考慮端部效應的電磁直線執行器解析建模方法

中圖分類號：TM359.4 文獻標識碼：A DOI：10.7535/hbkd.2025yx04002

Analytical modeling method for electromagnetic linear actuators considering end effects

LIYuxin，LI Bo，GE Wenqing，LUJiayu，CHENJiewei （Schoolof Transportationand VehicleEngineering，Shandong Universityof Technology，Zibo，Shandong 2550o，China

Abstract：Inordertosolve theproblemof magneticfielddistortioncausedbythehigh magnetic permeabilityoftheend cover of movingcoil electromagneticlinearactuator，which leadstofluctuations inthethrustofactuatorandtheinaccuracyof the analyticalsolution，amagneticfieldanalyticalmodelingmethodcombiningthepseudo-periodmethodandthemagneticvector potential methodwas proposed.Considering theendefect，the virtualarraywas extended toboth sidesof thepermanent magnetandwindingarrayinthepseudo-periodtocompensatetheend magneticcircuit，andtheanalytical expresionsof the magneticfielddistributionof theopencircuitandarmaturereactionwerederived intheformofFourierseries.Onthis basis， theanalytical expressionof electromagnetic thrust wasderivedbyLorentzforce method.Theresultsshow thatcompared with finite element simulation，the maximum error of the analyzed thrust value is 9.04% when ignoring the end cap，while the maximum error of the analyzed thrust value is 3.97% when considering the end effect，which verifies the effectiveness of the proposed method；the average relative error of the experiment is 3.77% ，which verifies the correctness of the proposed method.This methodcanefectivelyconsiderthe influenceof theendcaponthe magnetic fielddistortion，which provides theoreticalreferenceforsolvingtheelectromagneticcharacteristicsof theelectromagneticlinearactuatorquicklyandacurately， optimizing the structural parameters and the control process.

Keywords：electrical machinery；movingcoilelectromagneticlinearactuator；analyticalmodeling；pseudo-periodicmethod; end effect

動圈式電磁直線執行器與旋轉電機相比，沒有機械齒輪或傳動機構，具有結構簡單、效率高、推力密度高的特點，現已常用于軍事、高精度車床及汽車等領域[1]。由于動圈式電磁直線執行器在汽車領域的應用逐漸深入，分析執行器運行的穩定性和性能以及對其電磁性能的研究也日益受到重視。

目前對動圈式電磁直線執行器磁場計算的研究主要包括有限元法和解析法[2-3]。有限元法可以在考慮復雜結構及各種非線性問題的條件下進行電機磁場分析計算，求解精度高且適用性好[4]。但其運算周期長，適合用于對提出的模型進行正確性驗證[5]。解析法以電磁場理論為基礎，常見的有保角映射法、等效磁網絡模型、等效面電流模型、磁矢勢模型等。文獻[6利用保角變換得到了氣隙復數磁導，進而考慮到定子開槽的影響。但該方法無法考慮飽和導致的非線性，并且永磁體的存在會使該方法的應用變復雜[7]。文獻[8-9]針對永磁直線電機建立了等效磁網絡模型并分析了電磁力、磁鏈等與結構參數的關系，但該方法計算精度受限于等效磁導單元數量，需要平衡計算精度與計算時間。文獻[10]采用等效面電流法分析了不同結構直線電機的氣隙磁場分布，雖然該方法可考慮磁飽和，但只能計算結構上的幾個離散點的橫向磁場。文獻[11]最早使用極坐標系建立了標量磁位的拉普拉斯和泊松方程，得到永磁電機的磁矢勢模型，并求解了定子無槽徑向充磁永磁電機空載氣隙磁場，該方法可以快速計算直線電機的氣隙磁場分布。文獻[12-13]計算了動磁式直線電機永磁體陣列假設為無限長時的氣隙磁密，但此時無法考慮永磁體陣列的端部效應。文獻[14-15]將偽周期法與子域法相結合，考慮了有限長永磁體陣列的端部效應，提高了永磁體端部磁場的解析精度，但不適用于動圈式電磁直線執行器中端蓋引起的端部磁場畸變。動圈式電磁直線執行器的端部效應體現在端蓋的高磁導率特性會改變執行器兩端的磁路從而改變磁場分布，最終對推力的波動產生影響，因此求解磁場時不應忽略這種現象。

