基于WeibuIl分布的電磁繼電器可靠性評估與分析

0 引言

繼電器作為一種基本的電氣控制器件，承擔著電路調節、電路保護、電路轉換等重要功能，其運行可靠性直接影響系統的安全可靠運行[1]。受溫度、有機污染物、濕度等因素影響，電磁繼電器屬于易老化失效的電氣元件之一[2]。其中，高溫會加速線圈老化，并使觸點材料發生氧化，對電磁繼電器的老化失效影響較為顯著[3]。因此，科學評估電磁繼電器在給定溫度下的可靠性，尤其是高溫極端環境下的壽命分布，可以合理制定電磁繼電器的更換周期以進行預見性維修，保障系統的安全穩定運行。

在可靠性理論中，通過對大量故障數據的統計分析發現，故障率隨時間的變化曲線類似于“浴盆”形狀，具有三個明顯的周期，按照時間順序分別為早期故障期、偶然故障期與耗損故障期。可靠性評估即利用數理統計的方法將故障率與設備運行時間建立合適有效的統計分布模型。常用的概率統計分布模型主要有指數分布、Weibull分布、正態分布、對數正態分布、伽瑪分布等[46]。其中，指數分布只能用來描述偶然故障期的故障分布，無法描述早期故障期與耗損故障期；正態分布只能用來描述耗損故障期的故障分布，無法描述早期故障期與偶然故障期；對數正態分布只能用來描述早期故障期與耗損故障期的故障分布，并且其故障率分布曲線不是單調的，使用對數正態分布時還需進一步限定其定義域。因此，能對完整壽命周期故障分布進行建模的概率統計分布模型只有Weibull分布模型與伽瑪分布模型。然而，由于伽瑪分布模型對應的累積分布函數沒有形成簡單的封閉表達式，無法得到解析解，所以Weibull分布模型被廣泛應用于可靠性評估與分析中[7]。

針對電磁繼電器在高溫極端環境下的可靠性評估，通過加速壽命試驗獲取電磁繼電器在極端環境溫度 120° 下的故障樣本數據，應用Weibull分布模型對其進行可靠性建模，并分別使用WPP法、最小二乘法與極大似然估計法估計Weibull分布模型參數，進而得出最優Weibull分布模型評估電磁繼電器的可靠性。研究結果可以為電磁繼電器在復雜運行環境下的可靠性分析與壽命預測提供理論依據。

1Weibull分布模型及其參數估計

1.1 Weibull分布模型

兩參數型Weibull分布模型具有形狀參數β與尺度參數 η ，分別決定了Weibull分布的形狀與離散程度，根據可靠性理論，其對應的4項可靠性指標函數分別如下[8-10]：

故障概率密度函數：

累積故障概率函數：

F^（t）=1-e^{-（t/η）β}

可靠性函數：

R（t）=e^{-（t/η）β}

故障率函數：

故障率隨時間的變化曲線稱為“經典浴盆曲線”，如圖1所示，設備的使用壽命將分別歷經三個階段：早期故障期、偶然故障期與耗損故障期。

在Weibull分布模型中， β 為形狀參數，決定了故障率分布曲線的形狀。當 βlt;1 時，可用于描述浴盆曲線中的早期故障期，該時期明顯的特點是初始故障率較高，隨著設備投入運行，故障率呈指數型迅速下降，并趨于穩定。當 |β=1 時，可用于描述浴盆曲線中的偶然故障期，該時期的明顯特點是故障率幾乎不發生變化，穩定在一個常數值附近。當 βgt;1 時，可用于描述浴盆曲線中的耗損故障期，該時期的明顯特點是故障率迅速升高，并呈指數型增長模式。因此，通過形狀參數的取值變化，兩參數型Weibull分布模型可以用來描述浴盆曲線的任意一個故障周期，被廣泛應用于可靠性評估與分析。

1.2 Weibull分布模型的參數估計方法

Weibull分布模型的參數估計方法主要可分為兩類，分別為圖形法與解析法。其中，圖形法又稱為WPP（WeibullProbabilityPaper）法，即利用Weibull概率紙圖進行參數的近似估計；常用的解析法主要包括最小二乘法與極大似然估計法。

