用字母表示數(shù)：形成與發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)

新課標(biāo)指出，“數(shù)量關(guān)系”主要是用符號(hào)（包括數(shù)）或含有符號(hào)的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)。

本文從用字母表示數(shù)的意義與價(jià)值分析和用字母表示數(shù)的教學(xué)實(shí)施兩個(gè)方面，闡述如何通過教學(xué)用字母表示數(shù)，形成和發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

一、字母表示數(shù)的意義與價(jià)值分析

（一）字母表示數(shù)的意義

用“字母表示數(shù)”的思想方法，是發(fā)展符號(hào)意識(shí)、進(jìn)行量化刻畫的基礎(chǔ)，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎(chǔ)。從用字母表示數(shù)到用字母表示未知數(shù)、待定系數(shù)、函數(shù)、字母變換等，是一整套代數(shù)方法。

“字母表示數(shù)”直接引起方程思想的產(chǎn)生，而方程思想的出現(xiàn)使算術(shù)題的解答變得輕而易舉。可以說，算術(shù)因符號(hào)化而發(fā)展為代數(shù)學(xué)，代數(shù)使計(jì)算變得精確和方便，也使計(jì)算方法系統(tǒng)化。

用字母表示數(shù)可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、隱含問題明顯化、抽象問題具體化，便于計(jì)算和研究。用字母表示數(shù)，可以更普遍地說明數(shù)量關(guān)系，精確地表達(dá)數(shù)學(xué)問題。

（二）字母表示數(shù)的價(jià)值

用字母代表數(shù)的真正價(jià)值在于：字母能和數(shù)字一起進(jìn)行四則運(yùn)算、乘方、開方，進(jìn)行指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角等運(yùn)算，以及微分、積分運(yùn)算等。

字母表示數(shù)可分為四個(gè)層次：（1）用字母泛指某個(gè)數(shù)：就像用張三、李四泛指某個(gè)人一樣，這比較容易理解。（2）專指特定的數(shù)：方程中的未知數(shù)都是具體問題中的特定的數(shù)，只是暫時(shí)不知道，臨時(shí)用字母代替。（3）作為變量：如函數(shù)概念中的字母。（4）作為不定元參與數(shù)學(xué)運(yùn)算。另外，字母除了代表數(shù)，還可以代表其他數(shù)學(xué)對(duì)象，如代數(shù)式、函數(shù)等。

字母將代數(shù)從字句的束縛中解放出來。符號(hào)有一種超越它所象征的事物的意義，這就是為什么符號(hào)不僅僅是一種形式的緣故。字母可以使人在變換文字表達(dá)方式時(shí)便于操作，能使人的思維快速地從個(gè)別轉(zhuǎn)到集體，能從“某些”轉(zhuǎn)到“任何”及“一切”。

正是出于數(shù)學(xué)對(duì)象的表示才產(chǎn)生了符號(hào)化種表示方式，使得數(shù)學(xué)符號(hào)與數(shù)學(xué)對(duì)象的表示密不可分。也正因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生花了很多時(shí)間學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)表示”，如數(shù)字、代數(shù)式及其運(yùn)算等。

二、用字母表示數(shù)的教學(xué)實(shí)施

用字母表示數(shù)是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)符號(hào)，體會(huì)引入數(shù)學(xué)符號(hào)的合理性和簡(jiǎn)捷性，逐步形成和發(fā)展符號(hào)意識(shí)。

（一）學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)量和運(yùn)算關(guān)系，在感悟簡(jiǎn)潔性和一般性的過程中培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)

1.用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系

用字母表示數(shù)量。例題：小華比小明多5張漫畫卡。如果小明有8張，小華有幾張？如果小明有12張呢？如果小明有若干張呢？怎樣用字母表示小華有多少?gòu)埪嬁ǎ?/p>

教學(xué)時(shí)，可以從具體的數(shù)量入手：小明有8張、12張時(shí)，小華的漫畫卡數(shù)量應(yīng)該如何表示？學(xué)生這樣分析：因?yàn)樾∪A比小明多5張漫畫卡，所以小華的漫畫卡張數(shù)應(yīng)該是用小明的張數(shù)加上小華比小明多的張數(shù)。學(xué)生可根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出算式算出結(jié)果： 8+5=13 （張）； 12+5=17 （張）。如果小明不知道具體數(shù)量，小華的漫畫卡數(shù)量可以表示為（ 5+a ），其中的字母a 表示小明的漫畫卡數(shù)量，是一個(gè)變化的值。

