巧思維視角切入，妙技巧方法應用

三角函數作為高中數學體系中的一大主于知識，有其自身的內涵與實質，又有函數的基本性質與圖象，成為全面交匯三角函數知識與函數知識的一個重要應用場景，也是高考命題中的一大重要考查場所.特別，基于三角函數場景的創設，融入函數的基本性質及其應用，使得問題更加靈活多變，成為全面考查考生基礎知識與基本能力的一個重要層面，也是全面考查學生創新意識與創新應用的一個重要知識點，倍受各方關注.

1 問題呈現

題目 （2025屆湖北省武漢市部分學校高三年級九月調研考試數學試卷·7）已知函數 f（x）= 是 上的奇函數，則

A.2

該題以含有正切的三角函數關系式為場景，利用復雜三角函數在給定對稱區間上的奇偶性來創設，結合含參三角函數關系式的應用，進而確定對應參數的正切值，實現“變量”與“常量”之間的合理呼應與聯系.解決該類問題時，關鍵是基于三角函數的場景，借助三角恒等變換公式，對相應的三角函數關系式加以恒等變形與巧妙轉化，在變形的基礎上，利用函數奇偶性的基本性質來切入，或特征觀察切入，或恒等變換應用，或逆向思維巧思，或特殊值妙用等，都可以實現問題的突破與求解

2 問題破解

解法1 （觀察法1）由于 -tanx=tan（-x）= 所以 f（x） （2 又由于 tanx為奇函數，函數 是 ?2024'2024］上的奇函數，則知函數 必為偶函數.

結合 的結構特征知tanθ=-2 時，函數 必為偶函數.故選 B

解法2 （觀察法2）由于 -tanx=tan（-x）= 所以 f（x） .又由于 y= tanx為奇函數，函數 是 上的奇函數，則知函數 （204號 必為偶函數.結合函數 的結構特征，可知

，解得 tanθ=-2 故選 B_?

評析在解決此類三角函數的恒等變換及其基本性質問題時，關鍵在于通過三角恒等變換加以合理變形與轉化，同時，結合三角函數的基本性質加以巧妙應用，實現問題的突破與求解.特征觀察時，要注意函數中變量與常量之間的關系，以及函數基本性質的表現形式，合理加以構建對應的關系式或方程等，給問題的突破與求解創造條件.

解法3 （變換法1）由于函數 在 上是奇函數，故f（-x）=-f（x）在[-2024'2024]上恒成立.則 -（tanθ+2）tanx+1-2tanθ=（tanθ） +2）tanx+1-2tanθ ，整理得 解得 tanθ=-2. 故選 B

解法4 （變換法2）由于函數 上的奇函數，而 為奇函數，只能時- （tanθ+2）=0 ，解得 tanθ=-2. 故選 B

解法5 （變換法3）由于函數 上是奇函數，則知f（-x）=- f（x）在[-2024，2024]上恒成立.則有cos（?x +θ）-2sin（?x +0）=cos（x+θ）-2sin（x+θ） ，整理可得 2sinθsinx= -4cosθsinx ，解得 tanθ=-2 故選 B

評析 在解決此類三角函數的恒等變換及其基本性質問題時，抓住三角關系式，進行必要的簡化變形或恒等變換，為進一步借助函數的基本性質來解題與應用創設條件.三角恒等變換處理此類問題時，關鍵在于合理借助變換公式進行變量與常量的分離，以方便加以問題的剖析與應用，構建對應的關系式或方程等.

解法6（逆向思維法）當 tanθ=-2 時，函數 tan[θ-（x+θ）]=tan（-x）=- tanx.此時函數f（x）=- tanx是奇函數，滿足條件.故選 B

評析抓住單項選擇題的性質與特征，從結果入手，合理逆向思維.逆向思維法處理此類問題時，只是解題此類問題的一種“巧技妙法”，能夠快速正確對應的答案，但不具有嚴謹性，同時對三角公式、數字特征等具有較高的敏感性，對數學基本能力的要求比較高.

解法7 （特殊值法）取特殊值得 f（θ）= 又 且函數 f（x） 在 上是奇函數，則 f（θ）=-f（-θ） 成立，得tanθ - tan20 ，整理得 2tanθ=（1+ 2tanθ）tan2θ 即有 ，解得 tanθ=-2 或 tanθ= 0（舍去）.故選 B

評析抓住三角關系式的結構特征，以及所求三角關系式，合理構建聯系，通過特殊值的選取，并借助奇函數的性質構建關系式，為問題的進一步分析與求解創造條件.以特殊值思維加以合理切入，減少變量，為問題的進一步分析與求解奠定基礎，是特殊值思維破解此類問題的基本思想方法.

3 變式拓展

變式 已知函數 f（x）=2cos（ωx+φ）+ sin（ωx+φ） 是奇函數，則 ：

A.2 B.-2 D.

解法1（輔助角公式法）函數 f（x）=2cos（ωx ，其中tanθ=2 ，且 θ 為第一象限角.而 f（x）=2cos（ωx+φ）+

sin（ωx+φ） 是奇函數，所以 φ+θ=kπ，k∈Z. 所以φ=kπ-θ，k∈Z ，所以 =-2. 故選 B

解法2（性質法）依題函數 f（x）=2cos（ωx+ φ）+sin（ωx+φ） 是奇函數，則 f（0）=2cosφ+sinφ ε=0 ，解得 tanφ=-2. 故選 B

4 教學啟示

基于三角函數的應用場景下的函數基本性質及其應用，往往可以更多地融合不同數學知識點之間的交匯與綜合，充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的高考基本指導思想.而回歸三角函數的問題背景，從三角函數的本質與內涵入手，結合不同數學思維視角來綜合與應用，實現問題的突破與求解，是全面考查學生“四基”與數學“四能”的一個重要場景.