1.2.1 WPP法

假設 t={t₁，t₂，t₃，…，t_n} 為一個完整壽命試驗故障樣本，則累積故障概率 F（t） 可通過中位秩模型進行近似估計：

式中： t_i 為故障退出時間；i表示故障退出的次序； n 表示參與壽命試驗的樣本量。

根據式（3）可得到如下關系：

然后，對式（6兩邊同時取兩次對數，可得：

并對式（7進行如下變換：

則式（7）將進一步簡化為：

上述變換過程稱為\"Weibull變換”。代入故障樣本數據序列 |t={t₁，t₂，t₃，…，t_n} ，可獲取一組 （x_i，y_i） 數據序列：

最后，在 （x，y） 坐標系下分別繪制 （x_i，y_i） 散點圖，將得到一條斜率為β且截距為ln η 的直線 L ，進而可通過散點圖的圖形估計Weibull分布模型的形狀參數 _?β 與尺度參數 η 。經Weibull變換后的 （x_i，y_i） 散點圖，又稱為Weibull概率紙圖，這種參數估計方法簡稱為WPP法。

1.2.2 最小二乘法

故障樣本 t={t₁，t₂，t₃，…，t_n} 經Weibull變換后可得線性方程，然后進一步定義線性方程的殘差平方和：

最小二乘法的實施原理就是尋找最優解 ，

能夠使殘差平方和Q的值達到最小。因此，為了獲取Q的最小值，分別對式（11）求偏導數，可得：

然后，將式（11）代入式（12），經整理可得：

1.2.3 極大似然估計法

極大似然估計法的原理是構造似然函數進行參數估計。假設 f（x_i;θ₁，θ₂，θ₃，…，θ_m） 為隨機變量 X 的概率密度函數，則可以利用 X 的獨立觀測值來構造如下所示的似然函數：

對ln L（η，β） 分別求偏導，可得：

求得的最優解 ，即Weibull分布模型的最小二乘參數解。

其中，

然后，對似然函數 L（η，β） 的兩邊分別取對數，可得：

然后，求解式（18）與式（19），可得：

（14）式中： θ₁，θ₂，θ₃，…，θ_m 分別表示 f（x_i;θ₁，θ₂，θ₃，…，θ_m） 的m 個待估計參數； n 為獨立觀測值的個數。

極大似然估計法的實施原理就是尋找 使 L（θ） 的值達到最大。由于ln L（θ） 為 L（θ） 的增函數，當 使L（θ） 達到最大值時， 也會達到最大值。因此，對ln L（θ） 求導并使其值為0，從而可以得到似然函數的求解方程式：

在完整壽命試驗中，假設故障時間t服從Weibull分布， t={t₁，t₂，t₃，…，t_n} 為來自于完整壽命試驗的 n 個獨立樣本 ，f{t_i;η，β} 為隨機變量 t 的故障概率密度函數，則其對應的似然函數為：

式（20）中β的求解方程屬于超越方程，需要基于迭代計算的方式估計形狀參數β的數值解，從而得到Weibull分布模型的極大似然估計解。

2電磁繼電器可靠性評估與分析

2.1 加速壽命試驗

選取某型號電磁繼電器共10臺，其正常工作環境溫度約為 25°C ，極限溫度為 150°C 以上，將環境溫度設置為 120^°C 進行加速壽命試驗，得到一組完整的故障樣本數據3，具體如表1所示。

2.2 Weibull分布模型參數估計與對比

對電磁繼電器的故障樣本數據建立Weibull分布模型，然后分別使用WPP法、最小二乘法與極大似然估計法進行參數估計，得到的參數估計結果如表2所示。

三種方法估計的形狀參數均顯示 ?βgt;1 ，加速壽命試驗中的電磁繼電器明顯處于耗損故障期，主要是因為在加速壽命試驗中，環境溫度被設置為 120^°C 明顯高于設備的正常工作溫度 25°C ，必然會加速電磁繼電器的故障老化速度，使電磁繼電器加速老化，直接進入了耗損故障期。

然后，將WPP法、最小二乘法與極大似然估計法估計的累積故障概率分布曲線與觀測樣本的經驗分布進行對比，結果如圖2所示。從圖2中可以看到，基于最小二乘法與極大似然估計法估計的累積故障概率理論分布與經驗分布均能夠較好地擬合，而WPP法擬合精度較差，主要是因為WPP法繪制擬合直線時易受人為等主觀因素影響，且讀取坐標軸交點坐標與斜率時存在讀數誤差，這種誤差在進行參數估計時又將被繼續放大，進而導致參數估計結果存在精度低、不穩定等問題。