精確的磁場解析模型能為執行器的電磁推力推導、結構參數優化及控制過程提供理論依據。本文為求解端蓋導致的磁場畸變，首先，在磁場解析建模過程中引入偽周期概念，通過擴展磁場源陣列的方式補償端部磁路；然后，以修正的傅里葉級數形式推導磁場的泊松方程及拉普拉斯方程得到磁場分布，并在此基礎上推導出推力解析表達式；最后通過與有限元和實驗結果對比，驗證所提解析建模方法的準確性。

1電磁直線執行器結構

本文研究的動圈式電磁直線執行器用于直驅空氣懸架用空氣壓縮機[16]，其結構如圖1a）所示。

執行器結構如圖1b）所示，該結構主要部件包括內外磁軛、端蓋、Halbach永磁體陣列、線圈及線圈骨架。磁軛及端蓋在磁路中起導通磁路的作用，同時為動子的運動起導向支撐作用。永磁體陣列安裝在外磁軛內，采用徑向磁化磁瓦和軸向磁化磁環以Halbach陣列形式安裝，其自屏蔽效應可以加強線圈處的磁感

應強度，從而提高動圈式電磁直線執行器的推力密度。動子部分由線圈及線圈骨架構成，在氣隙磁場中，線圈通電后受洛倫茲力作用產生軸向運動，并由與之固定的線圈骨架對外輸出力。

2電磁直線執行器磁場及推力解析建模

2.1基于偽周期的開路磁場解析建模

永磁體陣列由徑向磁化磁瓦和軸向磁化磁環組合，且電樞繞組在結構上關于軸向對稱，氣隙磁通密度在柱坐標系中的分布是關于軸向對稱的，因此可簡化為二維模型以便于解析計算，同時做出以下假設：

1）內、外磁軛相對磁導率恒定且為無窮大；

2）永磁體相對磁導率恒為1；

3）不考慮電樞繞組的集膚效應；

4）為便于傅里葉級數展開，認為模型沿軸向無限重復。

求解磁場分布前先根據磁場激勵源劃分求解區域，然后采用分離變量法以及傅里葉級數展開求解各區域的磁矢勢。根據結構條件對執行器劃分求解區域，建立二維開路永磁體磁場簡化解析模型，如圖2所示。

圖2中模型被劃分為永磁體弱磁側氣隙區域I、永磁體陣列區域Ⅱ及永磁體強磁側氣隙區域Ⅲ。其中， R_n 為內磁軛外徑 為永磁體內徑， .R_pw 為永磁體外徑 為外磁軛內徑 ?τ_r 為徑向磁化磁瓦寬度、 τ_z 為軸向磁化磁環寬度、 τ₁ 為永磁體陣列寬度。

磁通密度的分布由永磁體陣列磁化矢量分布的情況決定，采用傅里葉級數展開的方法來描述磁化矢量，在柱坐標系中磁化矢量表示為

M=M_re_r+M_ze_z，

一執行器內磁場分布；---偽周期足夠大的解析結果。

式中： M_r 為磁化矢量的徑向分量； M_z 為磁化矢量的軸向分量。考慮永磁體陣列端部效應的傳統解析模型將偽周期假設為足夠大，1個周期內包含1組原永磁體陣列，陣列之間由空氣隔開以消除相鄰陣列間磁場的影響，使解析的端部磁場向遠端趨近于零以解得端部效應，此時磁場分布的求解情況如圖3所示。