用字母表示數(shù)量關(guān)系。如圖：

1張餐桌可坐4人，2張餐桌拼在一起可坐6人，3張餐桌拼在一起可坐8人，按這樣拼下去， n 張餐桌可坐多少人？

教師可指導(dǎo)學(xué)生觀察圖片，從具體數(shù)量入手分析，找到規(guī)律，然后用字母表示變化規(guī)律。用字母 n 表示拼在一起的餐桌張數(shù)，當(dāng) n 是1時(shí)，人數(shù)是4人，4人表示兩端2人和對(duì)面2人；當(dāng) n 是2時(shí)，人數(shù)是6人，表示兩端2人和對(duì)面4人，即增加1張桌子，就增加2人；當(dāng) n 是3時(shí)，人數(shù)是8人，表示兩端2人和對(duì)面6人，即又增加1張桌子，就又增加2人。比較發(fā)現(xiàn)，桌子多出1張，人數(shù)多出2人，而多出的2人是指多出的對(duì)面的2人，而兩端2人始終保持不變。因此，只有1張餐桌時(shí)，列算式 1×2+2=4 ；2張餐桌拼在一起時(shí)，列算式 2×2+2=6 ；3張餐桌拼在一起時(shí)，算式 3×2+2=8 ，以此類推， n 張餐桌拼在一起可坐（ 2n+2 人。

在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生用字母表示餐桌數(shù)與人數(shù)之間的關(guān)系。因?yàn)橐硎緝蓚€(gè)量之間的關(guān)系，所以教師引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)字母表示餐桌數(shù)和人數(shù)，建立兩者之間的關(guān)系。我們可以用字母 Δ_a 表示餐桌數(shù)，b 表示人數(shù)。根據(jù)問題的背景，可以建立關(guān)系式：b=2a+2 。接著，引導(dǎo)學(xué)生理解，如果知道這兩個(gè)量中的一個(gè)量，就可以通過四則運(yùn)算得到另一個(gè)量。在這樣的過程中，學(xué)生進(jìn)一步感悟可以用字母表示數(shù)量關(guān)系，初步經(jīng)歷通過具體數(shù)值的計(jì)算歸納一般關(guān)系的過程。

2.用含有字母的式子表示加減運(yùn)算關(guān)系

教師出示例題（情境圖略）：盤子里原有5個(gè)蘋果，又買來3個(gè)蘋果和4個(gè)梨，根據(jù)問題填出計(jì)算結(jié)果：（1）現(xiàn)在一共有多少個(gè)蘋果？（2）又買來多少個(gè)水果？教師繼續(xù)提出問題：上面兩個(gè)問題為什么都用加法計(jì)算？學(xué)生回答：要求“現(xiàn)在一共有多少個(gè)蘋果”，就要把原來蘋果的個(gè)數(shù)和又買來蘋果的個(gè)數(shù)合起來。要求“又買來多少個(gè)水果”，就是把又買來蘋果的個(gè)數(shù)和又買來梨的個(gè)數(shù)合起來。把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫作加法。其中的兩個(gè)數(shù)都叫作加數(shù)，合并后的數(shù)叫作和。教師出示加法關(guān)系式：加數(shù) + 加數(shù) Σ=Σ 和，并指出：如果用字母 a 表示一個(gè)加數(shù)， b 表示另一個(gè)加數(shù)， c 表示和，那么上面的關(guān)系還可以寫成 a+b=c 。

在學(xué)生理解字母關(guān)系式的意義的基礎(chǔ)上，教師還要讓學(xué)生比較文字關(guān)系式和字母關(guān)系式的異同。學(xué)生認(rèn)為，兩個(gè)關(guān)系式都表示加法的數(shù)量關(guān)系，文字關(guān)系式能具體解釋加法算式各部分的名稱和計(jì)算過程；字母關(guān)系式寫出的計(jì)算過程簡(jiǎn)潔明了，并且字母可以表示任意數(shù)。此時(shí)，學(xué)生體會(huì)到用含有字母的式子表示加法關(guān)系更簡(jiǎn)潔、更具有一般性。

