創(chuàng)新能力等方面的重要作用.未來，我們要繼續(xù)積極探索學科實踐活動的教學，幫助學生領悟數(shù)學學科本質，促進學生關鍵能力和核心素養(yǎng)的真正發(fā)展.

參考文獻：

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