高中數學函數概念學習中的認知沖突分析及對策

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）06-0015-06引用格式：．高中數學函數概念學習中的認知沖突分析及對策[J].中國數學教育（高中版），2025（6）：15-20.

一、問題提出

史寧中教授強調，中學階段應著力強化函數教學，將其作為數學學習的重要主線．初高中分別以“變量說”和“集合一對應說”定義函數，理解函數需要學生辯證地看待這兩個定義．由于學生在進人高中以前所接觸的概念關系多為形式邏輯，很少涉及辯證關系，容易導致學生對函數概念的認知沖突．“集合一對應說”的提出對學生普遍持有的絕對主義數學觀提出了挑戰．作為高中預備知識后的第一節課，學生在學習函數概念時，可能仍處在以教師引領為主和以自主規劃為主的學習觀沖突之中．目前，許多研究者從認知層次、歷史發展等角度研究了函數概念的教學，但很少有研究者關注到函數概念中的認知沖突，基于概念轉變模型和認知沖突加工模型，筆者以“沖突呈現一理論基礎一沖突分析一解決對策”為邏輯框架，分析學生學習函數概念時可能面臨的函數觀、數學觀、學習觀等認知沖突，并對函數概念的教學提出建議.

二、認知沖突的呈現

1.函數觀的認知沖突

初中函數的定義選自人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊，高中函數的定義選自人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第一冊.

初中函數的定義（變量說）為：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量 x 與 y ，并且對于 x 的每一個確定的值， y 都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說 x 是自變量， y 是 x 的函數.

高中函數的定義（集合一對應說）為：一般地，設A， B 是非空的實數集，如果對于集合 A 中的任意一個數 x ，按照某種確定的對應關系 f ，在集合 B 中都有唯一確定的數 y 和它對應，那么就稱 f ： A?B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數，記作 γ=f（x） ， x∈A ：

函數觀的認知沖突主要集中在以下兩點：初中更多依賴于現實世界的變化關系，以運動變化為基礎來定義函數，而高中則是從集合和對應的角度來定義函數；“變量說”中雖然隱含了“對應”思想，但這里的“對應”僅是自然語言，并沒有抽象對應關系，而“集合一對應說”明確了函數的定義域、對應關系、值域三要素，且對應關系是指兩個實數集之間的元素對應.

2.數學觀的認知沖突

在義務教育階段，學生學習新知識的一般模式是在原有知識基礎上進一步探究，如在整數學習的基礎上學習正整數、正分數、負數、無理數，在三角形學習的基礎上學習等腰三角形、等邊三角形的知識等，且初中階段很少涉及同一概念的不同定義．因此，大部分高一學生都秉承著絕對主義數學觀，即數學知識是絕對正確的、一成不變的，定義是絕對權威的．這種對數學知識的片面認識會阻礙學生批判精神和探索精神的發展，進而影響學生對“集合一對應說”的理解．“變量說”和“集合一對應說”的認知沖突隱含著絕對主義數學觀和可誤主義數學觀的沖突，可誤主義數學觀認為數學知識是發展的、動態的、可以修正的，學生若不能突破原有的絕對主義數學觀，將難以準確理解函數概念.

3.學習觀的認知沖突

《義務教育數學課程標準（2022年版）》的課程目標指出要讓學生養成良好的學習習慣，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的課程目標指出要發展學生的自主學習能力．初中階段，學生心智尚未成熟，為了讓學生養成良好的學習習慣，教師往往采用面面俱到的教學方式，導致學生容易形成以教師引領為主的學習觀．《標準》設置預備知識主題的主要目的是發展學生的自主學習能力．函數概念是學生完成高中預備知識主題學習后的第一節課，但這并不意味著學生已經形成了以自主規劃為主的學習觀．新的學習觀的形成通常需要較長時間，時間長短因人而異，且會受到各種不確定因素的影響．因此，在函數概念教學中，教師仍需要關注以教師引領為主和以自主規劃為主這兩種學習觀之間的沖突.