在學(xué)生學(xué)習(xí)完加法字母關(guān)系式的基礎(chǔ)上，教師把例題改編成用減法計(jì)算的實(shí)際問題。條件和問題如下：盤子里原有5個(gè)蘋果，又買來3個(gè)蘋果和4個(gè)梨。（1）現(xiàn)在一共有8個(gè)蘋果，盤子里原有5個(gè)蘋果，又買來幾個(gè)蘋果？（2）又買來3個(gè)蘋果，現(xiàn)在一共有8個(gè)蘋果，盤子里原有幾個(gè)蘋果？（3）又買來7個(gè)水果，其中有3個(gè)蘋果，又買來幾個(gè)梨？（4）又買來7個(gè)水果，其中有4個(gè)梨，又買來幾個(gè)蘋果？并完成下面填空：

5+3= □， 3+4= □； 8-5= □， 8-3=? 7-3=? 7-4= □。

學(xué)生填出結(jié)果，再說說為什么用減法計(jì)算。教師幫助學(xué)生理解：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫作減法。那么原來的減法關(guān)系式是被減數(shù)-減數(shù) Σ=Σ 差，對(duì)照加法關(guān)系式可以寫成：和－一個(gè)加數(shù) Σ=Σ 另一個(gè)加數(shù)。我們就可以發(fā)現(xiàn)加法和減法的關(guān)系，減法是加法的逆運(yùn)算。那么根據(jù)a+b=c ，可知， c-a=? ， c-b= □。如果已知被減數(shù)和差，怎么求減數(shù)？已知減數(shù)和差，怎么求被減數(shù)？完成下面填空：

8-?=3，?-5=30

再讓學(xué)生用字母式表示出求減數(shù)和求被減數(shù)的方法： a=c-b ， c=a+b 。

3.用含有字母的式子表示乘除運(yùn)算關(guān)系

教師出示條件和問題（情境圖略）：跳繩的同學(xué)被分成3組，每組有4人，跳繩的一共有多少人？

學(xué)生列式解答： 4+4+4=4×3=12 （人）。

教師問：為什么可以用乘法計(jì)算？學(xué)生回答：求跳繩的一共有多少人，就是求3個(gè)4相加的和。求幾個(gè)相同加數(shù)的和，用乘法計(jì)算更簡(jiǎn)便。

當(dāng)學(xué)生知道用文字表示乘法的關(guān)系式時(shí)，也就是知道可以用含有字母的式子來表示乘法關(guān)系。過程如下：

如果用 a 表示一個(gè)乘數(shù)， b 表示另一個(gè)乘數(shù)， c 表示積，上面的關(guān)系還可以寫成： a×b=c 。

這時(shí)，教師要讓學(xué)生說出字母 ， 可以表示哪些數(shù)，并要問：“當(dāng) a 和 b 定下來時(shí)， c 還能任意取一個(gè)數(shù)嗎？”

把上面乘法例題改編成兩個(gè)用除法計(jì)算的實(shí)際問題：（1）12個(gè)同學(xué)跳繩，被平均分成了3組，每組有幾人？（2）12個(gè)同學(xué)跳繩，按4人一組安排，一共有幾組？接著，讓學(xué)生完成后并填空： 4×3= □，12÷4=? ， 12÷3=? ，再讓學(xué)生看圖說說為什么用除法計(jì)算，并說出每個(gè)算式的意義。最后，讓學(xué)生把下面的字母關(guān)系式補(bǔ)充完整：

根據(jù) a×b=c ，可知 c÷a=? ， c÷b= □。

教師接著提問：已知被除數(shù)與商，怎么求除數(shù)？已知除數(shù)與商，怎么求被除數(shù)？學(xué)生說出運(yùn)算過程，并說出相應(yīng)的關(guān)系式。

上面的學(xué)習(xí)過程是通過乘除法問題的轉(zhuǎn)化，再用字母關(guān)系式來表示乘除法的關(guān)系。學(xué)生從乘法的含義去理解除法的含義，知道除法是乘法的逆運(yùn)算。

