用字母表示數(shù)：形成與發(fā)展學生的符號意識

新課標指出，“數(shù)量關系”主要是用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達數(shù)量之間的關系或規(guī)律。學生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識。

本文從用字母表示數(shù)的意義與價值分析和用字母表示數(shù)的教學實施兩個方面，闡述如何通過教學用字母表示數(shù)，形成和發(fā)展學生的符號意識。

一、字母表示數(shù)的意義與價值分析

（一）字母表示數(shù)的意義

用“字母表示數(shù)”的思想方法，是發(fā)展符號意識、進行量化刻畫的基礎，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎。從用字母表示數(shù)到用字母表示未知數(shù)、待定系數(shù)、函數(shù)、字母變換等，是一整套代數(shù)方法。

“字母表示數(shù)”直接引起方程思想的產(chǎn)生，而方程思想的出現(xiàn)使算術(shù)題的解答變得輕而易舉。可以說，算術(shù)因符號化而發(fā)展為代數(shù)學，代數(shù)使計算變得精確和方便，也使計算方法系統(tǒng)化。

用字母表示數(shù)可以使復雜問題簡單化、隱含問題明顯化、抽象問題具體化，便于計算和研究。用字母表示數(shù)，可以更普遍地說明數(shù)量關系，精確地表達數(shù)學問題。

（二）字母表示數(shù)的價值

用字母代表數(shù)的真正價值在于：字母能和數(shù)字一起進行四則運算、乘方、開方，進行指數(shù)、對數(shù)、三角等運算，以及微分、積分運算等。

字母表示數(shù)可分為四個層次：（1）用字母泛指某個數(shù)：就像用張三、李四泛指某個人一樣，這比較容易理解。（2）專指特定的數(shù)：方程中的未知數(shù)都是具體問題中的特定的數(shù)，只是暫時不知道，臨時用字母代替。（3）作為變量：如函數(shù)概念中的字母。（4）作為不定元參與數(shù)學運算。另外，字母除了代表數(shù)，還可以代表其他數(shù)學對象，如代數(shù)式、函數(shù)等。

字母將代數(shù)從字句的束縛中解放出來。符號有一種超越它所象征的事物的意義，這就是為什么符號不僅僅是一種形式的緣故。字母可以使人在變換文字表達方式時便于操作，能使人的思維快速地從個別轉(zhuǎn)到集體，能從“某些”轉(zhuǎn)到“任何”及“一切”。

正是出于數(shù)學對象的表示才產(chǎn)生了符號化種表示方式，使得數(shù)學符號與數(shù)學對象的表示密不可分。也正因此，在數(shù)學學習中，學生花了很多時間學習“數(shù)學表示”，如數(shù)字、代數(shù)式及其運算等。

二、用字母表示數(shù)的教學實施

用字母表示數(shù)是代數(shù)學習的基礎。在教學中，教師應引導學生充分感知數(shù)學符號，體會引入數(shù)學符號的合理性和簡捷性，逐步形成和發(fā)展符號意識。

（一）學習用字母表示數(shù)量和運算關系，在感悟簡潔性和一般性的過程中培養(yǎng)符號意識

1.用字母表示數(shù)、數(shù)量關系

用字母表示數(shù)量。例題：小華比小明多5張漫畫卡。如果小明有8張，小華有幾張？如果小明有12張呢？如果小明有若干張呢？怎樣用字母表示小華有多少張漫畫卡？

教學時，可以從具體的數(shù)量入手：小明有8張、12張時，小華的漫畫卡數(shù)量應該如何表示？學生這樣分析：因為小華比小明多5張漫畫卡，所以小華的漫畫卡張數(shù)應該是用小明的張數(shù)加上小華比小明多的張數(shù)。學生可根據(jù)數(shù)量關系列出算式算出結(jié)果： 8+5=13 （張）； 12+5=17 （張）。如果小明不知道具體數(shù)量，小華的漫畫卡數(shù)量可以表示為（ 5+a ），其中的字母a 表示小明的漫畫卡數(shù)量，是一個變化的值。