三、理論基礎

聚焦認知沖突在概念轉變中的作用，文獻[9提出了概念轉變模型．在概念轉變模型下改變原有概念需要滿足四個條件，即原概念的局限性、新概念的可理解性、新概念的合理性和新概念的有效性，為了解釋異常情況發生時的認知沖突，文獻[10關注了個體情緒的重要性，提出了認知沖突加工模型，如圖1所示.他們認為認知沖突過程要發生，必須具備三個條件，即意識到沖突、對要解決的認知沖突產生了興趣或焦慮、積極進行認知再評價.

圖1認知沖突加工模型

概念轉變模型和認知沖突加工模型都圍繞認知相關變化展開，它們本質上都涉及對認知領域動態變化的探討．這兩種模型的共同點為：都基于一定的沖突情境；都重視再認知的過程.這兩種模型的不同點為：概念轉變模型注重新概念的可理解性、合理性及其對有效性的支撐作用，有助于學習者理解新概念，更適用于函數觀的認知沖突；認知沖突加工模型則更強調情緒對于認知再評價的刺激作用，更適用于數學觀、學習觀等非概念性認知沖突，該模型的處理過程如圖2所示.

圖2認知沖突加工模型的處理過程

四、認知沖突分析

1.函數觀的認知沖突分析

根據概念轉變模型，探討“變量說”的局限性和“集合一對應說”的可理解性、合理性和有效性.

（1）“變量說”的局限性.

學生在沒有充分感受到“變量說”的局限性之前，難以對函數概念做出重大改變．因此，在“集合一對應說”提出之前，學生應當積累一定的沖突情境，在學習“集合一對應說”時，“變量說”的局限性主要體現在兩個方面： ① “變量說”缺乏對自變量取值范圍的說明，限制了學生對函數的進一步探索，如學生認為函數 y=4x（xgt;0） 與函數 y=4x（xgt;1） 是同一個函數； ② “變量說”缺乏對對應關系的抽象，限制了函數的表達，不能較好地呈現一些無法用解析式表示變化過程的函數，如心電圖中指標值關于時間的函數.

（2）“集合一對應說”的可理解性.

“集合一對應說”的可理解性體現在學生能在心理層面構建與之相應的內部表征.學生在預備知識主題學習了與集合相關的知識，且在義務教育階段經歷了確定簡單實際問題中函數自變量取值范圍的過程，會求函數值.

筆者曾對九年級的96名學生進行調查，發現有56名學生能夠根據自變量的取值范圍判斷函數 y=4x（xgt;0） 與函數 y=4x（xgt;1） 不是同一個函數，人數占比約為 58.3% 學生在理解概念的過程中應該處理好兩個關鍵問題，第一個是學生在處理與函數相關的符號時存在問題！例如， f（x） 這種記法會讓學生感到困惑，因為 f（x） 既代表函數的名稱，又代表給定輸入值時函數的值，在實踐教學中，筆者發現學生在學習函數概念后，對如y=2x+1，f（x）=2x+1，y=f（x）=2x+1 是同一個函數的不同表達形式感到困惑.第二個是因為“集合一對應說”比較抽象，大多數學生只記住了函數的三要素，當被問及“什么是函數？”時，學生的回答不盡相同．文獻[12調查了116名高三學生對函數概念的認識，發現僅有 17.2% 的學生能用“集合一對應說”描述函數.

（3）“集合一對應說”的合理性.

合理性可以認為是新概念與學生原有概念系統的契合程度．“集合一對應說”的合理性體現為與“變量說”的內在一致性．“變量說”與“集合一對應說”是從不同角度描述函數概念的，函數的本質不變．人教A版《普通高中教科書教師教學用書·數學》必修第一冊也強調了“變量說”與“集合一對應說”的一致性．弗賴登塔爾（H.Freudenthal）指出，函數的兩個本質屬性是任意性和單值對應．其中，任意性包含兩層含義：一層含義是對應關系的任意性，意味著函數不一定呈現出能用任何特定表達式或特定形狀的圖形來描述的某種規律性；另一層含義是定義域和值域的任意性，且涉及的集合不一定是數集，文獻[15]認為對應才是函數的根本屬性，非空數集和唯一性是函數在一定范圍內保持不變的本質屬性，這里的唯一性與弗賴登塔爾提出的單值對應相一致．中學階段，單值對應一直是教師反復強調的函數屬性，函數自變量和因變量的取值范圍也都在實數域內，函數的表示方法有列表法、解析式法和圖象法．結合上述觀點和中學階段的教學內容，筆者認為“集合一對應說”的合理性源于函數的本質屬性，中學階段函數概念的本質屬性應該是單值對應、非空數集和多樣性，這里的多樣性指函數的表示方法多樣，包括列表法、圖象法和解析式法.