（二）用字母表示面積計(jì)算公式和運(yùn)算律，感悟用字母表示所得到的結(jié)果具有一般性

1.探索用字母表示長(zhǎng)方形和其他平面圖形的面積公式

教師出示長(zhǎng) 7cm ，寬 2cm 的長(zhǎng)方形圖，讓學(xué)生說說這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米。學(xué)生回答：求長(zhǎng)方形的面積就是求長(zhǎng)方形里有多少個(gè)面積單位，如果用 1cm² 的小正方形去擺，一排可以擺7個(gè)，可以擺2排，這個(gè)長(zhǎng)方形里有14個(gè) 1cm² ，因此，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是 14cm² 。在此基礎(chǔ)上，教師提出問題：長(zhǎng)方形的面積與什么有關(guān)？可以怎樣求長(zhǎng)方形的面積？學(xué)生討論得出求長(zhǎng)方形的面積公式：長(zhǎng)方形的面積 Σ=Σ 長(zhǎng) × 寬。如果用 s 表示長(zhǎng)方形的面積，用 Δ_a 和b 分別表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，長(zhǎng)方形的面積公式可以寫成： S=a×b 。學(xué)生思考正方形的特點(diǎn)，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出正方形面積公式：正方形的面積 Σ=Σ 邊長(zhǎng) × 邊長(zhǎng) scriptstyle=a² 。

在面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程中，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式是基礎(chǔ)，而平行四邊形的面積計(jì)算公式是重點(diǎn)。教師引導(dǎo)學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思想方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成與它面積相等的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與平行四邊形的底和高分別相等，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式：長(zhǎng)方形的面積 Σ=Σ 長(zhǎng) × 寬，可以推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式：平行四邊形的面積 Σ=Σ 底 × 高。為了更好地讓學(xué)生感受用字母表示面積公式的一般性，教師提出問題：在平行四邊形中，如果知道面積和底，如何求高？學(xué)生會(huì)由面積公式推出求高和求底的公式： h=S÷a ，a=S÷h ，再用轉(zhuǎn)化的思想根據(jù)平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式： S=a×h÷2 ，梯形面積公式： S=（a+b）×h÷2 0

2.通過用不同的方法解決問題，讓學(xué)生探索用字母表示運(yùn)算律的過程

首先，探索用字母表示加法交換律和結(jié)合律。出示用加法解決的實(shí)際問題：已知有28個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，23個(gè)女生踢鍵子。跳繩的有多少人？跳繩和踢鍵子的一共有多少人？

先解決問題“跳繩的有多少人”。學(xué)生會(huì)直接列出兩個(gè)算式： 28+17=45 （人）， 17+28=45 （人）。因?yàn)檫@兩道等式得數(shù)相同，所以可以寫成等式：28+17=17+28 。教師讓學(xué)生再寫出這樣的算式，并比較這些等式有什么共同的特點(diǎn)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變。這時(shí)，教師向?qū)W生提出問題：如果用字母 Δ_a 、 b 分別表示兩個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以寫成怎樣的式子？學(xué)生寫出： a+b=b+a 。教師說明這個(gè)等式就是加法交換律。這時(shí)，教師再問學(xué)生根據(jù)這個(gè)定律（字母表示式）能舉出多少個(gè)例子，學(xué)生說很多很多且可以舉出例子。這樣學(xué)生就會(huì)感受到用字母表示運(yùn)算律就具有一般性，它可以代表各種特殊情況。

接著解決問題跳繩和踢鍵子的一共有多少人。學(xué)生用兩種方法解決，一是先算出跳繩有多少人：（ 28+17 ） +23=46+23=68 （人）；二是先算出女生有多少人再求一共有多少人： 28+ 68（人）。因?yàn)槎际乔蟪鎏K和踢鍵子的一共有68人，結(jié)果相同，故可把兩道算式寫成等式：（ 28+17 ） +23= ²⁸⁺ （ 17+23 ）。教師問學(xué)生：你能用含有字母的式子表示你的發(fā)現(xiàn)嗎？如果用字母 a 、b、 c 分別表示三個(gè)加數(shù)，上面的規(guī)律可以寫成： ，這就是加法結(jié)合律。

然后，探索用字母表示乘法運(yùn)算律。關(guān)于乘法運(yùn)算律的探索，可以遷移探索加法運(yùn)算律的方法和過程，用含有字母的式子表示出來。如果用字母 a、b 分別表示兩個(gè)乘數(shù)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以寫成： a×b=b×a ，這就是乘法交換律。再讓學(xué)生根據(jù)字母式子舉一些例子，感受規(guī)律的一般性。學(xué)生用同樣的方法獲得乘法結(jié)合律：（ a×b ） ；乘法分配律：（ a+b ） ×c=a×c+b×c □

（三）用字母表達(dá)數(shù)學(xué)性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)模型意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)

