RV減速器角度誤差調整及公差分配方法

中圖分類號：TH161 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.011

0 引言

旋轉矢量（RotaryVector，RV）減速器是一種精密傳動裝置，是工業機器人的核心零件，其傳動精度和平穩性直接影響整個系統的性能。在RV減速器的生產和裝配階段，不可避免地會出現制造和裝配上的誤差。這些誤差會影響其傳動精度和運行穩定性，同時也會影響減速器的使用壽命，而僅提高加工質量又會使成本劇增。因此，研究RV減速器裝配過程中的角度誤差調整方法和公差分配方法，對精密減速器的制造裝配與降低成本有著重要的參考意義。

眾多學者對公差分配和RV減速器傳動精度進行了廣泛研究。在公差分配方面，謝雄偉等-2提出了基于3DCSVariationAnalyst軟件的RV減速器三維公差分析模型；吳翰林等采用基于三角模糊數的層次分析法來計算各個誤差因子的權重，初步為行星滾柱絲杠（PlanetaryRollerScrewMechanism，PRSM）行程精度的誤差項進行公差分配，并利用序列二次規劃算法優化了軸向間隙的誤差項公差；郭俊康等[4172-180通過狀態空間模型，提出了基于誤差狀態最優估計的精密機床裝配調整工藝決策方法；劉奕穎等5-采用種群多樣性參數，為機床公差分配構建了一種自適應性遺傳算法；馬寧等通過幾何公差自上向下分配的定性分析與定量計算，提出了一種基于配合約束的幾何公差分配方法。在RV減速器傳動精度方面，竹振旭等創新性地提出了一項涵蓋所有部件制造裝配誤差、齒輪強度及軸承強度等相關因素的非線性力學公式，全方位地進行了系統的不確定性及非線性特性的靈敏度分析，得出了影響傳動精度的關鍵因素；劉江等構建了傳動精度動態可靠性優化模型，并使用多目標遺傳算法來求最優解；魏征等[提出了基于Newmark- β 法的RV減速器動態傳動誤差分析方法；周建星等根據Archard公式，揭示了RV減速器的齒廓磨損特性；喬雪濤等[12]研究了兩級修形對機器人精密減速器傳動精度的影響；麻東升等[3采用剛柔耦合模型設計了多組不同誤差的仿真樣機，并通過仿真分析了不同誤差因素對整機傳動精度的影響。這些研究介紹了各種公差分配方法和RV減速器動態傳動誤差的成因，擴展了對其影響因素的認知。然而，如何在裝配過程中對RV減速器各關鍵零件的角度誤差進行調整以及公差分配未見展開分析。因此，本文利用狀態空間模型[14對RV減速器實際裝配過程進行描述，根據最優控制方法獲取RV減速器裝配過程中的最優調整量，進而獲得RV減速器精度指標與組成零件誤差之間的函數關系，實現對RV減速器角度公差的最優分配；最后，使用該技術方案，對BX40E型精密RV減速器進行關鍵零件角度公差的分配。

1RV減速器角度誤差狀態空間模型

1.1RV減速器系統模型

對于RV減速器，動態傳動誤差是衡量傳動精度的指標，也是評價角度誤差調整方法和公差分配方法是否有效的指標。動態傳動誤差越小，傳動精度越高，減速器運動越平穩。動態傳動誤差表達式為

式中， θ_e（t） 為動態傳動誤差； θ_i（t） 為理論輸入轉角；i_z 為總傳動比； θ_o（t） 為輸出軸實際輸出轉角。

以BX40E型RV減速器為研究對象，詳細參數如表1所示。基于表1參數構建的RV減速器的系統模型如圖1所示。該模型包括3部分：漸開線行星齒輪的高速級減速機構I、擺線針輪的低速級減速機構Ⅱ以及輸出部件Ⅲ。

1.2基于關鍵幾何特征的RV減速器誤差傳遞鏈

RV減速器結構中，低速級傳動部分與高速級傳動部分都是以針齒殼中心軸線為基準進行安裝的。RV減速器角度公差分配通常是針對各零件中心軸線進行的。所以，定義各零件中心軸線為RV減速器誤差傳遞過程中的關鍵幾何特征（KeyCharacters，KC）。

根據工程制造經驗，曲柄軸、擺線輪和針齒殼的裝配精度是影響RV減速器傳動精度性能的關鍵。因此，本文考慮上述關鍵零件中心軸線在空間中的相對角度關系。在該RV減速器結構中，將考慮曲柄軸偏心圓圓心所在軸線（ KC₁ ， KC₃ 、擺線輪轉臂軸承孔所在軸線（ KC₂ ， KC₄ 以及針齒殼圓心所在軸線（ ?KC₀） 作為關鍵幾何特征。