（4）“集合一對應說”的有效性.

“集合一對應說”的有效性體現在以下三個方面，首先，在當前學習中，“集合一對應說”提出了函數三要素，為進一步表示、探索函數奠定了基礎．其次，在后續學習中，“集合一對應說”將函數的自變量和因變量限制在實數集中，為進一步探究函數的四則運算、復合函數和反函數提供了可能．“集合一對應說”使對應關系成為可以研究的對象，在函數的運算和組合中具有重要作用.最后，“變量說”采用自然語言進行描述，在定量研究函數性質方面存在局限，“集合一對應說”提供了較為嚴格的數學語言，是定量刻畫函數性質的基礎.

高中階段，學生探究了函數的一般性質，“集合一對應說”用嚴格的形式化語言明確了自變量的取值范圍，準確表示了函數的單調區間，通過“?”符號，實現了從有限到無限的轉化，利用對應關系，定量刻畫了函數的單調性、奇偶性和周期性．在學習導數和導函數的定義、推導導函數的四則運算法則和復合函數的導數時，“集合一對應說”提供了嚴密的形式化語言表述.

2.數學觀、學習觀的認知沖突分析

認知沖突加工模型表明，通過創設能夠激發學生興趣或讓學生產生認知焦慮的問題情境，可以引導學生進行認知再評價，進而轉變學生的數學觀、學習觀．然而，僅關注靜態知識不足以支撐學生數學觀、學習觀的發展．因此，有必要梳理函數概念的發展，探討其在引發沖突情境、激發學生學習興趣、促進認知再評價方面的作用.

（1）函數概念史的梳理，

17世紀以來，科學家們開始關注量與量之間的關系．牛頓（IsaacNewton）、歐拉（LeonhardEuler）等多位數學家提出了至少十多種不同的函數定義．18世紀，在弦振動問題的大討論中，數學家們發現某些函數不能被解析式表示，這與人們的認知產生沖突，于是狄利克雷（Dirichlet）在1837年從對應的角度定義了函數，擺脫了解析式的限制．19世紀70年代，隨著集合論的發展，幾乎所有數學分支都受到了集合論的影響．以唐內里（Tannery）、卡拉西奧多里（ConstantinCaratheodory）、布爾巴基學派為代表的數學家開始在集合論的基礎上定義函數．“集合一對應說”是布爾巴基學派的“關系說”與狄利克雷、柯西、黎曼等人的“對應說”的融合．因此，它也被稱作“對應一關系說”.通過梳理，能夠發現函數概念史在體現沖突情境、激發學生學習興趣、促進認知再評價等方面起著重要作用.

（2）函數概念史的沖突情境.

函數概念史充分體現了數學觀、學習觀的認知沖突．通過對函數概念史的系統梳理，發現絕對主義數學觀與可誤主義數學觀的沖突不僅體現在“變量說”與“集合一對應說”之間，還體現在數學家們提出的其他多個函數定義之間.函數概念的發展演變過程深刻反映了數學知識體系動態生成、螺旋上升的特征，與學生所持有的絕對主義數學觀形成了鮮明對比．進一步觀察牛頓、歐拉等杰出數學家的學術歷程，發現他們具有主動探索的精神，這種精神也與學生在初中階段形成的以教師引領為主的學習觀產生了明顯的沖突.

（3）函數概念史的激趣功能.