1.觀察天平并推導(dǎo)出等量的等量相等

觀察得出：正方體的質(zhì)量等于圓柱的質(zhì)量，圓 柱的質(zhì)量等于球的質(zhì)量，所以正方體的質(zhì)量等于球的 質(zhì)量。

思考問題：如果把上面的正方體和球分別放在天平兩端，天平平衡嗎？為什么？如果用 a 、b、 Ψ_c 表示三個(gè)物體的質(zhì)量，你能用含有字母的式子表示推理過程嗎？推理過程如下：

因?yàn)?a=b ， b=c ，所以 a=c ，即等量的等量相等。

2.觀察天平，推導(dǎo)等式的性質(zhì)

教師提出問題：怎樣在天平兩邊增加砝碼，使天平仍然保持平衡？學(xué)生可以進(jìn)行下面的操作：

左右兩邊原有50克，同時(shí)增加10克，得到等式： 50+10=50+10 ；再改為兩邊原有50克，兩邊都加上同樣重的砝碼，得到等式： 50+n=50+n 。觀察平衡的天平，列出等式： 50+n=50+n ；然后兩邊同時(shí)去掉 n ，寫出等式： 50+n-n=50+n-n ；歸納出結(jié)論：如果 a=b ，那么 a+c=b+c ；如果 a=b ，那么 a-c=b-c 即等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍然相等。這是等式的性質(zhì)一。由此可以推出：如果 a=b ，那么a×c=b×c（c≠0） ；如果 a=b ，那么 a÷c=b÷c（c≠0） 。即等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍然相等。這是等式的性質(zhì)二。

3.用含有字母的式子表示乘法模型

根據(jù)給出的條件，學(xué)生依次列出求正方形周長(zhǎng)和面積的算式，完成下表。

如果用 Δ_a 表示正方形的邊長(zhǎng)，用 c 表示正方形的周長(zhǎng)，用 s 表示正方形的面積，可以怎樣表示正方形的周長(zhǎng)、面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系？學(xué)生概括出公式：c=4×a ， S=a×a 。這兩個(gè)乘法算式就是乘法的兩個(gè)基本模型。

4.用含有字母的式子表達(dá)變量（正比）關(guān)系

師：（出示問題一）隨著大家衛(wèi)生意識(shí)的逐步增強(qiáng)，消毒酒精的銷量也在不斷地增加。一種消毒酒精的銷售數(shù)量和總價(jià)如下表。觀察表中的數(shù)據(jù)，說說你對(duì)銷售數(shù)量與總價(jià)關(guān)系的理解。

生：銷售的數(shù)量越多，總價(jià)就越高。銷售數(shù)量是1瓶的幾倍，總價(jià)就是16元的幾倍。每瓶的價(jià)格都是16元。

師：你能寫出幾組相對(duì)應(yīng)的銷售總價(jià)與數(shù)量的比，并求出比值嗎？比較求出的比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生： （元/瓶）； （ ）（元/瓶）； ）（元/瓶）。

師：銷售數(shù)量與總價(jià)之間的關(guān)系，也可以用式子來表示：總價(jià) ÷ 數(shù)量 Σ=Σ 單價(jià)。如果用 a 表示總價(jià)， b c =c 。如果要求總價(jià)，關(guān)系式怎么表示？

生： a=b×c 。

師：總價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量變化，總價(jià)也隨著變化。當(dāng)總價(jià)與相對(duì)應(yīng)數(shù)量的比的比值保持不變時(shí)，我們就說總價(jià)與數(shù)量成正比關(guān)系，總價(jià)和數(shù)量是成正比的量。

教師出示問題二：一輛汽車在公路上行駛，行駛的時(shí)間和路程如下表。

師：你能寫出表示路程與時(shí)間關(guān)系的式子嗎？師：如果用 s 表示路程， t 表示時(shí)間， u 表示速度，上面的關(guān)系式可以表示為： 。如果要求路程，關(guān)系式怎么表示？

生： s=ν×t

師：我們還可以用 t=s÷ν 求時(shí)間。

師：這輛汽車行駛的路程與時(shí)間成正比嗎？為什么？

師：比較問題一和問題二中兩種相關(guān)聯(lián)的量的不同點(diǎn)和相同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)雖然一個(gè)是行程問題，一個(gè)是購(gòu)物問題，但它們都有兩種相關(guān)聯(lián)的量，且它們相對(duì)應(yīng)的數(shù)的比的比值不變。因此這兩種量都成正比關(guān)系。那像這樣的兩種相關(guān)聯(lián)的量還有嗎？（有）既然這種情況還特別多，那我們能不能用字母關(guān)系式來表示？