圖3中磁場分布整體可劃分為類余弦分布區域和兩側畸變區域，偽周期 τ_lp 足夠大時解析模型求解的磁場分布如虛線所示，永磁體陣列兩側靠近氣隙處的磁通密度迅速降低，并隨著軸向距離的增加逐漸趨向于零，對無端蓋影響時永磁體陣列的磁場分布求解精度較好。而端蓋是動圈式電磁直線執行器中重要的組成部分，除固定和支撐作用外，高導磁端蓋構成了端部的主要磁通路，起到了增強磁通、提高永磁體利用率的作用，其增強磁通的作用會使端部磁場畸變，由此對推力產生影響。此時磁場分布如圖3中實線所示，近端部磁場被加強，靠近 τ₁/2 即端蓋內側面處的磁場趨近于零，傳統偽周期法解得的磁場趨勢不再吻合，不適用于動圈式執行器的解析求解。

為求解包含端蓋影響磁場的分布，建立的永磁體陣列模型偽周期如圖4所示，實際陣列兩側空白區域定義為磁化方向相反的反向陣列。由圖3可知，一組陣列產生的磁場在兩側逐漸衰減為零，由磁場疊加原理可知，類余弦分布區域的磁場不會被影響。

而在反向陣列的作用下，端部的磁路得到補償，與有端蓋情況下的磁路形式一致。此時對偽周期內磁化矢量進行傅里葉級數展開可得：

式中 m_k=2kπ/τ_lp 。令 cax=τ_r/2+τ_z ，求解傅里葉級數系數可得：

執行器內磁場接近穩靜磁場，存在的本構關系表示為

式中： B_I，B_I，B_II 及 分別為各區域磁感應強度和磁場強度，單位分別為T及 A/m;μ₀ 為真空磁導率，其值為 4π×10^-7N/A²;μ 為永磁體的相對磁導率； M₀ 為永磁體的剩余磁化強度， A/m 。

模型中引入磁矢勢 A 用以求解磁通密度分布，首先由麥克斯韋方程組推導得到磁場的控制方程，由磁場的基本特性 abla?B=0 可得：

B=?×A

空載時，各區域電流密度 J=0 ，因此氣隙區域有 abla×H=0 ，式（5）可表示為

abla×?×A_p=μ₀?×M

氣隙區域I及氣隙區域Ⅲ中無磁場激勵源，永磁體區域 I 中磁化強度 M=M₀ ，考慮外爾規范 abla?A= 0，各區域控制方程表示為

考慮到電磁直線執行器永磁體陣列是軸對稱分布，因此執行器內磁場也為軸對稱分布， ??A_p 僅有周向分量 A_pi，θ ，其中 i=I ， I ，Ⅲ；由此得到區域I、區域Ⅲ的拉普拉斯方程為

區域 I 的泊松方程為

采用分離變量法對式（8）、（9）進行求解，得到各區域磁矢勢為

式中 I_i（x），K_i（x） 分別為第 i 階的第一類、第二類修正貝塞爾函數，定義表示為

L_i（x） 為修正斯特魯夫函數，由斯特魯夫函數 H_i（x） 導出，其定義表示為

根據式（5）求解得到氣隙區域磁感應強度分布為

式中： B_pi，r?B_pi，z 分別為區域 i 中的徑向磁通密度和軸向磁通密度； a_i，k，b_i，k 分別修正貝塞爾函數的待求解系數。令 T_k=-πμ₀R_k/2m_k ，得到永磁體區域 I 的磁感應強度分布為

為求解式中的待定系數，需要根據模型建立邊界條件，混合邊界條件表示為

由式（14）—（16）可得待定系數求解矩陣，計算可得空載磁場分布的唯一解。

2.2基于偽周期的電樞反應磁場解析建模

動圈式電磁直線執行器通電工作時，由電樞繞組激發的電磁場與永磁體磁場相疊加，產生電樞反應使氣隙磁場分布發生畸變，是影響電磁場分布的重要因素之一。

采用同樣的方法來描述電樞反應磁場分布。假設永磁體的磁導率為1，此時永磁體區域可以和氣隙合并，視為一個氣隙區域。因此，電樞反應解析模型中同樣被劃分為3個區域，如圖5所示。

該模型中區域劃分為繞組區域Ⅱ以及繞組兩側的氣隙區域I、Ⅲ，其中 R_cn 為繞組內徑、 R_cw 為繞組外徑 、τ_w 為單個繞組寬度 ?τ_m 為相鄰兩繞組間的極距離。