函數概念史的激趣功能促進學生積極主動地認知再評價．函數概念的發展進程提供了真實、連貫的情境脈絡，相較于蒼白的口頭說教，這種獨特的情境更容易激發學生濃厚的學習興趣．學生通過了解函數概念史，體會函數發展的曲折歷程，感受數學知識蘊含的生命力，實現與數學家的跨時空交流，從而讓學生積極主動地進行認知與評價，發展學生的數學觀、學習觀.

（4）函數概念史提供了認知再評價的機會.

函數概念史的連續性能為學生提供積極認知再評價的機會，讓學生持續感受可誤主義數學觀和以自主規劃為主的學習觀的有效性，在函數概念的發展過程中產生了多個函數定義，每個函數定義的出現都為學習者提供了一次數學觀再評價的機會．函數概念的發展過程不是一帆風順的，牛頓、萊布尼茨（GottfriedWilhelm Leibniz）、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）等數學家在解決未知問題的過程中，堅持不懈、勇于探索，在推動數學進步乃至人類進步的過程中發揮了關鍵作用.數學家遇到困難時主動探索的故事可以為學生提供替代性經驗，幫助學生持續感知以自主規劃為主的學習觀的有效性．每一位數學家對函數概念的探索過程，都為學習者提供了一次學習觀再評價的機會.

五、教學建議

基于上述分析，對函數概念教學中的函數觀、數學觀和學習觀的認知沖突提出以下建議.

1.設置針對性沖突情境

提供體現“變量說”的局限性、指向“集合一對應說”提出的異常情境.各版本教材對引發認知沖突的異常情境的側重點不同.以人教版教材為例，人教A版教材必修第一冊在“3.1.1函數的概念”中設置了四個情境，問題1和問題2的情境為指向函數定義域提出的沖突情境，問題3和問題4并未設置沖突情境，而是直接提供實例幫助學生感受對應關系的重要性．人教B版教材必修第一冊在“3.1.1函數及其表示方法”的情境與問題中提供了指向對應關系的沖突情境.教師可以結合這兩版教材，利用人教A版教材必修第一冊第60頁問題1的情境判斷“根據對應關系 s=350t ，這趟列車加速到 350km/h 后，運行1h就前進了 350km^′ 新是否正確，創設指向定義域的沖突情境，利用人教B版教材第89頁情境與問題中第（1）小題的情境給出的“年度”與“中國創新指數”的關系，創設指向對應關系的沖突情境，最終引導學生抽象“集合一對應說”.

提供體現絕對主義數學觀、以教師引領為主的學習觀的局限性，指向可誤主義數學觀、以自主規劃為主的學習觀的沖突情境．人教A版教材、人教B版教材、北師大版教材、蘇教版教材、湘教版教材、鄂教版教材都先展示了初中“變量說”的局限，再進一步探索了“集合一對應說”.教師在呈現“變量說”之前，可以展示早于“變量說”的函數定義及其對應的數學家，強調“變量說”不是憑空出現的，而是由其他函數定義發展得到的，不是絕對正確的定義，從而引發學生數學觀的認知沖突．在“解凍”學生心中的絕對主義數學觀的同時，讓學生體會數學家的探索精神，從而引發學生以教師引領為主和以自主規劃為主的數學觀的認知沖突.

2.注重可理解性課堂講授

設置多種表示形式，增強“集合一對應說”的可理解性．“集合一對應說”的可理解性的關鍵在于對符號 f（x） 的理解和對函數概念的整體表征．通過文字語言與圖形語言相結合的方式，增強“集合一對應說”的可理解性，相比于人教A版教材，人教B版教材明確指出 y=2x+1 和 f（x）=2x+1 都可以表示函數.

在此基礎上，教師可以結合 的符號表達，幫助學生更好地理解 f（x） 的含義．在函數概念教學中，教師可以結合圖3，利用文字語言和圖形語言，突出函數與集合之間的對應關系，為學生形成“集合一對應說”的心理內部表征提供支架，幫助學生理解函數概念.

f集合A 集合B單值對應

3.突出合理性總結提煉

歸納函數本質屬性，突出“集合一對應說”的合理性．從“變量說”到“集合一對應說”的轉變并非簡單的替代關系，而是教學認知的深化過程．通過分析發現，上述兩種定義模式本質上具有一致性，這種一致性深刻反映了數學概念發展的內在邏輯．抽象出“集合一對應說”后，學生體會到了新定義對解決當前問題的有效性．此時，教師進一步總結函數的多樣性、單值對應和非空數集三個本質屬性，體現“變量說”與“集合一對應說”的契合程度，有利于學生體會“集合一對應說”的合理性，從而進一步理解函數概念，解決函數觀的認知沖突.