師：如果用 x 和 y 表示兩種相關(guān)聯(lián)的量。用 k 表示它們不變的比值，正比例關(guān)系可以用下面的式子表示： （ k≠0 ）。這個(gè)正比表達(dá)式也可以轉(zhuǎn)化為y=kx 的形式，這樣表達(dá)能夠更好地體現(xiàn)“隨著時(shí)間的增多，路程也增多”的變化規(guī)律，這就是初中將要學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)。

（四）用字母進(jìn)行推理和論證數(shù)學(xué)結(jié)論，培養(yǎng)推理意識(shí)

1.用字母表示數(shù)進(jìn)行推理

教師提出問題：任意三個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加的和一定是3的倍數(shù)嗎？

師：如果用 Δ_a 表示任意一個(gè)自然數(shù)，你能用含有字母的式子表示這三個(gè)自然數(shù)，并說明上面的結(jié)論成立嗎？

生：三個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為： a，（a+1），（a+2）

則 a+（a+1）+（a+2）=a+a+1+a+2=3a+3=3（a+1） ，因?yàn)? （a+1） 一定是3的倍數(shù)，所以上面的結(jié)論成立。

師：如果用 Δ_a 表示三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中間的一個(gè)數(shù)，可以怎樣表示另外兩個(gè)數(shù)？如果用 a 表示最大的一個(gè)數(shù)呢？

學(xué)生類比遷移，得出結(jié)論。

2.用字母表示算式進(jìn)行運(yùn)算方法的推理和統(tǒng)一

探究分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的方法，并推廣到整數(shù)、小數(shù)除法。

教師出示分?jǐn)?shù)乘法問題：大瓶果汁是 L，小瓶果汁是大瓶的 ，小瓶果汁是多少升？學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系式：大瓶果汁量 小瓶果汁量，列式解答： （L） 。

教師再讓學(xué)生把上面乘法的實(shí)際問題改編成用除法計(jì)算的問題：小瓶里有果汁 L，小瓶里的果汁是大瓶的 ，大瓶里的果汁是多少升？根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式：小瓶果汁量 =大瓶果汁量，列式并計(jì)算： （L）。

根據(jù)線段圖想一想：還可以怎樣求大瓶的果汁量？

算式如下： ， 。

教師再讓學(xué)生觀察這兩道算式，思考這兩種解題方法有什么聯(lián)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。

學(xué)生繼續(xù)思考：除法與乘法有什么關(guān)系？整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法的計(jì)算方法有什么聯(lián)系？學(xué)生認(rèn)為，除法是乘法的逆運(yùn)算，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法都可以轉(zhuǎn)化成乘法來計(jì)算，而且整數(shù)、小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，其中蘊(yùn)含的道理可以用含有字母的算式來進(jìn)行推理論證。

我們用 Δ_a 表示被除數(shù)， b 表示除數(shù) （b≠0） 。推理過程如下：設(shè) a÷b=c（b≠0） ， a=c×b （乘除法的關(guān)系）， （等式的基本性質(zhì)）， 因?yàn)?a÷b=c ， b=c，所以a÷b=ax 。這里的a和 b 可以表示整數(shù)，也可以表示分?jǐn)?shù)或小數(shù)。除法是乘法的逆運(yùn)算，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)除法都可以轉(zhuǎn)化成乘法來計(jì)算。

3．用字母表示面積進(jìn)行推理

如圖，正方形的邊長(zhǎng)是 a ，斜線區(qū)域和陰影區(qū)域分別是正方形和平行四邊形的一部分。這兩個(gè)部分的面積相等嗎？為什么？

學(xué)生的思考過程：斜線區(qū)域的面積 Σ=Σ 正方形的面積-空白三角形部分面積；陰影區(qū)域的面積 Σ=Σ 平行四邊形的面積－空白三角形部分面積。

用字母 M 表示斜線區(qū)域的面積，用字母 N 表示陰影區(qū)域的面積，用字母 P 表示空白三角形的面積。因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)是 a ，正方形的面積是 a² ，所以M=a²-P ，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚牡资?a ，高也是 Ω_a ，平行四邊形的面積是 a² ，所以 N=a²-P. 。可得， M=N

數(shù)字符號(hào)的引入在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起了巨大的作用，用字母表示數(shù)的教學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)教育的意義非凡，教師要從形成和發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)的價(jià)值取向去研究和落實(shí)用字母表示數(shù)的教學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009