為考慮端蓋對端部電樞反應磁場的導磁作用，在偽周期內擴展與實際電樞繞組電流方向相同的虛擬繞組陣列以模擬端部磁路，此時電樞反應場的偽周期繞組結構如圖6所示。

圖6中，黃色區域代表實際繞組，是模型最終需要求解的區域，虛擬繞組與實際繞組關于 r 軸對稱分布。偽周期內對電流密度進行傅里葉級數展開可得：

式中 C_k 為傅里葉級數系數。電樞在執行器工作時需往復運動，受端蓋導磁特性影響，不同位置電樞反應場會發生變化。為便于動態計算不同位置處的電樞反應場，設 y=-τ_d+z_d ，其中 z_d 為繞組移動距離， τ_d 為繞組在中間位時，外側繞組中心與端蓋內側面的距離，其值為 τ_d=τ_z+τ_r/2 ，計算系數可得：

式中 n_k=2kπ/τ_cp 。由 abla×H=J 得電樞區域 I 中磁矢勢可表示為

abla×?×A_c=μ₀μ_rJ

由式（1）得各區域的控制方程可表示為

電樞繞組為軸對稱結構，電流密度僅有切向分量，因此磁矢勢也僅有切向分量。根據式（20）建立區域I、區域Ⅲ的拉普拉斯方程，并利用分離變量法求解得到磁通密度分布為

式中 Λ_Ci?d_i 為待求解系數。對區域 I 建立泊松方程，令 P_k=-πμ₀C_k/2n_k ，可解得：

電樞反應模型混合邊界條件可表示為

負載時，根據磁場疊加原理，將開路磁場與電樞反應場線性疊加即可得負載時磁場的分布情況。

2.3 電磁推力推導

動圈式電磁直線執行器中電樞繞組所受的電磁推力滿足洛倫茲定律：

對繞組2的推力計算可得：

同樣的方法計算繞組1、繞組3的推力，加和得到的電樞總推力為

式中：

由上述推導，根據不同時刻線圈所在軸向位置及電流密度的大小可積分得到線圈所受電磁推力的大小。

3有限元驗證及結果討論

為驗證所提解析方法的有效性，對動圈式電磁直線執行器進行有限元仿真。本文所研究動圈式電磁直線執行器的主要結構參數如表1所示，在JMAG Designer 電磁場仿真軟件中建立包含端蓋的動圈式電磁直線執行器有限元模型，選取電樞外表面處的磁場分布進行對比。

在JMAG中進行靜態磁場仿真可以得到由永磁體激發的開路磁場分布，與考慮端蓋影響及忽略端蓋時的解析模型結果對比如圖7所示。

由圖7可知，忽略端蓋影響時，中間區域磁場分布基本一致，但靠近端部位置時，求解誤差變大且分布趨勢不再吻合，因此傳統偽周期法不適用于本電磁直線執行器結構。而考慮端蓋影響的解析模型因偽周期內虛擬永磁體陣列模擬了端蓋引起的磁路變化，磁通密度在繞組運動范圍中靠近端部處被加強并在端蓋內側面趨向于零，與有限元模型的結果整體吻合較好，驗證了考慮端部效應的開路磁場解析模型的正確性。

將永磁體區域材料定義為空氣，設置繞組電流值為8A，電樞繞組在 z_d=0 和 z_d=+5mm 處分別進行靜態仿真可得到端蓋存在時僅由電樞繞組激發的電磁場分布，與解析結果對比如圖8所示。由圖可知，與有限元結果相比，當忽略端蓋存在時，偽周期無窮大的解析結果誤差較大且磁場分布趨勢不一致，由于無法考慮端蓋對磁路的影響，此時也無法體現電樞移動時電樞反應磁場的變化。而考慮端部效應的解析模型結果與有限元得到的磁場分布趨勢基本吻合： z_d=0 時，磁通密度向端蓋內側處逐漸趨向于零； z_d=+5mm 時，結構上電樞不再關于軸向對稱，遠離端蓋側磁通密度趨零段變長而靠近端蓋側磁通密度趨零段縮短。結果驗證了考慮端部效應電樞反應磁場解析模型的正確性。