用字母表示數(shù)量關系。如圖：

1張餐桌可坐4人，2張餐桌拼在一起可坐6人，3張餐桌拼在一起可坐8人，按這樣拼下去， n 張餐桌可坐多少人？

教師可指導學生觀察圖片，從具體數(shù)量入手分析，找到規(guī)律，然后用字母表示變化規(guī)律。用字母 n 表示拼在一起的餐桌張數(shù)，當 n 是1時，人數(shù)是4人，4人表示兩端2人和對面2人；當 n 是2時，人數(shù)是6人，表示兩端2人和對面4人，即增加1張桌子，就增加2人；當 n 是3時，人數(shù)是8人，表示兩端2人和對面6人，即又增加1張桌子，就又增加2人。比較發(fā)現(xiàn)，桌子多出1張，人數(shù)多出2人，而多出的2人是指多出的對面的2人，而兩端2人始終保持不變。因此，只有1張餐桌時，列算式 1×2+2=4 ；2張餐桌拼在一起時，列算式 2×2+2=6 ；3張餐桌拼在一起時，算式 3×2+2=8 ，以此類推， n 張餐桌拼在一起可坐（ 2n+2 人。

在此基礎上，教師讓學生用字母表示餐桌數(shù)與人數(shù)之間的關系。因為要表示兩個量之間的關系，所以教師引導學生用兩個字母表示餐桌數(shù)和人數(shù)，建立兩者之間的關系。我們可以用字母 Δ_a 表示餐桌數(shù)，b 表示人數(shù)。根據(jù)問題的背景，可以建立關系式：b=2a+2 。接著，引導學生理解，如果知道這兩個量中的一個量，就可以通過四則運算得到另一個量。在這樣的過程中，學生進一步感悟可以用字母表示數(shù)量關系，初步經(jīng)歷通過具體數(shù)值的計算歸納一般關系的過程。

2.用含有字母的式子表示加減運算關系

教師出示例題（情境圖略）：盤子里原有5個蘋果，又買來3個蘋果和4個梨，根據(jù)問題填出計算結(jié)果：（1）現(xiàn)在一共有多少個蘋果？（2）又買來多少個水果？教師繼續(xù)提出問題：上面兩個問題為什么都用加法計算？學生回答：要求“現(xiàn)在一共有多少個蘋果”，就要把原來蘋果的個數(shù)和又買來蘋果的個數(shù)合起來。要求“又買來多少個水果”，就是把又買來蘋果的個數(shù)和又買來梨的個數(shù)合起來。把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫作加法。其中的兩個數(shù)都叫作加數(shù)，合并后的數(shù)叫作和。教師出示加法關系式：加數(shù) + 加數(shù) Σ=Σ 和，并指出：如果用字母 a 表示一個加數(shù)， b 表示另一個加數(shù)， c 表示和，那么上面的關系還可以寫成 a+b=c 。

在學生理解字母關系式的意義的基礎上，教師還要讓學生比較文字關系式和字母關系式的異同。學生認為，兩個關系式都表示加法的數(shù)量關系，文字關系式能具體解釋加法算式各部分的名稱和計算過程；字母關系式寫出的計算過程簡潔明了，并且字母可以表示任意數(shù)。此時，學生體會到用含有字母的式子表示加法關系更簡潔、更具有一般性。

在學生學習完加法字母關系式的基礎上，教師把例題改編成用減法計算的實際問題。條件和問題如下：盤子里原有5個蘋果，又買來3個蘋果和4個梨。（1）現(xiàn)在一共有8個蘋果，盤子里原有5個蘋果，又買來幾個蘋果？（2）又買來3個蘋果，現(xiàn)在一共有8個蘋果，盤子里原有幾個蘋果？（3）又買來7個水果，其中有3個蘋果，又買來幾個梨？（4）又買來7個水果，其中有4個梨，又買來幾個蘋果？并完成下面填空：

