一道不等式題的探究與思考

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16 -0036-03

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》明確指出，高考試題應聚焦數學本質與通性通法，減少對解題技巧的過度依賴，同時適度增加思維量，以有效區分不同思維層次的考生，充分發揮數學高考的選拔功能[1].不等式作為高中數學代數板塊的核心內容，一直是高考數學命題的重點方向，其考查形式豐富多樣，常與函數、數列等其他知識交叉融合，對學生的綜合思維能力提出了較高要求.本文將對一道不等式題進行多角度剖析，展現不同的思維路徑，以期為學生提供解題思路參考，助力其拓展思維的深度與廣度.

1題目呈現

題目 設實數 a，b，x，ygt;0 ，且 a²+b²=1，x² +y²=5 ，則 ax+by 的最大值是

常見錯解 ，所以 ax+by 的最大值是3.

錯因分析 上述解法連續使用兩個基本不等式 和 ，但兩個等號同時成立的條件是 這會導致 a²+b²=x²+y² ，即 1=5 ，矛盾，所以 ax+by 的最大值并非3.在作答填空題時，很多學生因未考慮取等號的條件而犯錯.

追根溯源本題改編自2014年陜西卷的15.A題：設 a，b，m，n∈R ，且 a²+b²=5，ma+nb=5 ，則 的最小值為多少 [2].這道高考題的標準答案是運用柯西不等式求解，著重考查學生的運算能力.本文的改編題在形式上更易讓人聯想到柯西不等式，但部分同學受基本不等式思維定式的影響，未驗證等號成立條件，從而得出錯誤結果.

2 題目解析

解法1 利用基本不等式.

基本不等式 如果 a，b 都為正數，則 ab?

當且僅當 a=b 時等號成立.

在求解不等式最值問題時，通常需要對式子進行適當變形以運用基本不等式

（ay=bx，

所以 ax+by 的最大值是

評注運用基本不等式求解最值問題是常見技巧，需要深入挖掘題目條件，通過平方、配湊等方式構建使用基本不等式的條件，并嚴格驗證等號成立的條件.

解法2 利用柯西不等式.

柯西不等式 對于 a₁，b₁，a₂，b₂∈R ，有（a₁b₁+a₂b₂）²?（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²） ，當且僅當 a₁b₂ Φ=a₂b₁ 時取等號.

本題含有四個變量，從形式上可直接運用柯西不等式求解.

因為 （ax+by）²?（a²+b²）（x²+y²）， 所以 當且僅當 ，時取等號所以 ax+by 的最大值是

評注柯西不等式是數學中極為重要的不等式，它揭示了和的平方與平方和之間的內在聯系.本題中平方和的特征十分顯著，通過對所求式子進行平方處理，巧妙運用柯西不等式，能夠將看似復雜的最值問題迎刃而解.這一方法不僅突破了基本不等式的思維局限，而且通過仔細觀察式子特征，還能有效降低解題難度.

解法3 利用三角換元.

從方程角度看， a²+b²=1 和 x²+y²=5 分別對應圓的方程.借助圓的參數方程形式，引入三角函數進行變量替換，將代數式問題轉化為三角函數問題求解.

由 a²+b²=1，x²+y²=5 ，設

則

因為 |cos（α-β）|?1 ，所以 ，當且僅當 α=β 時取等號.

所以 ax + by 的最大值是√5[3].

評注在處理含兩參數的平方和關系式時，可利用三角換元法，將題目轉化為三角函數問題，借助三角函數的圖象與性質求解代數式的最值，該方法巧妙靈活.

解法4 利用點到直線的距離公式.

由 ax+by 的形式可聯想到直線的一般表達式Ax+By+C=0 ，平面上點 P（x₀，y₀） 到直線 Ax+By +C=0 的距離公式為 ，則 （20

設直線 l_：ax+by=0，x²+y²=5 表示以 o 為圓心， 為半徑的圓，圓上任意一點 P（x，y） 到直線 ξ_l 的距離為 由于 a²+b²=1 ，所以點 P 到直線 ξ_l 的距離為 ∣ax+by∣

直線 l 過圓心，那么圓上點 P 到直線 l 的距離最大值為圓的半徑 ，即 的最大值是

所以 ax+by 的最大值是

評注平方和結構的式子常與圓方程相關聯，本題所求式子的形式與直線表達式相關，從幾何角度出發，將問題轉化為圓上點到直線距離的最大值問題，體現了數形結合的思想.

解法5 利用向量的數量積

由 ax+by 可聯想到向量數量積的坐標表達式，a²+b²=1 和 x²+y²=5 的形式類似向量模的平方，因此，可將所求式子看作兩個向量的數量積，利用數量積的性質求解.

設 u=（a，b），ν=（x，y） ，則

根據向量數量積的性質， ∣u?ν∣?∣u∣?∣ν∣ 可得 ，即 ，當且僅當 u，v 同向時等號成立.

所以 ax+by 的最大值是

評注平面向量知識體系中蘊含著與不等式相關的內容，柯西不等式可通過向量的相關性質推導得出.在解題時，可借助向量數量積的坐標表達式和模的計算方法，將問題轉化為向量問題，再利用向量數量積的性質進行求解，這種思路新穎獨特.

解法6 構造函數.

構造二次函數，將問題轉化為恒成立問題，通過湊出含 ax+by 的式子來求最大值.

令 f（t）=t²+2（ax+by）+5 ，由 a²+b²=1 和x²+y²=5，f（t）=（a²+b²）t²+2（ax+by）+（x²+by）， +y²） ，整理，得 f（t）=（at+x）²+（bt+y）²

顯然 ?_I（?_t）?0 對任意實數 Ψ_t 恒成立[4]

所以二次函數的判別式 Δ=[2（ax+by）]²-4 ×5?0 恒成立，即 （ax+by）²?5 業

所以 故 ax+by 的最大值是

評注在不等式問題的求解中，構造函數是一種常用的解題策略.然而，當面對變量較多、函數特征不明顯的題目時，常規方法往往難以奏效.本題另辟蹊徑，通過將變量視為系數，對表達式進行巧妙變形，將問題轉化為二次函數恒成立的經典模型，進而利用判別式實現求解.這種解法突破了常規構造函數的思維定式，充分彰顯了創新意識與對數學知識的靈活運用能力.

3 結束語

通過探究這道不等式題的多種解法可以發現，同一數學問題從不同思維角度切入，能夠衍生出多樣化的解決途徑.在解題過程中，不同的思維方法各展所長：基本不等式的靈活變形、柯西不等式的直接運用、三角換元的巧妙轉化、點到直線距離公式與向量數量積的創新應用，以及構造函數的獨特策略等這些解法不僅體現了不等式與高中數學各章節知識的緊密關聯，更充分展示了數學知識間的相互滲透與融合之美.

不等式最值問題的求解要求學生綜合運用多種數學知識和方法，這對于培養學生的綜合思維能力、知識遷移能力和創新精神具有重要意義.希望學生在今后的學習中，面對不等式問題時能夠積極嘗試從不同角度思考，靈活運用各種數學方法，不斷拓展自己的思維空間，提升數學素養和解題能力.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2］唐佳媚.柯西不等式的教學實踐研究[D].長沙：湖南師范大學，2019.

[3]裴柏順.淺析如何挖掘錯題資源實現變“錯”為寶[J].數學教學通訊，2021（33）：47-49.

[4]黃清波.2014年高考陜西卷理科第15題的解法賞析[J].中學數學研究，2014（10）：32-33.

[責任編輯：李慧嬌]