在靜態開路磁場仿真基礎上設置電樞繞組，在8A電流下進行仿真得到負載磁場分布，與解析模型結果對比如圖9所示。由圖可知，電樞反應使負載磁場隨電樞位置產生變化，解析模型與有限元結果吻合較好，

進一步驗證了考慮端部效應的解析模型的正確性。

為對比驗證推力的有效性，設置電樞繞組電流為8A，在0到 +5mm 行程內進行有限元瞬態仿真及解析計算。為直觀對比解析與有限元的誤差情況，定義相對誤差如下：

式中： F_FEM 為有限元法求解的推力值； F_AM 為解析法求解的推力值。

在磁場解析模型基礎上推導得到的電磁推力分布與有限元結果對比如圖10所示。

因為忽略端蓋時靠近端部的磁通密度明顯較小，如圖中紅色曲線所示，此時計算得到的推力偏低，最大誤差為 9.04% 。隨著行程增大，各繞組偏離磁場的幅值區域，推力隨行程增大會逐漸降低。考慮端部效應的推力解析值誤差由圖中藍色曲線所示，在端部處，磁場解析值誤差增大從而導致解析的推力值相對偏高，與有限元結果的最大誤差為 3.97% ，相對忽略端蓋時提高了求解精度，驗證了解析模型的準確性。

4電磁推力實驗驗證

為驗證所提解析方法的正確性，搭建動圈式電磁直線執行器靜態電磁推力測試平臺，如圖11所示。

測試平臺由樣機、DYLY-103力傳感器（量程2kN）、支撐平臺、上位機、RUT-BOX控制單元、驅動單元以及直流電源組成。執行器結構對稱，因此為簡化實驗過程僅測量單側行程，即 0～+5mm 位移段內的推力值。測試時，通入8A電流，通過調整動子位置，每隔 0.5mm 作為一個采樣點進行推力值檢測，測得的實驗值如圖12所示。

結果表明，考慮端部效應的推力解析和有限元結果與實驗測試結果的趨勢基本吻合，而測試值低于有限元值，誤差存在的原因是由于永磁體裝配間隙導致電磁性能下降以及存在測量誤差。計算可得實驗最大相對誤差為 5.69% ，出現在 +5mm 位移處，平均相對誤差為3. 77% ，驗證了所提出解析建模方法的正確性。

5結語

為精確求解在端蓋影響下的磁場分布及推力變化，以動圈式電磁直線執行器為研究對象，建立了包含端部效應的執行器磁場解析數學模型，主要結論如下。

1）在原永磁體陣列的兩側擴展磁化方向相反的虛擬永磁體陣列以補償端部磁路，在新的偽周期內推導了考慮端部效應的開路磁場解析式；在電樞繞組一側擴展同向電流虛擬繞組，并引入位置參數 z_d 到新的偽周期內以便于求解磁場隨位移的變化，建立了考慮端部效應和位置因素的電樞反應磁場解析式。

2）通過與各工況下的有限元仿真對比驗證，與傳統偽周期法求解得到的磁通密度分布相比，考慮端部效應的解析磁通密度分布趨勢與有限元結果更相吻合，驗證了磁場解析模型的正確性。

3）在磁場解析模型基礎上，推導了推力解析式，計算得到電磁推力與位移的關系。通過與有限元的推力值對比，忽略端蓋時的誤差為 9.04% ，考慮端部效應的最大誤差為 3.97% ，因此，考慮端部效應時模型的求解精度更高，驗證了所提解析方法的有效性；實驗平均相對誤差為 3.77% ，驗證了所提解析方法的正確性。

本文所提磁場解析建模方法僅考慮了由端蓋引起的端部效應的影響，而未考慮磁飽和等因素的影響，導致求解誤差增大。未來還需采用更多修正方法完善解析建模過程，以提高建模精度。

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