5+3= □， 3+4= □； 8-5= □， 8-3=? 7-3=? 7-4= □。

學生填出結(jié)果，再說說為什么用減法計算。教師幫助學生理解：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫作減法。那么原來的減法關系式是被減數(shù)-減數(shù) Σ=Σ 差，對照加法關系式可以寫成：和－一個加數(shù) Σ=Σ 另一個加數(shù)。我們就可以發(fā)現(xiàn)加法和減法的關系，減法是加法的逆運算。那么根據(jù)a+b=c ，可知， c-a=? ， c-b= □。如果已知被減數(shù)和差，怎么求減數(shù)？已知減數(shù)和差，怎么求被減數(shù)？完成下面填空：

8-?=3，?-5=30

再讓學生用字母式表示出求減數(shù)和求被減數(shù)的方法： a=c-b ， c=a+b 。

3.用含有字母的式子表示乘除運算關系

教師出示條件和問題（情境圖略）：跳繩的同學被分成3組，每組有4人，跳繩的一共有多少人？

學生列式解答： 4+4+4=4×3=12 （人）。

教師問：為什么可以用乘法計算？學生回答：求跳繩的一共有多少人，就是求3個4相加的和。求幾個相同加數(shù)的和，用乘法計算更簡便。

當學生知道用文字表示乘法的關系式時，也就是知道可以用含有字母的式子來表示乘法關系。過程如下：

如果用 a 表示一個乘數(shù)， b 表示另一個乘數(shù)， c 表示積，上面的關系還可以寫成： a×b=c 。

這時，教師要讓學生說出字母 ， 可以表示哪些數(shù)，并要問：“當 a 和 b 定下來時， c 還能任意取一個數(shù)嗎？”

把上面乘法例題改編成兩個用除法計算的實際問題：（1）12個同學跳繩，被平均分成了3組，每組有幾人？（2）12個同學跳繩，按4人一組安排，一共有幾組？接著，讓學生完成后并填空： 4×3= □，12÷4=? ， 12÷3=? ，再讓學生看圖說說為什么用除法計算，并說出每個算式的意義。最后，讓學生把下面的字母關系式補充完整：

根據(jù) a×b=c ，可知 c÷a=? ， c÷b= □。

教師接著提問：已知被除數(shù)與商，怎么求除數(shù)？已知除數(shù)與商，怎么求被除數(shù)？學生說出運算過程，并說出相應的關系式。

上面的學習過程是通過乘除法問題的轉(zhuǎn)化，再用字母關系式來表示乘除法的關系。學生從乘法的含義去理解除法的含義，知道除法是乘法的逆運算。

（二）用字母表示面積計算公式和運算律，感悟用字母表示所得到的結(jié)果具有一般性

1.探索用字母表示長方形和其他平面圖形的面積公式

教師出示長 7cm ，寬 2cm 的長方形圖，讓學生說說這個長方形的面積是多少平方厘米。學生回答：求長方形的面積就是求長方形里有多少個面積單位，如果用 1cm² 的小正方形去擺，一排可以擺7個，可以擺2排，這個長方形里有14個 1cm² ，因此，這個長方形的面積是 14cm² 。在此基礎上，教師提出問題：長方形的面積與什么有關？可以怎樣求長方形的面積？學生討論得出求長方形的面積公式：長方形的面積 Σ=Σ 長 × 寬。如果用 s 表示長方形的面積，用 Δ_a 和b 分別表示長方形的長和寬，長方形的面積公式可以寫成： S=a×b 。學生思考正方形的特點，根據(jù)長方形面積公式推導出正方形面積公式：正方形的面積 Σ=Σ 邊長 × 邊長 scriptstyle=a² 。