通過上述建模結果的對比與分析發現，應用Weibull分布模型進行可靠性評估與分析，應當優先選用最小二乘法與極大似然估計法進行模型參數估計。

通過加速壽命試驗得到的故障樣本量通常數量較少，因此，可以選用Kolmogorov-Smirnov檢驗法（簡稱K-S檢驗法）來檢驗故障樣本的經驗分布與理論分布（即Weibull分布）的擬合程度。首先，按照下式計算經驗分布與Weibull分布的差值最大值：

式中：sup為上確界，即表示最大值； F_n（t_i） 為壽命試驗故障樣本的經驗分布； 表示Weibull分布； α 為顯著性水平，通常取 α=0.01 表示壽命試驗故障樣本的經驗分布與理論分布的差值和錯一位差值的最大值。

通過查表得到 α=0.01 下的 臨界值，然后進行如下比較：若滿足 ，則接受故障時間服從Weibull分布的假設；否則，拒絕該假設。

最小二乘法估計的Weibull分布模型的擬合優度檢驗結果為：

極大似然估計法估計的Weibull分布模型的擬合優度檢驗結果為：

模型的擬合優度檢驗結果表明，該組電磁繼電器的壽命分布服從Weibull分布，且最小二乘法估計的Weibull分布模型擬合優度最優。

2.3 可靠性評估與分析

根據模型擬合優度的檢驗結果，本文選擇Weibull（377.07，4.59）模型用于該組電磁繼電器的可靠性評估與分析，則該組電磁繼電器在極端環境溫度 120^°C 下的故障率分布如式（24）所示，其對應的故障率分布曲線如圖3所示，處于耗損故障期，故障率呈指數型增長。

在可靠性評估中，常使用設計壽命、平均壽命、特征壽命評估設備壽命，具體如下：

1）設計壽命。設計壽命是指設備在不失去使用功能的前提下的有效使用時間，通常使用 B₁₀ 壽命來描述設備的可靠性與壽命，代入Weibull（377.07，4.59）模型，即獲得該組電磁繼電器在極端環境溫度 120° 下的設計壽命為：

即運行至230.96h時， 90% 的該型號電磁繼電器在極端環境溫度 120^°C 下不會發生故障。

②平均壽命。平均壽命即期望壽命，是指設備在發生故障前的平均工作時間，代入Weibull（377.07，4.59）模型，即獲得該組電磁繼電器在極端環境溫度 120°C 下的期望壽命為：

進而得出該型號電磁繼電器在極端環境溫度120°C 下發生故障前的平均工作時間為 344.50h 。

3）特征壽命。在Weibull分布模型中，當 t=η 時，累

積故障概率函數與可靠性函數均與形狀參數β無關，且存在如下關系：

因此，該型號電磁繼電器在極端環境溫度 120^°C 下的特征壽命為 1377.07h ，運行至該時刻，已有 63.21% 的電磁繼電器發生故障。

最后，根據上述可靠性評估結果，進一步繪制該型號電磁繼電器在極端環境溫度 120^°C 下的壽命分布曲線，結果如圖4所示。

3 結論

本文通過加速壽命試驗獲取電磁繼電器在極端環境溫度 120° 下的故障樣本數據，然后對其建立Weibull分布模型，并分別使用WPP法、最小二乘法與極大似然估計法估計Weibull分布模型參數，最后，基于模型擬合優度檢驗結果，選取最優Weibull分布模型評估電磁繼電器的可靠性，結果表明：

1）最小二乘法與極大似然估計法估計的累積故障概率分布與故障樣本的經驗分布均能較好地擬合，而WPP法易受人為等主觀因素影響導致擬合精度較差。因此，應用Weibull分布模型進行可靠性建模時，應當優先選用最小二乘法與極大似然估計法估計模型參數。

2）極端環境溫度 120^°C 下的電磁繼電器處于耗損故障期，故障率呈指數型增長，基于Weibull分布模型繪制的電磁繼電器在極端環境溫度 120^°C 下的壽命分布曲線，可以為電磁繼電器在復雜運行環境下的可靠性分析與壽命預測提供理論依據，對運行現場管控人員執行預防性維修、定期維修等操作具有重要的指導意義。

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收稿日期：2025-04-02

作者簡介：王晶晶（1991一），女，山東臨沂人，博士，副教授，碩士研究生導師，研究方向：可靠性評估、GNSS性能評估等。通信作者：周超（1990一），男，人，博士，副教授，碩士研究生導師，研究方向：可靠性評估。