4.凸顯激趣性史韻滲透

采用創新性展示形式，充分發揮數學史的激趣功能．根據認知沖突加工模型，學生積極地認知再評價是解決學生數學觀、學習觀等沖突的關鍵環節．具體而言，教師可以充分利用多媒體技術和人工智能技術，創設生動的數學歷史沉浸式情境，讓學生在趣味中感受數學文明的演進．多樣化展示形式的有機整合可以引導學生關注絕對主義數學觀與可誤主義數學觀之間的矛盾．更重要的是，它還能夠進一步激發學生的學習興趣，引發學生積極地認知再評價，促進學生數學觀、學習觀的發展.

5.體現有效性主線意識

函數概念的教學需要貫穿三條主線：第一條是以“集合一對應說”為主線，幫助學生理解函數本質；第二條是以數學史為主線，推動學生數學觀的發展；第三條是以數學家的探索歷程為主線，助力學生學習觀的發展．這三條主線要能夠有機銜接、相互促進．“集合一對應說”是后續學習函數內容的基礎，在函數的四則運算、反函數、復合函數、數列、導數等內容的學習中，教師可以引導學生多次感受“集合一對應說”的有效性，促進學生對函數概念的理解．對于學生的數學觀與學習觀的發展，不能期待畢其功于一役，教師要做到課內外結合，在課堂上適當滲透，在課后以數學家解決問題的故事串聯函數概念的發展，形成閱讀材料，用數學史的發展過程引領學生數學觀的發展，用數學家的探索精神引領學生學習觀的發展，從而持續促進學生的發展.

參考文獻：

[1］史寧中，濮安山．中學數學課程與教學中的函數及其思想：數學教育熱點問題系列訪談錄之三[J].課程·教材·教法，2007，27（4）：36-40.

[2]鐘志華，黃桂君．從聯系觀點看高中函數概念教學難點及成因[J].數學通報，2022，61（6）：25-29，48.

[3]賈隨軍．函數概念的演變及其對高中函數教學的啟示[J].課程·教材·教法，2008，28（7）：49-52，72.

[4]賈丕珠．函數學習中的六個認知層次[J].數學教育學報，2004，13（3）：79-81.

[5]朱文芳．函數概念學習的心理分析[J].數學教育學報，1999，8（4）：23-25，44.

[6]中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[7］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020.

[8］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[9]POSNER G J， STRIKE K A，HEWSON P W，et al. Accommodation of a scientific conception：Toward a theory of conceptual change [J].Science Education，1982，66（2）：211-227.

[10]LEEG，KWON J，PARK S S，et al.De-velopment of an instrument for measuringcognitive conflict in secondary-level scienceclasses[J]. Journal of Research in ScienceTeaching，2003，40（6）：585-603.

[11]EISENBERG T.Functions and associated learn-ingdifficulties [M]//Advanced mathematicalthinking.Dordrecht： Springer Netherlands，1991.

[12］任明俊，汪曉勤．中學生對函數概念的理解：歷史相似性初探[J]．數學教育學報，2007，16（4）： 84-87.

[13］FREUDENTHAL H. Didactical phenomenologyofmathematical structures [M]. Dordrecht：D.Reidel Publishing Company，1983.

[14］李祎，曹益華．函數概念的本質與定義方式探究[J].數學教育學報，2013，22（6）：5-8.

[15]CHA I S. Mathematical and pedagogical dis-cussions of the function concept[J].Researchin Mathematical Education，1999，3（1）：35-56.

[16]RUTHING D. Some definitions of the conceptoffunction from Joh. Bernoulli to N. Bour-baki[J]．Mathematical Intelligencer，1984，6（4）： 72-77.