在面積計算公式的推導過程中，長方形的面積計算公式是基礎，而平行四邊形的面積計算公式是重點。教師引導學生用轉(zhuǎn)化的思想方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成與它面積相等的長方形，長方形的長和寬與平行四邊形的底和高分別相等，根據(jù)長方形面積公式：長方形的面積 Σ=Σ 長 × 寬，可以推導出平行四邊形的面積公式：平行四邊形的面積 Σ=Σ 底 × 高。為了更好地讓學生感受用字母表示面積公式的一般性，教師提出問題：在平行四邊形中，如果知道面積和底，如何求高？學生會由面積公式推出求高和求底的公式： h=S÷a ，a=S÷h ，再用轉(zhuǎn)化的思想根據(jù)平行四邊形面積計算公式推導出三角形面積計算公式： S=a×h÷2 ，梯形面積公式： S=（a+b）×h÷2 0

2.通過用不同的方法解決問題，讓學生探索用字母表示運算律的過程

首先，探索用字母表示加法交換律和結(jié)合律。出示用加法解決的實際問題：已知有28個男生跳繩，17個女生跳繩，23個女生踢鍵子。跳繩的有多少人？跳繩和踢鍵子的一共有多少人？

先解決問題“跳繩的有多少人”。學生會直接列出兩個算式： 28+17=45 （人）， 17+28=45 （人）。因為這兩道等式得數(shù)相同，所以可以寫成等式：28+17=17+28 。教師讓學生再寫出這樣的算式，并比較這些等式有什么共同的特點。學生發(fā)現(xiàn)，兩個加數(shù)交換位置，和不變。這時，教師向?qū)W生提出問題：如果用字母 Δ_a 、 b 分別表示兩個加數(shù)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以寫成怎樣的式子？學生寫出： a+b=b+a 。教師說明這個等式就是加法交換律。這時，教師再問學生根據(jù)這個定律（字母表示式）能舉出多少個例子，學生說很多很多且可以舉出例子。這樣學生就會感受到用字母表示運算律就具有一般性，它可以代表各種特殊情況。

接著解決問題跳繩和踢鍵子的一共有多少人。學生用兩種方法解決，一是先算出跳繩有多少人：（ 28+17 ） +23=46+23=68 （人）；二是先算出女生有多少人再求一共有多少人： 28+ 68（人）。因為都是求出跳繩和踢鍵子的一共有68人，結(jié)果相同，故可把兩道算式寫成等式：（ 28+17 ） +23= ²⁸⁺ （ 17+23 ）。教師問學生：你能用含有字母的式子表示你的發(fā)現(xiàn)嗎？如果用字母 a 、b、 c 分別表示三個加數(shù)，上面的規(guī)律可以寫成： ，這就是加法結(jié)合律。

然后，探索用字母表示乘法運算律。關于乘法運算律的探索，可以遷移探索加法運算律的方法和過程，用含有字母的式子表示出來。如果用字母 a、b 分別表示兩個乘數(shù)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以寫成： a×b=b×a ，這就是乘法交換律。再讓學生根據(jù)字母式子舉一些例子，感受規(guī)律的一般性。學生用同樣的方法獲得乘法結(jié)合律：（ a×b ） ；乘法分配律：（ a+b ） ×c=a×c+b×c □

（三）用字母表達數(shù)學性質(zhì)和數(shù)學模型，培養(yǎng)模型意識和應用意識

1.觀察天平并推導出等量的等量相等

觀察得出：正方體的質(zhì)量等于圓柱的質(zhì)量，圓 柱的質(zhì)量等于球的質(zhì)量，所以正方體的質(zhì)量等于球的 質(zhì)量。

思考問題：如果把上面的正方體和球分別放在天平兩端，天平平衡嗎？為什么？如果用 a 、b、 Ψ_c 表示三個物體的質(zhì)量，你能用含有字母的式子表示推理過程嗎？推理過程如下：

因為 a=b ， b=c ，所以 a=c ，即等量的等量相等。

2.觀察天平，推導等式的性質(zhì)

