依據(jù)“最大張角”構(gòu)造輔助圓的策略詳解

例1如圖1所示，在一道墻 AD 邊上有一塊長(zhǎng)方形廣告牌，其中 _AB 的長(zhǎng)度為6米， BD 的長(zhǎng)度為11.6米，這時(shí)小明的眼晴距離地面的高度 EF 為1.6米，當(dāng)他站在如圖1的位置時(shí)，還需要繼續(xù)往前走，直到站在點(diǎn) P 的位置看墻面上的廣告時(shí)效果最好，即視角最大，請(qǐng)?jiān)趫D中找到點(diǎn) P 的位置，并計(jì)算此時(shí)小明與 AD 這道墻相隔的距離.

解析結(jié)合題意，需要在本題中找到固定的線段，即 AB，BD 及 EF 等，接著根據(jù)題意可知小明是在線段 DF 上運(yùn)動(dòng)的，所以動(dòng)點(diǎn) P 也在該線段上運(yùn)動(dòng)，可根據(jù)米勒定理，構(gòu)造輔助圓與動(dòng)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡相切，則此時(shí)小明在所在的位置觀看廣告牌的效果最佳.

如圖2所示，過(guò)點(diǎn) E 作 CE//DF 且交邊 AD 于點(diǎn) C ，再選取邊 AB 的中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn) Q ，再過(guò)點(diǎn) Q 作一條垂直平分線，在這條垂直平分線上再取一點(diǎn) O ，使得 OA=CQ .最后，以點(diǎn) O 為圓心， OA 為半徑畫(huà)圓，其中圓 O 與 CE 相切于點(diǎn) G ，連接 OG ，延長(zhǎng) OG 交 DF 于點(diǎn) P ，則點(diǎn) P 就是小明看廣告牌的最佳位置.

依據(jù)圖2可得圓 O 的半徑長(zhǎng)度

由題意可知 DP=OQ ，

因?yàn)?OA=CQ=BD-CD+BQ=11.6-1.6

其中

則 OA=13 ，

其中圓 O 的半徑是13米，所以

則小明此時(shí)看廣告牌的最佳位置距離 AD 這道墻為 米.

例2如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，二次函數(shù) y=a（x-1）（x-5）（agt;0） 的圖象與 x 軸交于 ^A，B 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) P ，過(guò)頂點(diǎn) C 作 CH⊥x 軸于點(diǎn) H ，當(dāng) ∠APB 最大時(shí)，請(qǐng)求出 a 的值.

解析本題在確定兩個(gè)固定的點(diǎn) ^A，B 之后，將這條線段作為輔助圓的弦，明確點(diǎn) P 是在 軸上運(yùn)動(dòng)的，根據(jù)米勒定理，構(gòu)造外接圓為輔助圓后，使得該圓與 軸相切，即可求出 EH 最大時(shí) ∠APB 的值.

如圖4所示，作 ΔPAB 的外接圓，即圓 E ，將圓心 E 與點(diǎn) P，A，B 相連接，得到 EP，EA，EB ，

所以 ∠EAB=2∠APB

要想求得 ∠APB 最大時(shí) α_a 的值，只需要求出∠AEB 最大即可，

已知二次函數(shù) y=a（x-1）（x-5）（agt;0） ，與x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)，

令 y=0 ，可得 x₁=1，x₂=5 ，則 AB=4 ，

已知 _AB 的長(zhǎng)度是固定值，所以當(dāng) EH 的值最小時(shí)， ∠AEB 的角度最大.

根據(jù)米勒定理可得， ∠AEB 最大時(shí)，圓 E 與 軸相切于點(diǎn) P ，

則可得 EP⊥y 軸，所以四邊形 POHE 是一個(gè)矩形.

因?yàn)轫旤c(diǎn) c 和點(diǎn) H 在二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸上，由 y=a（x²-6x+5）=a（x-3）²-4 0可得 OH=3 ，則 PE=OH=3 在 RtΔAEH 中，由勾股定理得

所以點(diǎn) P 坐標(biāo)為 ，代入二次函數(shù)解析式中可得 ，

則 5

例3如圖5所示，噴泉 MN 處于公園 OA 的位置上，游客 P 在路徑上由點(diǎn) P 出發(fā)沿著 OB 方向行走，已知 ∠AOB=30^° A MN=2MO=40 米，當(dāng)觀景視角 ∠MPN 最大時(shí)，請(qǐng)?jiān)囍蟪鲇慰?P 行走的距

離OP是多少米.

解析本題在確定 MN 為固定線段后，可作一個(gè)輔助圓，使該圓與直線OB達(dá)到相切狀態(tài)，再借助米勒定理求得觀景的最佳視角下 OP 的長(zhǎng)度.

如圖6所示，取MN的中點(diǎn)為點(diǎn) c ，過(guò)點(diǎn) c 作CE⊥OB 于點(diǎn) E ，最終以點(diǎn) c 為圓心畫(huà)一個(gè)輔助圓，此時(shí)輔助圓與直線 OB 是相切狀態(tài)，切點(diǎn)為 E

由題意可得 MN=2MO=40m ，點(diǎn) C 是 MN 的中點(diǎn)，所以 MC=CN=20m ，而 OC=40m ，

因?yàn)?∠AOB=30^° ，其中 CE⊥OB ，所以

可得

所以，當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) E 的位置時(shí)，觀景視角∠MPN 最大，此時(shí) 業(yè)

結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)使用“最大張角”構(gòu)造輔助圓的過(guò)程中，根據(jù)上述題目，將思路總結(jié)如下：（1）確定固定線段.首先在幾何圖形中結(jié)合題意確定固定線段，如AB，將這條線段作為輔助圓的弦使用.（2）分析動(dòng)點(diǎn)位置.確定點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)軌跡是在直線上還是曲線上運(yùn)動(dòng).（3）構(gòu)造輔助圓.根據(jù)米勒定理，構(gòu)造的輔助圓需要與固定線段形成相切狀態(tài)，此時(shí)，切點(diǎn)的位置即為動(dòng)點(diǎn) P 的位置.善用米勒定理，成功快速找到正確的解題思路，并解決“最大張角”的問(wèn)題.