在描述RV減速器組裝及誤差調整過程中的角度誤差時，采用基于關鍵幾何特征的基準傳遞鏈（DatumFlowChain，DFC）方法。在RV減速器的裝配步驟中，針齒殼的安裝往往是最先進行的。因此，針齒殼軸線被視為RV減速器的基準特征。基于這一基準特征，形成了包括DFC，和DFC在內的兩個傳遞鏈，如圖2所示。

1.3RV減速器裝配過程誤差傳遞狀態空間模型

在基準傳遞鏈中，通過微分運動向量來描述第 n 個零件在其變化坐標系中相對于鏈條首個零件參考坐標系的總體方向偏差。這一過程可通過微分旋轉矢量來進行描述，即

dθ_n=δ_n=[δ_n^xδ_n^yδ_n^z]^T

式中， δ_n 表示第 n 個零件相對于基準傳遞鏈的總體方向偏差； 表示第 n 個零件相對于基準傳遞鏈中坐標軸的方向偏差。

角度誤差是由第 n 個零件的加工和裝配誤差引入的，可被表示為

Δθ_n=[Δθ_xnΔθ_ynΔθ_zn]^T

式中， Δθ_n 表示第 n 個零件相對于基準坐標系中坐標軸的總體角度誤差； Δθ_?mn（m=x） ， 表示第 n 個零件相對于基準坐標系中坐標軸的角度誤差。

δ_n 與 Δθ_n 有如下關系：

在裝配過程中，第 k 步是用狀態變量 x（k） 來表示在所有基準傳遞鏈中關鍵幾何屬性的微分旋轉向量，有

式中， A（k） 為單位矩陣（在不同結構時可能不是單位矩陣）； B（k） 為轉換矩陣，當 u（k） 與 w（k） 在零件坐標系中定義一致時， B（k） 與 F（k） 相同； u（k） 為調整矢量，用于表示在RV減速器裝配過程中，對裝配體的關鍵幾何特征進行角度調整，該概念與角度的變化 w（k） 類似，表示在零件坐標系下，關鍵幾何特征相對于參考幾何特征的角度變化； F（k） 為轉換矩陣，其功能是將在裝配階段 k 中新增的零件誤差，從零件自身坐標系轉換到基準傳遞鏈的參考坐標系中。

其中， w，o 均為一種子矩陣表示方法，可參考文獻[4]172-180

w（k） 為在裝配過程的第 k 步中，新裝配的零件帶來的幾何誤差，該誤差是依據零件本身坐標系來計算的。針對本文中RV減速器裝配，有w（k）=Δθ_k ； C（k） 為由元素1、-1或0組成的觀測矩陣，其列數等同于狀態變量（即關鍵幾何特征的數量），用于定義在組裝的第 k 步中測量的關鍵幾何特征的相對位置； u（k） 為測量噪聲矩陣。在RV減速器的組裝過程中，通常需要關注兩個主要的幾何特性：零件中心軸線的平行度和垂直度。

2RV減速器關鍵零件公差分配方法

2.1RV減速器裝配精度成本函數

RV減速器裝配的目的之一是要在滿足最終傳動精度要求條件下，付出盡可能少的經濟代價。結合裝配過程中的測量、調整等，可以采用裝配精度成本函數來表達[15]，即

（5）

式中， 為在完成最終裝配步驟 N 之后測量的減速器的幾何誤差； Q（N） 為權重系數矩陣，可衡量裝配完成后各項測量結果誤差對整機精度“質量損失”的影響程度，測量結果對應的 Q（N） 矩陣中系數越大，說明該測量結果幾何精度對整機精度影響越大，設計中對該項幾何精度指標的關注程度應越大； 為第 k 步調整量； R（k） 為權重系數，體現了在裝配過程中每一步調整關鍵幾何特性所需的工時成本。 R（k） 的元素系數較高，意味著在第 k 步裝配過程中調整該關鍵幾何特性較為困難，因此，需要更多的工時成本。二次型性能指標 J 將兩個因素綜合考量，利用權重系數 Q（N） 和 R（k） 設定了一個全面的優化目標。

2.2RV減速器裝配最優調整序列

由式（5）可知，可以將裝配過程中求最優調整序列問題轉化為離散隨機線性系統最優輸出問題。可以通過以下方法得到裝配過程中第 k 步最佳調整量，即最優的裝配調整序列為

u^*（k）=-K（k）x（k）

B^T（k）P（k+1）A（k）

P（k）=Q（k）+A^T（k）P（k+1）?