教師提出問題：怎樣在天平兩邊增加砝碼，使天平仍然保持平衡？學生可以進行下面的操作：

左右兩邊原有50克，同時增加10克，得到等式： 50+10=50+10 ；再改為兩邊原有50克，兩邊都加上同樣重的砝碼，得到等式： 50+n=50+n 。觀察平衡的天平，列出等式： 50+n=50+n ；然后兩邊同時去掉 n ，寫出等式： 50+n-n=50+n-n ；歸納出結(jié)論：如果 a=b ，那么 a+c=b+c ；如果 a=b ，那么 a-c=b-c 即等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，結(jié)果仍然相等。這是等式的性質(zhì)一。由此可以推出：如果 a=b ，那么a×c=b×c（c≠0） ；如果 a=b ，那么 a÷c=b÷c（c≠0） 。即等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍然相等。這是等式的性質(zhì)二。

3.用含有字母的式子表示乘法模型

根據(jù)給出的條件，學生依次列出求正方形周長和面積的算式，完成下表。

如果用 Δ_a 表示正方形的邊長，用 c 表示正方形的周長，用 s 表示正方形的面積，可以怎樣表示正方形的周長、面積與邊長的關系？學生概括出公式：c=4×a ， S=a×a 。這兩個乘法算式就是乘法的兩個基本模型。

4.用含有字母的式子表達變量（正比）關系

師：（出示問題一）隨著大家衛(wèi)生意識的逐步增強，消毒酒精的銷量也在不斷地增加。一種消毒酒精的銷售數(shù)量和總價如下表。觀察表中的數(shù)據(jù)，說說你對銷售數(shù)量與總價關系的理解。

生：銷售的數(shù)量越多，總價就越高。銷售數(shù)量是1瓶的幾倍，總價就是16元的幾倍。每瓶的價格都是16元。

師：你能寫出幾組相對應的銷售總價與數(shù)量的比，并求出比值嗎？比較求出的比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生： （元/瓶）； （ ）（元/瓶）； ）（元/瓶）。

師：銷售數(shù)量與總價之間的關系，也可以用式子來表示：總價 ÷ 數(shù)量 Σ=Σ 單價。如果用 a 表示總價， b c =c 。如果要求總價，關系式怎么表示？

生： a=b×c 。

師：總價和數(shù)量是兩種相關聯(lián)的量，數(shù)量變化，總價也隨著變化。當總價與相對應數(shù)量的比的比值保持不變時，我們就說總價與數(shù)量成正比關系，總價和數(shù)量是成正比的量。

教師出示問題二：一輛汽車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表。

師：你能寫出表示路程與時間關系的式子嗎？師：如果用 s 表示路程， t 表示時間， u 表示速度，上面的關系式可以表示為： 。如果要求路程，關系式怎么表示？

生： s=ν×t

師：我們還可以用 t=s÷ν 求時間。

師：這輛汽車行駛的路程與時間成正比嗎？為什么？

師：比較問題一和問題二中兩種相關聯(lián)的量的不同點和相同點，發(fā)現(xiàn)雖然一個是行程問題，一個是購物問題，但它們都有兩種相關聯(lián)的量，且它們相對應的數(shù)的比的比值不變。因此這兩種量都成正比關系。那像這樣的兩種相關聯(lián)的量還有嗎？（有）既然這種情況還特別多，那我們能不能用字母關系式來表示？

師：如果用 x 和 y 表示兩種相關聯(lián)的量。用 k 表示它們不變的比值，正比例關系可以用下面的式子表示： （ k≠0 ）。這個正比表達式也可以轉(zhuǎn)化為y=kx 的形式，這樣表達能夠更好地體現(xiàn)“隨著時間的增多，路程也增多”的變化規(guī)律，這就是初中將要學習的正比例函數(shù)。

（四）用字母進行推理和論證數(shù)學結(jié)論，培養(yǎng)推理意識

1.用字母表示數(shù)進行推理

教師提出問題：任意三個連續(xù)自然數(shù)相加的和一定是3的倍數(shù)嗎？

師：如果用 Δ_a 表示任意一個自然數(shù)，你能用含有字母的式子表示這三個自然數(shù)，并說明上面的結(jié)論成立嗎？

生：三個連續(xù)自然數(shù)可以表示為： a，（a+1），（a+2）

則 a+（a+1）+（a+2）=a+a+1+a+2=3a+3=3（a+1） ，因為3 （a+1） 一定是3的倍數(shù)，所以上面的結(jié)論成立。

師：如果用 Δ_a 表示三個連續(xù)自然數(shù)中間的一個數(shù)，可以怎樣表示另外兩個數(shù)？如果用 a 表示最大的一個數(shù)呢？

學生類比遷移，得出結(jié)論。

2.用字母表示算式進行運算方法的推理和統(tǒng)一

探究分數(shù)除以分數(shù)的方法，并推廣到整數(shù)、小數(shù)除法。

教師出示分數(shù)乘法問題：大瓶果汁是 L，小瓶果汁是大瓶的 ，小瓶果汁是多少升？學生根據(jù)數(shù)量關系式：大瓶果汁量 小瓶果汁量，列式解答： （L） 。

教師再讓學生把上面乘法的實際問題改編成用除法計算的問題：小瓶里有果汁 L，小瓶里的果汁是大瓶的 ，大瓶里的果汁是多少升？根據(jù)數(shù)量關系列式：小瓶果汁量 =大瓶果汁量，列式并計算： （L）。

根據(jù)線段圖想一想：還可以怎樣求大瓶的果汁量？

算式如下： ， 。

教師再讓學生觀察這兩道算式，思考這兩種解題方法有什么聯(lián)系。學生發(fā)現(xiàn)分數(shù)除以分數(shù)等于被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)。

學生繼續(xù)思考：除法與乘法有什么關系？整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)除法的計算方法有什么聯(lián)系？學生認為，除法是乘法的逆運算，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)除法都可以轉(zhuǎn)化成乘法來計算，而且整數(shù)、小數(shù)都可以轉(zhuǎn)化成分數(shù)，其中蘊含的道理可以用含有字母的算式來進行推理論證。

我們用 Δ_a 表示被除數(shù)， b 表示除數(shù) （b≠0） 。推理過程如下：設 a÷b=c（b≠0） ， a=c×b （乘除法的關系）， （等式的基本性質(zhì)）， 因為 a÷b=c ， b=c，所以a÷b=ax 。這里的a和 b 可以表示整數(shù)，也可以表示分數(shù)或小數(shù)。除法是乘法的逆運算，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)除法都可以轉(zhuǎn)化成乘法來計算。

3．用字母表示面積進行推理

如圖，正方形的邊長是 a ，斜線區(qū)域和陰影區(qū)域分別是正方形和平行四邊形的一部分。這兩個部分的面積相等嗎？為什么？

學生的思考過程：斜線區(qū)域的面積 Σ=Σ 正方形的面積-空白三角形部分面積；陰影區(qū)域的面積 Σ=Σ 平行四邊形的面積－空白三角形部分面積。

用字母 M 表示斜線區(qū)域的面積，用字母 N 表示陰影區(qū)域的面積，用字母 P 表示空白三角形的面積。因為正方形的邊長是 a ，正方形的面積是 a² ，所以M=a²-P ，因為平行四邊形的底是 a ，高也是 Ω_a ，平行四邊形的面積是 a² ，所以 N=a²-P. 。可得， M=N

數(shù)字符號的引入在數(shù)學的發(fā)展中起了巨大的作用，用字母表示數(shù)的教學對于數(shù)學教育的意義非凡，教師要從形成和發(fā)展學生符號意識的價值取向去研究和落實用字母表示數(shù)的教學。

【參考文獻】

邵光華.作為教育任務的數(shù)學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009