[I+B（k）R^-1（k）B^T（k）P（k+1）]^-1A（k）

式中， K（k） 為卡爾曼增益，這是在當前的裝配步驟中對誤差狀態進行最優調整的系數，它確保了 P（N） 與 Q（N） 的等價性； I 為單位矩陣（不隨結構改變而改變）。因此，在已知裝配序列、完成裝配所導致的質量損失以及調節工藝工時成本的權重系數 Q（k） 和R（k） 的情況下，可以計算出最小化離散二次型性能指標 J 的最優控制序列 u^*（k） ，從而優化裝配過程的調整工藝。

最后，梳理基于RV減速器零件幾何誤差測量結果的調整工藝決策的整個過程。先確定影響傳動精度的各關鍵零件的關鍵幾何特征。根據RV減速器實際裝配過程，構建裝配過程誤差傳遞鏈，利用微分運動矢量表示各幾何特征的實際空間位姿，通過狀態空間模型對RV減速器實際裝配和調整過程進行表述，使用最優控制方法考慮傳動精度、測量不確定度、調整工時成本等因素，計算出RV減速器裝配過程中最優調整量。這時，只需通過遞推預測來判斷最終的誤差狀態是否符合RV減速器的傳動精度標準，最優調整量（即最優調整序列）依賴于權重系數Q（N） 和 R（k） 。因此，當所需的精度超過現有水平時，可以通過增加 Q（N） 的權重實現調整，直到在第k 步中達到滿足傳動精度要求的最優調整量 u^*（k） 。圖3所示為RV減速器公差分配技術路線。

3 實例分析

本節以BX40E型減速器為例，說明利用狀態空間模型對RV減速器進行誤差傳遞建模和公差分配的方法。將 KC₁ 、 KC₂ 、 KC₃ 、 KC₄ 選擇為關鍵特征，KC₀ 作為基本特征。該計算模型有4個關鍵特征，每個關鍵特征有3個角度誤差，可能會導致建模和公式推導的混淆。為了簡化，只研究圖4所示的二維平面上的角度誤差。

在建模階段使用 KC₀ 作為坐標系統的基本參考平面，在裝配結束時，可以用式（9）來表示其他4個關鍵幾何特性的空間角度誤差，即

狀態空間方程為

RV減速器的裝配順序根據結構不同而不同。本文中的BX40E型減速器裝配順序定義如下：

1）安裝 KC₁ ；2）安裝 KC₂ ；3）安裝 KC₃ ；4） 安裝 KC₄ ○

在裝配過程中，需要計算出最優調整序列。該序列由裝配結束時的觀測矩陣、各調整步驟的矩陣及其各自的權重共同確定。在此過程中，調整矩陣T（k） 顯示了在當前組裝階段可以調整的關鍵幾何屬性。 R（k） 是裝配過程中的調整權重矩陣。在此矩陣里，目前階段的每個元素反映了調節關鍵幾何屬性的單位角度所需的工作時間成本。如果零件還沒有被組裝好，可以把權重系數調整至較高的值（如1000），表示該特性暫時無法調整。表2所示為各步驟的測量特征以及相應的 T（k） 和 R（k） 。

公差分配中，重點關注的是最終精度要求。因此，將裝配過程中的觀測矩陣賦為 24×24 的零矩陣。在本文中，幾何要求是 KC₁ 人 KC₂ 、 KC₃ 、 KC₄ 相對于KC₀ 的平行度。各零件裝配后的觀測矩陣為

將權重系數 的矩陣設置為對角矩陣，其各個對角線上的元素代表了不同誤差項的權重。為了簡化，設定這些對角線元素都是相同的，并且值為Q ，取 Q=10（Q 值越大，對精度要求越高），有

卡爾曼增益可由式（7）計算，有

隨機生成的一組零件初始角度誤差如表3所示。每個裝配步的調整值即可由 x（k） 、 T（k） 、 K（k） 確定。裝配過程中的角度誤差變化如圖5所示。

（a）不同精度權值下的 KC₁ ， KC₂ 角度誤差狀態

經誤差調整后，RV減速器傳動誤差、動態嚙合力隨時間的變化如圖6所示（ 代表無誤差狀態）。將調整后的傳動誤差、動態嚙合力與未經調整狀態進行對比，由圖6可知，經過調整后的傳動誤差與無輸入誤差狀態更加接近。同時，隨著精度權值Q 的增加，傳動誤差和動態嚙合力進一步接近，但接近速度逐漸減緩。圖7所示為傳動誤差波動幅值、最大總嚙合力及相對誤差。由圖7可知，隨著精度權值的增加，傳動誤差波動幅值和最大總嚙合力逐漸減小，提高了運動平穩性。

為了探究角度誤差對傳動誤差的影響成因，以DFC2為例進行誤差調整，得到最終狀態下 KC₄ 與 KC₀ 之間的角度誤差。設計了不同精度權值下不同角度誤差的光彈性試驗，試驗設備主要包括光彈性檢測設備、固定裝置、由聚碳酸酯制成的擺線針輪零件以及用于加載的砝碼、加載擺臂，目的是研究擺線針輪的接觸狀態。為了便于測量安裝，將 KC₄ 與 KC₀ 之間的角度誤差增加到原來的10倍，并在施加10N?m 的負載轉矩情況下，通過試驗與仿真分析擺線輪和針齒間的應力分布情況（圖8），同時也觀察參與嚙合的針齒在嚙合線方向上的最大變形（圖9）。各精度權值下的角度誤差如表4所示。

由圖8、圖9可知，隨著精度權值增加，試驗和仿真的最大接觸應力減小，且與最大總嚙合力變化趨勢一致，針齒變形量同時減小，精度權值從0＼～5的提升度明顯高于從5＼～10的提升度。因此，在實際生產中，應根據需求選擇合適的精度權值。

綜上所述，不同精度權值對系統傳動精度的影響是通過增加精度權值來減小針齒與擺線輪角度誤差的，增加針齒與齒根的嚙合面積，減小參與嚙合齒對數承載，從而減小齒面變形量，進而減小傳動誤差，提高傳動平穩性。

在此基礎上，假設床身的角度誤差為 ν₁ ；立柱的角度誤差為 ν₂ ；滑鞍的角度誤差為 ν_?3 ；主軸箱的角度誤差為 川漢以左月 u₄ 。則

將這些數據引入到式（8）進行迭代。其中，式（8）中矩陣 A 為單位矩陣；矩陣 B 與矩陣 F 相同，均為式（9）中的系數矩陣。忽略高階項，得到該RV減速器相對于基準的角度誤差與零件公差之間的函數映射關系為

成本與KC公差之間的關系可以用倒數或指數函數來表示。通過優化算法（如模擬退火或遺傳算法）可以解決成本目標問題。通過使用倒數函數和遺傳算法，建立了零件加工的總成本函數，其中， m=3 /n=4 ，表示BX40E型減速器的4個基本組件，每個組件包含3個角度公差，如表5所示。

4結論

以滿足RV減速器傳動精度，降低裝配難度及成本為目標，基于遺傳算法進行優化設計，給出了RV減速器角度誤差調整方法及公差分配方法，得出如下結論：

1）給出了一種針對RV減速器角度公差分配的新方法。該方法充分考慮了傳動精度的需求、調節工序的時間成本和測量不確定性等多個因素。通過BX40E型減速器裝配實例分析，驗證了所提方法的可行性和有效性。

2）精度權值越大，傳動誤差及傳動平穩性與無誤差狀態越接近，但接近速度越來越緩慢。因此，需根據實際情況選擇合適的精度權值。

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Adjustment of angle error and tolerance allocation methods for RV reducers

ZHANG Bowen ZHOU Jianxing CUIQuanwei LIN Kaihong ZHOU Yadong XU Wenqiang （School ofMechanical Engineering，Xinjiang University， Urumqi 83oo47，China）

Abstract： [Objective] Aiming at the problems that angular errors in key load-bearing components such as crankshafts， cycloidalgears，and pingearshellsduring processingand manufacturing leadtothereductionoftransmissionaccuracyand stabilityofrotaryvector（RV）reducers，anangularerroradjustment methodandatolerance alocation method forRVreducers basedonstate space models were proposed.[Methods]Firstly，taking theBX40Ereduceras theresearch object，theeror transmissionchainofthereducerwasconstructedtoilustratetheerrortransmissonpathoftheRVreducer.Secondlyatate space modelof theerrortransmission process was established.Combining withtheoptimal controltheoryandcomprehensively considering factorssuch as transmisionaccuracyadjustment man-hourcost，and measurement uncertainty，theoptimal adjustmentamountforeachassmblystepandthefinalerorstate weregiven.Finaly，withthe minimumtotalprocesingcost as the objective function，the angular tolerance alocation of keycomponents was completed byusing the genetic algorithm. [Results]Theresearchresultsprove the efectiveness ofthis method inimprovingthe transmissionaccuracyand stabilityofRV reducers，but diferentaccuracyweight valuesshouldbeselectedaccrding toactualaccuracyrequirements to minimizecosts.

Keywords：RV reducer; Tolerance allocation; State space model; Transmission accuracy